2019-2020学年甘肃省张掖市高三(上)第一次联考数学试卷2(1月份)(含答案解析)

1、第3页.共17页2019-2020学年甘肃省张掖市高三（上）第一次联考数学试卷2 （1月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A = yy = log2%,% > 1, B = yy = (7Z>x > 1> 则力 C 8 =()A. (0,扌)B. (0,1)C. l)D. 02.已知f是虚数单位，复数Z满足Z（I-O = l+i,则复数Z的共轨复数对应的点为（）A. (0,1)B. (0,-1)C. (0)D. (-1,0)3.已知Sina =贝IJCoS2的值为（）ATB 冷cD=164.经过中央电视台彳魅力中国城栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞

2、演总分排坷第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统汁了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（单位:万人次）的 变化情况，则下列给岀的四个判断中错误的是（）HXXW9 (XK)Softo7 00() O(M)5 0004 0003 (XW)2 000I (XM)0A. 旅游总人数逐年增加B. 2017年旅游总人数超过了 2015, 2016两年的旅游总人数之和C. 年份数与旅游总人数成正相关D从2014年旅游总人数增长加快5.在 >18C中，内角 A, B, C所对的边长分别为 Ib b, c, （Win<x>sC, +（sinDcos.4 =» 且ab = 2

3、,则力BC而积的最大值为（）A. 3B. 2C. 2z3D.46.已知点4（-VL）、BeL2）、C（-2,-l）. 0（3,4）>设向量乔与乔夹角是S则40=（）A.的10B 33C 3D.普7.函= SinlX>Jr3cos2X的最小值为（）A. 2B. y/3C. 2D. -38.已知抛物线G y2 = 2p%（p > 0）的焦点为化P, Q, M, N是抛物线C上的4点，且线段PQ过点&线段PM与线段ON交于A（PfO则直线PO与直线MN的斜率（存在）之比为（）B. 2C. PD. 2pA. 1如图所示，以边长为1的正方形ABCD的一边AB为直径在其内部作一半

4、10.O圆.若在正方形中任取一点P，则点P恰好取自半圆部分的概率为（）A冷BC冷D町某几何体的三视图如图所示，其中小正方形的边长为1 现有一只蚂蚁在最短的棱的中点处，沿着棱爬到与该条棱所在直线互为异而直线的棱的中点处，则蚂蚁爬行的最短路程为（A. 7 + 22B. 22C. + 22D. 5 + 2211. 双曲线C -=I（>0,b>0）的左右焦点分别为F1，尸2，点P在C上， PFIF2为等腰直 角三角形，则双曲线的离心率为（）A. 5-B. 2+ 1C. 3D. 5+12. 若函=x2 + aln(x + 1)在(一匕+8)上是增函数，则“的取值范围是()A. 0, +)B.

5、 (0, +)C. (-j ÷)Dp +) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在（2-）6的展开式中，含兀2项的系数是(x014设益y满足约束条件x+2y4i贝UZ = 2%-y的最大值是( 2x + y 515. 已知函是奇函数，且当XVO时f(x)=(护，贝疗(3)的值是.16. 已知三棱锥D -ABC的每个顶点都在球O的表而上，AB=AC = 3, AD=BC = 32. AD丄底则球O的表而积为.三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17. 已知数列j是递增的等差数列，a3=7,且4是蚣与27的等比中项.求5；若% = VK+7求数列仇的前"项和

6、席18. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一 方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的槪率均为扌，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁 判.(1) 求第4局甲当裁判的槪率：(2) X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的概率分布.第3页，共17页19. 如图，在三棱锥S-仍C中，S力丄平而ABG点D是SC的中点，且 平HABD丄平而SAC(I)求证：月3丄平而SAC()若S = 2AB = 34C,求二而角S-BD-A的余弦值.20. 已知椭圆E： £ +着=l(>b>0)的离心率为二，F1, F?分别为E的左.右焦点，过E的右焦

7、点F2作X轴的垂线交E于A, B两点，F1AB的而积为近.(1) 求椭圆E的方程：(2) 是否存在与X轴不垂直的直线/与E交于GD两点,且弦CD的垂直平分线过E的右焦点F? 若存在，求出直线/的方程：若不存在，请说明理由.21 设函数f(x) = ex - 1 - % - ax2.(I)若 = 0,求f(E的单调区间;()若当X /(x) 0,求“的取值范用.22. 在直角坐标系Py中，曲线Cl的参数方程为；二；籍(“为参数)，将曲线Cl上的所有点的横坐标缩短为原来的£纵坐标缩短为原来的逻后得到曲线C2，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为 S33 *2 极轴建立极坐标系，直线/的极坐标

