第二讲_常数项级数的敛散性判别法

1、第二讲 常数项级数的敛散性§8.2 数项级数的敛散性判别法一、正项级数收敛的充要条件若数项级数的各项均非负，则称 为正项级数由于，因此， ，所以正项级数的部分和数列是单调增加数列即若有上界，则由“单调有界数列必有极限”知，该正项级数必收敛反之，若正项级数收敛于，即 ，则数列必有上界，从而得到如下重要结论：定理1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有上界二、正项级数及其敛散性判别法1. 比较判别法定理2（比较判别法） 设和都是正项级数，且（1）若级数收敛，则级数也收敛；（2）若级数发散，则级数也发散证 （1）若级数收敛，其部分和数列有上界，于是有，使又，故 即的部分和数列有上界根据定

2、理1知，级数 收敛 （2）若发散，则级数必发散，因为若级数收敛，由（1）知，级数也收敛，与假设矛盾，故级数发散由于级数每项乘以非零数，以及去掉级数的有限项，所得级数的敛散性与原级数相同，可得如下推论：推论 设，均为正项级数，且从级数的某项起恒有，则（1）若收敛；则也收敛；（2）若发散，则也发散例1 试证调和级数 发散证 显然在上满足拉格郎日中值定理条件，所以至少存在一个实数；使得，于是，级数与级数的所有对应项便有，由于，所以因此，级数发散；由正项级数比较判别法可知，调和级数是发散的例2 讨论级数的敛散性解 当时，有由于调和级数发散，所以由比较判别法可知，当时，级数也是发散的当时，又级数是等比级

3、数，且其公比故收敛，于是当时，根据比较判别法的推论可知，级数也收敛综上所述，当时，级数收敛；当时，级数发散应用比较判别法的关键，是把新给的级数与一个敛散性已知的正项级数作比较，常用作比较的正项级数有调和级数、等比级数与级数例3 判别级数的敛散性解 因为 ，又时的一级数是收敛的，所以，原级数收敛例4 证明级数 收敛证 满足，而是等比级数，由比较判别法可知，级数收敛例5 判定级数 的敛散性解 因 ，而级数收敛，所以级数收敛为使用方便，下面给出比较判别法的极限形式：定理3 设级数和都是正项级数，且则它们有相同的敛散性证 取使满足依极限定义，存在正整数，当时，有，即 ，得由比较判别法可知级数，具有相同

4、的敛散性例6 判断级数的收敛性解 一般项，且，而级数发散，故级数也发散由比较判别法可推出另一个常用的判别法2. 比值判别法定理4 （比值判别法） 设是正项级数，若，则 （1）当时，级数收敛； （2）当时（或）时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛也可能发散 例7 判断级数的收敛性解 因为 ，所以该级数收敛例8 判断正项级数的敛散性解 因为 ，所以该级数收敛例9 判别级数的敛散性解 因为 ，所以该级数发散 注 当时，无法判别级数的敛散性例如，级数有，它是发散的，但级数也有 却是收敛的3. 根值判别法定理5 (根值判别法) 对于正项级数的一般项，若；则（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散；（

5、3）当时，级数可能收敛也可能发散例10 判断级数的敛散性解 因为 ，而，所以收敛再根据比较判别法，原级数收敛例11 设，且，试判断级数的敛散性解 因为，而；所以，根据根值判别法有（1）当时，级数收敛； （2）当时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛也可能发散三、交错级数及其敛散性判别法称级数为交错级数，其中皆为非负数定理6 （莱布尼兹判别法） 若交错级数满足：（1）；（2）则交错级数收敛，且其和，其余项的绝对值交错级数是一类特殊的级数，定理6表明，若交错级数收敛，其和，即不超过首项；若用部分和作为的近似值，所产生的误差，即不超过第项例12 交错级数满足条件 （1） ； （2）所以它是收敛的，且

6、其和 如果取前项的和作为的近似值，即产生的误差例13 判断级数的敛散性，并估计用代替其和时所产生的误差解 因为（1） ；（2）所以它是收敛的又因为 ，所以也就是说，用代替可使误差小于四、绝对收敛与条件收敛对于一般项级数其各项为任意实数，若级数各项的绝对值所构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛；若级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛易知是绝对收敛级数，而是条件收敛级数定理7 若收敛，则必收敛例14 判断级数的敛散性解 因为 而级数收敛由比较判别法知，级数收敛，所以级数绝对收敛例15 证明 级数 绝对收敛证 因为 ，根据比值判别法，级数收敛，从而，此交错级数绝对收敛例16 为了治病需要，医生希望某药物在人体内的长期效用水平达200，同时还知道每天人体排放25%的药物试问医生确定每天的用药量是多少？解 因为是连续等量服药，留存体内的药物水平是前一天药物量的加上当日的服用量，可见第天人体内该药物含量由于是长期服药，也考虑到会产生抗药性等复杂情况，为简化计算，服药期间可算作趋于无穷大因此体内该药物最终存留量2