2021中考数学压轴题专题训练07综合探究类（附解析）

1、综合探究类1综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，ABCDEF， 其中ACB=90，BC=2，A=30操作与发现： （1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是 ，CF= ； （2）创新小组在图二的基础上，将DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合连接CE，BF四边形BCEF的形状是 ，CF= 操作与探究 ：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF， B

2、F 经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论【解析】（1）如图所示：ABCDEF， 其中ACB=90，BC=2，A=30，四边形ACBF是矩形，AB=4，AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ；（2）如图所示：ABCDEF， 其中ACB=90，BC=2，A=30，四边形ECBF是平行四边形，点E与AB的中点重合，CE=BE，是等边三角形，EC=BC，四边形ECBF是菱形，CF与EB互相垂直且平分，故答案为：菱形，；（3）证明：如图所示：为等边三角形四边形ACBF为平行四边形四边形ACBF为矩形2如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，为格点，为小正方形边的中点.（1）的长等于

3、_；（2）点，分别为线段，上的动点，当取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）.【解析】解：（1）由图可得：AC=，故答案为：5；（2）如图，与网格线相交，得点；取格点，连接，与网格线相交，得点，取格点，连接，与网格线相交，得点，连接，与相交，得点.连接，.线段，即为所求.如图，延长DP，交网格线于点T，连接AB，GH与DP交于点S，由计算可得：AB=，BC=，AC=5，ABC为直角三角形，ABC=90，tanACB=2，tanBCT=PT：TC=2，ACB=BCT，即BC平分ACT，根据画图可知：GHBC，ACB=CQH，

4、BCT=GHC，BCT=BCA，CQH=GHC，CQ=CH，由题意可得：BS=CH，BS=CQ，又BP=CP，PBS=PCQ，BPSCPQ，PSB=PHC=90，即PQAC，PD+PQ的最小值即为PD+PT，所画图形符合要求.3数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补

5、全图形，再予以证明）【解析】（1）解：如图3所示，图形的面积表示为：，图形的面积也可表示：，a2+b2+ab=c2+ab，a2+b2=c2（2）解：如图4所示，大正方形的面积表示为：(a+b)2，大正方形的面积也可以表示为：，a2+b2+2ab=c2+2ab，a2+b2=c2；4综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C（问题发现）（1）填空：如图1，若ACB145，则ACE的度数是 ，DCB的度数 ，ECD的度数是 如图1，你发现ACE与DCB的大小有何关系？ACB与ECD的大小又有何关系？请直接写出你

6、发现的结论（类比探究）（2）如图2，当ACD与BCE没有重合部分时，上述中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由【解析】解：（1），；结论：，；证明：，（2）结论：当与没有重合部分时，上述中发现的结论依然成立理由：，上述中发现的结论依然成立故答案为：（1）55， 55， 35；ACEDCB，ACB+ECD180；（2）当ACD与BCE没有重合部分时，上述中发现的结论依然成立，理由详见解析5操作：将一把三角尺放在如图的正方形中，使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点，探究：(1)如图，当点在上时，求证：.(2)如图，当点在延长线上时，中的结论还成立吗？简要说明理

7、由.【解析】(1)证明：过点作，分别交于点，交于点，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，AMP和CNP都是等腰直角三角形NP=NC=MB BPQ=90QPN+BPM=90，而BPM+PBM=90 ， QPN=PBM，又QNP=PMB=90， 在QNP和BMP中，QNP=PMB，MB=NP，QPN=PBMQNPPMB（ASA），PQ=BP (2)成立. 过点作于,交于点在正方形中,是矩形，是等腰直角三角形，在和中，；6实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处

8、，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平 问题解决：（1）如图1，填空：四边形的形状是_；（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若，求的值【解析】（1）解：ABCD是平行四边形，四边形是平行四边形矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处四边形的形状是正方形故最后答案为：四边形的形状是正方形；（2）理由如下：如图，连接，由（1）知：四边形是矩形，由折叠知：又，（3），由折叠知：，设，则在中，由勾股定理得：解得：，即如图，延长交于点G，则，7综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能例如教材八年级下册的

9、数学活动折纸，就引起了许多同学的兴趣在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图（1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中ABN是什么特殊三角形？答： ；进一步计算出MNE ；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图，则GBN ；拓展延伸：（3）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A处，并且折痕交

10、BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA交ST于点O，连接AT求证：四边形SATA是菱形解决问题：（4）如图，矩形纸片ABCD中，AB10，AD26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9请写出以上4个数值中你认为正确的数值 【解析】解：（1）如图对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，EF垂直平分AB，ANBN，AEBE，NEA90，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，BM垂直平分AN，BAMBNM90，ABBN，ABANBN，ABN是等边三角形，EBN60，ENB30，MN