8、方程为Q = 一侖.(1) 求C2的极坐标方程和/的直角坐标方程；(2) 在极坐标系中，射线=与/, C?分別交于A, B两点(异于极点)，上点M(14,0),求ZlMMB的而积.23. 已知函f(X) = x+ 1| -2x (1) 求不等式f(x) 一6的解集：(2) 若存在实数X满足f (%) = log2,求实数"的取值范I间.答案与解析1答案:解析：解:V ,4 = yy = Iog2Xf(X > l)fB = yy => 1),AnB = yy > 0 y0 <y Vm = yO < y v£.故选:A.由题设条件知A = yy&g

9、t; O, F = yO<y<,由此能够得到ACB的值.本题考查集合的运算，解题时要注意公式的灵活运用.2. 答案：B解析：【分析】本题主要考査复数的几何意义以及复数的四则运算，属于基础题.【解答】解：因(i-0 = ÷i,所以“护尿甞W所以Z的共轨复数乏=i，所以共轨复数对应的点为(0,-1). 故选B.3. 答案：B解析：【分析】由已知可求sin,利用同角三角函数基本关系式可求cos2的值，进而利用二倍角的余弦函数公式 即可计算得解.本题主要考査了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用， 考査了计算能力和转化思想，属于基础题.【解答】解

10、：V Sina = 4 sin2 = t cos2 =,16 16 cos2a = cos2a sin2 =8故选：B.4.答案：B解析：【分析】本题考查统计图表数据的分析，属于基础题.根据统计图表进行判断即可.【解答】解：从图中可以看岀，旅游的总人数逐年增加，故A正确；2015, 2016两年的旅游总人数之和明显大于IOOOo万人次，超过2017年旅游总人数，故B错误; 年份数与旅游的总人数成正相关，故C正确；从2014年起旅游总人数增长加快，故D正确；故选5.答案：A解析：【分析】本题考查正、余弦左理和三角形面积公式在解三角形中的应用，属中档题.根据正、余弦泄理得到4+ac = a2+c2

11、,利用基本不等式结合三角形面积公式即可求出结果.【解答】解：WwiniJcosC + fViikBciMA = 1>»>结合正弦左理可得：siu4 SillZ? CosS(T + sin7 SillB c<wl = -Sin/?,2又B为AMBC的内角t SinB O9BPSini4 COSC + COSA SinC =字 即Sin(A + C)=存又力 + B + C = TT, SinB = 2又 ab, B =3由余弦定理得4 = 2 + C2 - 2 ccB ,所以4 + ac = a2 + c2 2ac,得ac 4, 当且仅当a = C =2时等号成立.三

12、角形ABC而积最大值为：6答案：A解析：乔=(2,1), CD = (5,5)» cos0 = ii = =' 故选A.7.答案：C解析：【分析】本题考查了三角函数的辅助角公式，两角差的正弦公式，以及利用三角函数的性质求最值.【解答】解： y = sin2x yf3cos2x=2 (Sin2x - JCoS2咒)，=2 (Sin2x COSf- cos2x sin#),= 2sin(lx-最小值为-2.故选C.&答案：B解析：【分析】本题考查抛物线的性质，直线斜率，属于基础题. 根据抛物线的性质，联立题目条件求解即可.【解答】设直线PM的方程为X = my + p,第

13、9页.共17页代入y2 = 2p%Wy2 一 2mpy 一 2p2 = 0, 设P（Sy）M （咒沙2），则力卩2 = -2p2.设Q（X33），"（尤4，为），同理可得，卩3卩4 = 一2卩2, 由线段PQ过点F得y*3 = -P? 直线MN的斜率为S厂迸=急,又直线Po的斜率¼ =-= x3XLy 异-”2(儿+J(A-*.)2pyr3-2P?-2P?所以KPQ =力+儿=几 丹 = KMN y+ys y+ys故选B.9答案：C解析：【分析】本题考查几何概型，考查学生的理解分析能力，属于基础题. 分别讣算岀正方形的而枳和半圆的而积，结合题意做比值即可.【解答】解：根据题

14、意，正方形OABC的面积为1X1 = 1,而阴影部分由半径为斗的半圆羽成，其面积为斗X （2 = ?2 2 v2z 8则正方形OABC中任取一点E点P取自阴影部分的概率为壬=1.1 8 故选C.io.答案：C解析:【分析】本题考查空间几何体的三视图，还原几何体是关键，考查学生的空间想象能力和运算能力.属于基础 题.【解答】解：由三视图可知原几何体是一个底而为直角三角形的三棱锥，且AB垂直于底而BCD, 其中AB = BC = 4, BD = 3, AD = CD = 5, AC = 42.因为蚂蚁在最短的棱BD的中点处，沿着棱爬到与该条棱所在直线互为异而直线的棱AC的中点处, 所以最小值为环+

