第十一章第五节ppt课件

1、预备知识预备知识概念的引入概念的引入概念与性质概念与性质小结小结 思考题思考题 作业作业对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系surface integral第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲面分上侧和下侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分内侧和外侧1.有向曲面有向曲面通常光滑曲面都有两侧通常光滑曲面都有两侧. 如流体从曲面的这一侧如流体从曲面的这一侧流向另一侧的流量问题等流向另一侧的流量问题等.(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、预备知

2、识一、预备知识n规定规定(1)双侧曲面双侧曲面2. 曲面的分类曲面的分类法向量的方向来区分曲面的两侧法向量的方向来区分曲面的两侧.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分(2) 单侧曲面单侧曲面-莫比乌斯莫比乌斯(Mobius)带带.不通过边界可以不通过边界可以这在双侧曲面上是不能实现的这在双侧曲面上是不能实现的.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为小毛虫在莫比乌斯带上小毛虫在莫比乌斯带上,爬到任何一点去爬到任何一点去.有向曲面有向曲面. .对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分Mobius(1790-1868) 19世纪德国数学家世纪德国数学家3. 有向曲面在坐标面上的投影有向曲面在坐标面上的投影.)(表

3、示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 设设是有向曲面是有向曲面.为为面面上上的的投投影影在在xySxOyS)( xyS)(时时当当0cos xy)( 时时当当0cos xy)( 时时当当0cos 0 假定假定 cos有相同的符号有相同的符号. ,S 曲面曲面在有向曲面在有向曲面取一小块取一小块上上 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,)(yzS zxS)( 写出来?流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.v cos|vA 流量流量实例实例( 为平面为平面A的单位法向量的单位法向量)n(斜柱体体积斜柱体体积)nvA (1)流速场为常向量流速场为常向量,v有向平面区域有向平面区域 A,求单位

4、时间流过求单位时间流过A的流体的质量的流体的质量 (假定密度为假定密度为1).对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分二、概念的引入二、概念的引入A An (2) 设稳定流动的不可压缩流体设稳定流动的不可压缩流体kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 函数函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP上上连连续续，都都在在 流体的密度与速度流体的密度与速度均不随时间而变化均不随时间而变化(假定密度为假定密度为1)速度场速度场:v当当 不是常量不是常量,有向有向 曲面曲面求在单位求在单位时间内流向时间内流向 指定侧的指定侧的流体的质量流体的质量. 是速度场中的一片有向曲面是速度场

5、中的一片有向曲面,对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 xyzoiS ivin 分割分割法向量为法向量为 .in),(iii iSn 小块小块分成分成把曲面把曲面上任取一点上任取一点在在iS ),(iii 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 i取近似取近似iiiSnv 高高底底iS ),cos(|iiinvv求和求和 niiiiSnv1iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 )(,()(,()(,(1xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP 取极限取极限0 .的的精精确确值值取取极极限限得得到到流流量量 yziiiSS)(cos zxiiiSS)(

6、cos xyiiiSS)(cos 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 niiiiSnv1,为光滑的有向曲面为光滑的有向曲面设设 ,上有界上有界函数在函数在 块小块小同时又表示第同时又表示第块小曲面块小曲面分成分成把把iSSnii (),曲曲面面的的面面积积,)(xyiiSxOyS 面上的投影为面上的投影为在在,),(上上任任意意取取定定的的一一点点是是iiiiS 如如果果各各小小块块时时，曲曲面面的的直直径径的的最最大大值值0 1. 定义定义三、概念与性质三、概念与性质对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 nixyiiiiSR10)(,(lim 上上在有向曲面在有向曲面函数函数 ),(zyxR的的曲