11、E60，故答案为：是，等边三角形，60；（2）折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，ABGHBG45，GBNABNABG15，故答案为：15；（3）折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A处，ST垂直平分AA，AOAO，AAST，ADBC，SAOTAO，ASOATO，ASOATO（AAS）SOTO，四边形ASAT是平行四边形，又AAST，边形SATA是菱形；（4）折叠纸片，使点A落在BC边上的点A处，ATAT，在RtATB中，ATBT，AT10AT，AT5，点T在AB上，当点T与点B重合时，AT有最大值为10，5AT10，正确的数值为7，9，故答案为：7，98综合与实践问题情境数学活动课

12、上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，解决问题（1）勤奋小组将和按图1所示的方式摆放(点在同一条直线上) ，连接发现，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点逆时针方向旋转，当点恰好落在边上时，求的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题： “将沿方向平移得到连接，当恰好是以为斜边的直角三角形时，求的值请你直接写出的值【解析】（1）和是两个等边三角形，AC=CD，BC=CE，ACD=ECB=60，ACD+DCE=ECB+DCE,即ACE=DCB，ACEDCB，AE=BD；（2）由题意得

13、ACD=ECB=60，过点B作BFAC，交AC的延长线于F，BCF=180-ACD-ECB=60，F=90，CBF=30，CF=BC=1cm，BF=cm，=；（3）由题意得ACD=60，=90，,=2cm，a=2.9动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号；（3）在图4中，找出7块塑

14、料板，并填上标号【解析】（1）如下图（2）如下图（3）如下图10已知：如图1，在中，弦，直线相交于点（1）求的度数；（2）如果点在上运动，且保持弦的长度不变，那么，直线相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）如图2，弦与弦交于点；如图3，弦与弦不相交：如图4，点与点重合【解析】解：（1）连接、，如图：是直径是等边三角形（2）结论：直线 、相交所成锐角的大小不发生改变依然是证明：连接、，如图：为等边三角形结论：直线 、相交所成锐角的大小不发生改变依然是证明：连接、，如图：是直径是等边三角形结论：直线 、相交所成锐角的大小不发生改变依然是证

15、明：如图：当点与点重合时，则直线与只有一个公共点恰为的切线，故答案是：（1）（2）结论：直线 、相交所成锐角的大小不发生改变，依然是；证明过程见详解结论：直线 、相交所成锐角的大小不发生改变，依然是；证明过程见详解结论：直线 、相交所成锐角的大小不发生改变，依然是；证明过程见详解11综合与实践：折纸中的数学问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D处，折痕为EF这时同学们很快证得：AEF是等腰三角形接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题操作发现(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD按上述方式折叠，如图，发现重叠部分A

16、EF恰好是等边三角形，求矩形ABCD的长、宽之比是多少？实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD沿EF折叠，如图，使B点落在AD边上的B处；沿BG折叠，使D点落在D处，且BD过F点试探究四边形EFGB是什么特殊四边形？(3)再探究：在图中连接BB，试判断并证明BBG的形状【解析】解：（1）矩形的长、宽之比应是证明：设，等边三角形，四边形为矩形，在中，（2）四边形是平行四边形证明：四边形为矩形，由翻折的特性可知：，又，又，四边形是平行四边形（3）为直角三角形证明：连接交于点，如图所示，为等腰三角形，为直角三角形12综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题

17、开展数学活动如图1，在ABC中，ABAC10cm，BC16cm将ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到ABD和ACD操作发现：（1）乐学小组将图1中的ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得ACAD，得到图2，AC与AB交于点E，则四边形BECD的形状是 （2）缜密小组将图1中的ACD沿DB方向平移，AD与AB交于点M，AC与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD的形状，并说明理由实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD的长为acm时，图3中的四边形MNDD会成为正方形，求a的值（4）创新小组又把图1中的ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A与点D重合，点D的对应点D在BD的延长线上，再将ACD绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD交AB于点P，DC交AB于点Q，DPDQ，此时线段AP的长是 cm【解析】解：操作发现：（1）如图1：ABAC10cm，BC16cmBC，BDCD8cm，BADCAD，ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，CDBD，ADBD，ACAD，ACBD，ADC90C，ADC90B，且BAD90B，ADCBAD，ABCD，四边形BDCE是平行四边形，BDCD，四边形BECD是菱形，故答案为：菱形；（2）如