15、 4 + 22 = +22.故选C.11.答案：B解析：【分析】本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题.根据F1F2 = PF2列方程得出"，b, C的关系，从而得出答案.【解答】解：不妨设P在第一象限， PF1F2为等腰直角三角形，F1F2 = PF2, IiLFlF2丄P甩，把X = C代入双曲线方程Wy = -,即PF2 =CLa 2c = = C g-> 即c? 2ac a? = 0,aa e2 - 2e - 1 = 0.解得e = 2 + 1 或& = 一+1（舍）， 故选:B.12.答案：D 解析：解：f(E = 2% + ± =竺半，V

16、Zx+l x+1若函数f(x) = X2 + aln(x + 1)在(-l,+)上是增函数，则2乂 + 2 + a O在(一匕+8)恒成立，即 -2x2 - 2xt(-l, +8)恒成立，4%) = -2x2- 2x, (X > -1),P(X)I(-,-)递增，在(-,+)递减，故g()的最大值是9(一£) = £，故?故选：D.求出函数的导数，问题转化为a-2%2-2xi(-l,+)恒成立，g(X) =-2x2-2x, (x>-1), 根据函数的单调性求出“的范围即可.本题考查了函数的单调性、最值问题，考査导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题.13 倍

17、案：192解析：解：&+I = C£(2仮)6"(去)= (_1)©26"£",由3-r = 2,得r = 1.含*项的系数是一C扌×2s = -192.故答案为：-192.写岀二项展开式的通项，由X的次数为2求得/值，则含%2项的系数可求.本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题.14.答案：3解析：【分析】本题考查了简单线性规划问题；正确画岀可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键. 画岀不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值.【解答】(X O解：X, y满

18、足约朿条件x+2y >4,(2x + y 5z = 2x-y得到y = 2x-z,所以当直线经过图中A(2tl)时，直线在$轴上的截距最小, 所以Z的最大值为2 × 2- 1 = 3；故答案为3.15答案：-8解析：解：根拯题意，函数f(x)满足当XVO时，f() = (护，贝Jf(-3) = 3 = 8,又由函数f(x)为奇函数，则f(3) = -/(-3) = -8：故答案：一8根据题意，由函数的解析式求出f(-3)的值，结合函数的奇偶性分析可得f(3)的值，即可得答案. 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的求值，属于基础题.16. 答案：36如图，由所给数据

19、，易知4C丄AB,又AD 丄5FlIff ABC.可知，所给三棱锥是球内接长方体的一角,球直径为长方体的体对角线长，长方体体对角线长为6,得球半径为3,得球面积为36m故答案为：36r.由所给数据结合勾股立理可得AC, AB垂直，进而得AC, ABt AD两两垂直，从而联想长方体内接 于球，得解.此题考查了长方体外接球的问题，难度不大.17. 答案：解：设j的公差为，则d>0.据题意有乌二：，即I QS 27 ClI(。3 = 7I (3 + d)? = 27(a3 2d)'解得d = 2或d = 70. d > 0, d = 2, an = a3 + (n 3)d = 2

20、n + 1 =匠+£= E:E =+3-2n + l),数列b71的前"项和：Tn = (5-3 + 7-5 + + 2n + l- 2n-l + 2n + 3 - 2n + 1) = (2n + 3 - 3).解析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的性质、裂项相消法求和，考查的核心素养是 逻辑推理、数学运算.(1) 首先设数列a71的公差为然后根据等差数列的通项公式及等比数列的性质建立方程组，解方 程组可求得数列a71的公差，从而求得通项公式：(2) 首先由(1)求出bn,然后利用裂项相消法求和.常见的裂项公式： 7= = (+fc-n);(3) (2n-l)(2

21、n+l) 2(4) 一一 =斗一 _ 一一1V J n(n+l)(n+2)2 L(n+1)(n+l)(n+2)J*18. 答案：解：(1)令金表示第2局结果为甲获胜.力2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负.A表示 第4局甲当裁判.则力=列去，P(A) = P(Al- A2) = P(Al)P(A2)=扌；(2)X的所有可能值为0, 1, 2.令力3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜.町表示第1局结果为乙 获胜，巳表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，內表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则 P(X = 0)= P(F1F2B3) = P(BjP(B2)P(B3) = &P(X = 2)