7、曲面面对对坐坐标标yx,积积分分 yxzyxRdd),(被积函数被积函数积分曲面积分曲面存在存在,则称此极限为则称此极限为(第二类曲面积分第二类曲面积分). nixyiiiiSR10)(,(lim ,dd),( yxzyxR如曲面为封闭曲面如曲面为封闭曲面: yxzyxRdd),(对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 zyzyxPdd),( xzzyxQdd),( niyziiiiSP10)(,(lim nizxiiiiSQ10)(,(lim 2. 存在条件存在条件对坐标的曲面积分存在对坐标的曲面积分存在.),(),(),(zyxRzyxQzyxP当当在有向光滑在有向光滑上上曲面曲面 连续连续,

8、,对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分3.组合形式组合形式yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( 4.物理意义物理意义yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( 流向流向指定侧的流量指定侧的流量:Sd v),(RQPv 有向曲面元有向曲面元向量的形式向量的形式对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分)dd,dd,dd(Sdyxxzzy 5.性质性质 21dd yxR 1dd yxR 2dd yxRyxRkRkdd)(2211 yxRyxRdddd21),(21为为常常数数kk yxzyxRdd),( yxzyxRdd),(1)(2)(3)1k2k 对坐标

9、的曲面积分对坐标的曲面积分 当曲面当曲面 yxRdd(4)母线平行于母线平行于z z 轴的柱面时轴的柱面时, ,0表示表示相反的一侧相反的一侧.也有类似的结果也有类似的结果,的曲面积分的曲面积分性质对坐标性质对坐标zxyz Oyxz对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分),(yxzz 所给出所给出方程方程),(yxzz 上侧上侧, ,四、对坐标的曲面积分的计算法四、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面设积分曲面是由是由的曲面的曲面,xyD在在xOy面面上的投影区域为上的投影区域为上上在在xyDyxzz),( 函数函数具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,被积函数被积函数R(x, y, z)在在上连续上

10、连续.xyDxys)( sdn yxzyxRdd),(,取上侧取上侧 nixyiiiiSR10)(,(lim yxzyxRdd),( 取上侧取上侧 nixyiiiiSR10)(,(lim , 0cos nixyiiiiizR10)(,(,(lim yxyxRdd,xyD),(yxz 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分xyxyiS)()( ,取取下下侧侧若若 yxzyxRdd),(则则有有给给出出由由如如果果,),(zyxx zyzyxPdd),(则则有有给给出出由由如如果果,),(xzyy xzzyxQdd),(, 0cos xyxyis)()( xyDyxyxzyxRdd),(, yzDzyz

11、yzyxPdd,),( zxDxzzxzyxQdd),(, 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的必须注意曲面所取的注注侧侧. .对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 计算对坐标的曲面积分时计算对坐标的曲面积分时:认定对哪两个坐标的积分认定对哪两个坐标的积分,将曲面将曲面表为这两个变量的函数表为这两个变量的函数,并确定并确定的投影域的投影域.(2) 将将 的方程代入被积函数的方程代入被积函数,化为投影域上的二重积分化为投影域上的二重积分.(3) 根据根据的侧的侧 (法向量的方向法向量的方向) 确定确定二重积分前的正负号二重积分前的正负号.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分xyzO解

12、解;1:2211yxz ,1:2222yxz 2 1 投影域投影域)0, 0( 1:22 yxyxDxy对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 例例 计算计算 yxxyzdd其中其中是球面是球面1222 zyx外侧在外侧在0, 0 yx的部分的部分. 2dddd yxxyzyxxyz 1dd yxxyz xyDyxyxxydd122 xyDyxyxxydd)1(22 d1sincosd2210320 .152 xyzO)0 , 0 ,(a)0 , 0(a), 0 , 0(aO 例例,dddddd222yxzxzyzyx 计算计算其中其中是是所围成的正方体的表面的所围成的正方体的表面的24563zyx

