高数级数习题

1、习题11.1练习·理解1. 写出下列级数的前4项：（1） （2） （3） 答案：（1）（2）（3）2写出下列级数的一般项：（1）； （2）； （3）；答案：（1） （2） （3）3根据级数收敛与发散的定义和性质判定下列级数的收敛性：（1）； （2）； （3） （4） (5) (6) (7) （8） 答案：（1）因为； 所以原级数发散。 （2）因为，所以不存在，即原级数发散。（3） 因为，所以原级数收敛。（4）因为，所以原级数发散。(5) 因为，而发散，所以原级数发散。 (6) 因为，而，收敛，所以原级数收敛。(7) 因为 ，则原级数收敛。 （8）因为，所以原级数收敛。4判断下列级数的

2、收敛性：（1）； （2）； （3）； （4）。答案：（1）因为发散，而原级数，所以原级数发散。（2）因为，所以原级数发散。（3）因为和都收敛，所以原级数收敛。（4）。答案：由于，从而，并且思考·提高1设，求级数的前项的和以及级数和。答案：所求和2求级数的和。答案：由于，于是，两式相加得整理得，故3已知，试求的和。答案：比较系数可定出。于是4试求级数的和。答案：于是两式相减得因此另解：令其中则 5已知，求级数的和。答案：由于于是将两式相加，得6试求级数的和。答案：由于于是故和7、已知，试求的和。解：比较系数可定出于是8、求级数的和。解：由于于是，两式相加得整理得故习题11.2练习

3、83;理解1. 用比较审敛法或比较审敛法的极限形式判定下列级数的收敛性：（1）；（2）； （3）； （4） 答案：（1）因为，且收敛，所以原级数收敛。（2）因为，且收敛，所以原级数收敛。（3）因为当 时，且收敛，所以原级数收敛；而当时，所以原级数发散。（4）因为，且收敛，所以原级数收敛。2. 用比值审敛法判断下列级数的收敛性（1） （2） （3） （4） （5） （6） 答案：（1）因为，所以原级数收敛。（2）因为，所以原级数收敛。 （3）因为，所以原级数发散。 （4）所以，当时，为任意常数时级数收敛。当>1时，为任意常数时级数发散。当=1时，比值法失效。此时，由p级数的敛散性知，当&l

4、t;-1时，级数收敛，当-1时级数发散。 （5）因为，所以原级数收敛。 （6）因为，所以原级数发散。3. 用根值审敛法判断下列级数的收敛性（1） （2） （3） （4），其中，且答案：（1）因为，所以原级数收敛。（2）因为，所以原级数收敛。（3）因为 ，则原级数收敛。（4）因为，所以当时，级数收敛；当，级数发散；时，敛散性不定。4. 判定下列级数的收敛性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案：（1）因为，所以原级数绝对收敛；（2）因为，所以原级数发散；（3）因为，所以发散；又因为，且，所以原交错级数收敛；综合可得原级数条件收敛。

5、（4）因为，所以原级数绝对收敛。（5）因为 ，由收敛的必要条件可得，原级数发散。 （6）因为，而收敛，所以原级数绝对收敛。（7） 故级数发散。，故原级数条件收敛。（8）因为，所以原级数绝对收敛。5. 求下列极限(1) (2) 答案：（1）通过判断级数的敛散性来求极限。因为，可得级数收敛，所以。（2）通过判断级数的敛散性来求极限。因为，可得级数收敛，所以。6判断级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛。答案：因为，所以当时，原级数绝对收敛；当时，原级数发散；当时，原级数，所以发散；当时，为交错的调和级数，所以条件收敛。思考·提高1.判断级数的敛散性，如果收敛判断是绝对收敛还是条件

6、收敛。答案：因为，所以收敛，所以原级数绝对收敛。2. 判断级数的敛散性。答案：因为，而收敛，所以原级数绝对收敛。3. 若级数收敛，证明级数也收敛。证：因为收敛，故，于是N>0 ，当N>n 时。有，即，由于正项级数及收敛，故级数也收敛。4试求p的值，使级数 绝对收敛。答案：因为，所以当时，所论级数绝对收敛。5若级数收敛，证明级数绝对收敛。证： 而级数都收敛，故绝对收敛。6证明级数发散。证明：（反证法）设加括号后的级数为这是发散的调和级数，故原级数也发散。7若级数的通项与前项部分和有如下关系，且，试证：级数收敛。答案：由于,故由关系式可以得到：又，所以,于是因此级数收敛。8若数列收敛，级数收敛，则级数收敛。