22、= P(BlB3) = P(Bi)P(B3) = z.P(X = I) = I- P(X = O) _ P(X = 2)=-. 8故X的分布列为X012P185814解析：本题考査互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考査利用概 率知识解决问题的能力.CL）令力I表示第2局结果为甲获胜，力2表示第3局甲参加比赛时.结果为甲负，A表示第4局甲当裁 判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可.（2）X的所有可能值为0, 1, 2分别求出X取每一个值的概率，列出分布列即可.19答案：（I）证明：如图，在平而SAC中，过点S作SH丄A

23、D.垂足 为H,平而朋D丄平而SAC,平而朋"平而SM=ED,.-.SH 丄平而 ABD,又AB C5FlfifABDt ：. AB 丄 SH.又SA丄平而ABC9 AB U平面ABC. 力3丄$4-SAr SH = S.且SA, SHU平而SAC,力8丄平而SAC：（D）解：不妨设4C= 2, AB = 3, AS = 6,由（I）知，/3丄平而SAC,又ACU平面SAG AB丄4C,分别以AE C> AS所在直线为儿y、Z轴建立空间直角坐标系 则有4(0,0. 0), 3(3,0, 0), C(OZ 0), S(OJOt 6). £)(0，3).AS = (300

24、),75 = (Oi3)，'> *设平而 ABD 的一个法向 =(XlfyVZI WIJri= 3X1 = 0n1 AD = y1 + 3z1 = 0 取ZI = 1,得局=(Oj-3,1) 同理可得平而SBD的一个法向量芯=(-2,-3, -1),284 3S COS V "2 >=i-ii = i = I二而角S BD 一 4的余弦值为一迴 解析：（I）在平而SAC中，过点S作SH丄仙，垂足为H,由而而垂直和线而垂直的性质可得加丄SH, 再由SA丄平面ABG得AB丄S力，结合线而垂直的判泄可得MB丄平SAC;（II）不妨设4C = 2, AB = 3t AS

25、= 6,由（I）知，力B丄平而SAC9得朋 丄4C,分别以AB、AC. AS所在直线为小八Z轴建立空间直角坐标系.求出两个平而ABD与平而SBD的一个法向量，由法向量所成角的余弦值可得二而角S - BD - 4的余弦值.本题考查直线与平而垂直的判左，训练了利用空间向量求二而角的平而角，是中档题.20. 答案：解：设F1(-c,0), 2(c,0),S“'AB =扌 X 2c X |力8| = C 壬=2>而£ =密a 2则沪=1, a2 = 2, 因此椭圆E的方程为斗+ y2 = l.(2)假设存在直线/满足条件，设直线/： y = kx + m9 C(XpyI), D

26、(x2,y2),线段 CP 的中点M(XQfyQ).将直线/的方程代入椭圆方程得(1 + 2fc2)x2 + 4kmx + 2m2-2 = 0f 则 2x0 = x+X2 = 一吕器，2km l+2k2又y0 = kx0 + m.所以坯=石丽即M(-2km Tn l+2k2" l+2k2第17贞，共17页若CD的垂直平分线过右焦点2(0),m2fm 所以 1. + 2k2 = km、 即Xo =-諾？= 2,与Xo (-2f2)矛盾 故不存在这样的直线/满足条件.解析：本题考査了椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的综合问题，是中 档题.由题意SAB = ×

27、;2c×AB = c-= 又汁乎，得岀“，b，即可得出椭圆方程：(2)假设存在直线/满足条件，设直线liy = kx+m, C(x1,y1), D(x2,y2),线段CD的中点M(Xo,y°).m联立得M(-鵲7,島)，若CD的垂直平分线过右焦点f(0),则fe-=-即M)=丄+2诈一-鵲 =2,与XO (-2,2)矛盾.故不存在这样的直线/满足条件.21. 答案：(I) = 0时，f(x) = ex-l-x, f,(x) = ex-l.当x(-,0)时，f,(x) < 0：当 (0,+8)时，,(x) > 0.故fU)在(一so)单调减少，在(0, +)单调增加()r (%) = ex - 1 - 2x由(1)知e” l+x.当且仅当咒=O时等号成立.故f(x) X - 2ax = (I- 2a)x,从而当 1 - 2 0,即QS 扌时，f,(x) O(X 0),而 f(0) = 0,于是当咒 0时，/(x) 0由e” >l + x(x 0)可得g-” >l-x(x0). 从而当 > 扌时，/(%) <ex-l+ 2a(e - 1) = ex(ex 一 l)(e 一 2), 故当兀 (0, n2)时,/(x) V 0, W(0) = 0,于是当X (OJn2)时，f(y) &