13、dd2 解解)0(, aazayax三个坐标面与平面三个坐标面与平面外侧外侧. .对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分1 31dddd22 zyxzyxzyyzDdd02 4a yzDzyadd2 yzDzyadd2 投影域均为投影域均为:0ya, 0za, ),(yxzz 设有向曲面设有向曲面是由方程是由方程给出给出,五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,xyD在在xOy是由方程面上投影区域为是由方程面上投影区域为 Oyxz),(yxzz xyDSzyxRyxzyxRdcos),(dd),( yxz ,y,xRxyDdd)( yxRxzQzyPdd

14、dddd SRQPd)coscoscos( 不论哪一侧都成立不论哪一侧都成立.向量形式向量形式 SnASAdd SASAndd或或),(RQPA 其其中中,),(处的单位法向量处的单位法向量上点上点有向曲面有向曲面zyx )dd,dd,dd(ddyxxzzySnS 有向曲面元有向曲面元.上上的的投投影影在在向向量量为为向向量量nAAn对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分为为)cos,cos,(cos n解解 zyxzdd)(2,1cos22yxx Sxzdcos)(2 cos)(2xz ,dddd)(2yxzzyxz计算计算介介于于平平面面是是旋旋转转抛抛物物面面其其中中)(2122yxz 例例之

15、之间间的的部部分分的的及及20 zz下侧下侧. .2211cosyx 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 yxxxzdd)(2n cosddyx cosdddzyS cosyxddxyzO 2 yxzzyxzdddd)(2 xyDyxyxxdd)(21222 2022220d)21cos(d xyDyxyxxxyxdd)(21)()(4122222 yxzxxzdd)(2 8 )(2122yxz 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 zyxzdd)(2 yxxxzdd)(2yxyxxxyDdd)(41222 由对称性由对称性0 nxyzO 2 例例,dd)(ddddyxzxxzyzyx 计算计算其中

16、其中解解 法一法一直接用对坐标的曲面积分计算法直接用对坐标的曲面积分计算法.yzyDyz220, 10: xzxDzx220, 10: xyxDxy 10, 10:222 zyx是是平平面面在第一卦限部分的在第一卦限部分的上侧上侧. .对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分xyzOzzyyy)d21(d10220 zzxxxd)21(d10220 .67 原式 1010d)222(dxyxyxxSzxyxdcos)(coscos 法二法二 利用两类曲面积分的联系计算利用两类曲面积分的联系计算.yxz222 )1(,z,znyx ,)122( Szxyxd31)(3232 取上侧取上侧,. .对坐标的

17、曲面积分对坐标的曲面积分yxzxxzyzyxdd)(dddd xyzO)23(31 xyDyx xyxx1010d)2(d.67 yx222 yxdd3若分片光滑的闭曲面若分片光滑的闭曲面 zyzyxPdd),(0 1dd),(2 zyzyxP其中其中注注补充补充x的偶函数的偶函数x的奇函数的奇函数曲面曲面不封闭也可以不封闭也可以. 0),(:1 zyxx 取外侧取外侧(内侧仍成立内侧仍成立), 关于关于yOzyOz平面对称平面对称, ,是是若若),(zyxP是是若若),(zyxP对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 例例,dddddd22yxyxexzzzyz 计计算算其中其中:的的)21(22

18、 zyxz下侧下侧. . zydd0 又又关于关于zOx面对称面对称,解解关于关于yOz面对称面对称, xzzdd0对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分xyzOn 原式原式=yxyxezdd22 yxyxexyDyxdd2222 2021dde).1(2ee 与与两两平平面面是是由由曲曲面面设设222ryxS .dddd2222 Szyxyxzzyx解解,:1rzS ,:2rzS 2223:ryxS S 2S 3S 1S对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,rzrz 求求 1222ddSzyxzyx 2222ddSzyxzyx 32222ddSzyxyxz000,)0(围成立体表面的外侧围成立体表面的外侧 r 12222ddSzyxyxz 22222ddSzyxyxz 3222ddSzyxzyx yzDzrzyyr2222dd yzDzrzyyr2222dd yzDzrzyyr2222dd2 rrzrzyyr022022dd42ryryryr022221arcsin