平面解析汇报几何硬解方法及便捷规律【珍藏】

1、实用标准文案平面解析几何1. 圆锥曲线对比表2. 硬解定理内容3. 结论与推论精彩文档实用标准文案第一部分圆锥曲线对比表椭圆圆锥曲线双曲线抛物线标准方程x2 /a 2 +y2 /b 2 =1 (ab0)x2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 (a0,b0)y2 =2px (p0)范围x -a,ax(- ， -a a,+ )x 0,+ )y -b,byRy R对称性关于 x 轴， y 轴，原点对称关于 x 轴， y 轴，原点对称关于 x 轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0)(p/2,0

2、)【其中 c2 =a2 -b 2 】【其中 c2 =a2 +b2 】准线x= a2 /cx= a2 /cx=-p/2渐近线y= (b/a)x离心率e=c/a,e （ 0,1)e=c/a,e （ 1,+ ）e=1焦半径 PF? =a+exPF? =ex+aPF=x+p/2 PF? =a-exPF? =ex-a 焦准距p=b2 /cp=b2/cp通径2b2 /a2b2/a2p参数方程x=a cosx=a sec x=2pt 2y=b sin ，为参数y=b tan ，为参数y=2pt,t 为参数过圆锥曲线上一点x0 x/a 2 +y0 y/b 2 =1x0x/a 2 -y0 y/b 2=1y0 y

3、=p(x+x0)(x0,y0 ）的切线方程斜率为 k 的切线方程y=kx (a 2 k2 +b2 )y=kx (a 2 k2-b 2 )y=kx+p/2k精彩文档实用标准文案第一部分硬解定理内容CGY-EH定理 （圆锥曲线硬解定理 ）若曲线与直线 A+By+C=0相交于 E、 F 两点 , 则:其中为一与同号的值，定理说明应用该定理于椭圆时, 应将代入。应用于双曲线时, 应将代入同时不应为零 , 即不为零。求解 y1+y2 与 y1*y2 只须将 A 与 B 的值互换且 m与 n 的值互换 . 可知与 ? 的值不会因此而改变。定理补充联立曲线方程与y=kx+是现行高考中比联立” Ax+By+C

4、=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项， x1+x2，x1x2 都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个 CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。若曲线与直线 y=kx+相交于 E、F 两点 , 则:这里的既可以是常数，也可以是关于k 的代数式。由这个公式我们可以推出：若曲线为椭圆, 则精彩文档实用标准文案若曲线为双曲线, 则由于在高考中 CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需要考生自己填写）：联立两方程得 （二次式子）（* ）所以 x1+x2= ， x1x2= ；

5、所以 |x1-x2|=（ x1+x2）2-4x1x2= （此时代入、式得到一个大式子，但不必化简）化简得 |x1-x2|=( 偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长了。定理简证设曲线 x2/m+y2/n=1 与直线 A +By+C=0相交于 E、F 两点，联立式可得最终的二次方程：(A2 m+B2 n) x2+2ACmx+C2 m-mnB2=0应用韦达定理，可得:x_1+x_2=(-2ACm)/(A2 m+B2 n)x_1 x_2=(m(C2-B2 n)/(A2 m+B2 n)? =4mnB2 ( -C2)对于等价的一元二次方程? 的数值不唯一 , 且 ? 的意义仅在于其与零的关系, 故

6、由 4B20 恒成立 ,则可取与 ? 同号的 ? =mn( -C2) 作为 ? 的值。 3由|EF|= ( (x_1-x_2) 2+(y_1-y_2) 2 )= (1+A2/B2) (x_1+x_2) 2-4x_1 x_2 )可得 |EF|= (A2+B2)4mn(A2 m+B2 n-C2)/(|A2 m+B2 n|)令 =A2 m+B2 n 则得到 CGY-EH定理 :x_1+x_2=(-2ACm)/ ; x_1 x_2=(m(C2-B2 n)/ ;? =mn( -C2) ; |EF|=(2 (A2+B2)? )/(|)精彩文档实用标准文案第一部分结论与推论一、椭圆的常用结论：1. 点 P

7、处的切线 PT平分 PF1F2在点 P 处的外角 .2. PT平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线PT上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若 P0 (x0 , y0 ) 在椭圆x2y21上，则过 P0 的椭圆的切线方程是x0 xy0 y1.a2b2a2b26.若x2y2101、 P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是P0(x0 , y0 )在椭圆a2b2外，则过 P 作椭圆的两条切线切点为Px0 xy0 y1.a2b27.椭圆 x2y21(a

8、1，F2，点 P 为椭圆上任意一点F PF，则椭圆的焦a2b2b 0) 的左右焦点分别为 F12点角形的面积为 S F1PF2 b2 tan .28.椭圆 x2y2（ab 0）的焦半径公式 | MF1 |a ex0 , | MF2 |ex0 ( F1 (,F2 (c,0) M (x0 , y0 ) ).221ac,0)ab9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P 、Q两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N两点，则 MF NF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A 、A 为椭圆长轴上的顶点， A P 和 A Q交于

9、点1212M，A2P 和 A1Q交于点 N，则 MF NF.11.AB是椭圆 x2y21的不平行于对称轴的弦，( x, y )kkb2Kb2 x0a2b2M 00为 AB的中点，则OMABa2 ，即ABa2 y0 。12.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y2x0 x y0 y x0 2y0 2；a2b2 1 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2b222aab【推论】：1、若 P0 (x0 , y0 ) 在椭圆x2y21内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是x2y2x0 x y0 y。椭圆x2y21（ aa2b2a2b2a2b2a2b2bo）的两个顶点为 A1 (a,0), A2

10、(a,0) ，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是x2y21 .a2b22、过椭圆 x2y21(a 0, b0) 上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，a2b2b2 x则直线 BC有定向且 kBC20a y0（常数） .3、若 P 为椭圆 x2y21（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2 是焦点 , PF1F2, PF2F1 ，22ab精彩文档实用标准文案则 actanco t2.ac24、设椭圆 x2y21（a b0）的两个焦点为1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F

11、2a2b2F中，记F1PF2,PF1 F2,F1F2P，则有since .sinsina5、若椭圆x2y21（ a b0）的左、右焦点分别为F 、 F ，左准线为 L，则当 0e2 1时，可在22ab12椭圆上求一点P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项 .6、P 为椭圆x2y2（ ab0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点， A 为椭圆内一定点，则a221b2a | AF2 | | PA | PF1 | 2a | AF1 | , 当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立 .7、椭圆( x x0 )2( y y0 )21与直线 Ax By C 0222b

12、2( Ax0By02.a22有公共点的充要条件是 A aBC )b8、已知椭圆 x2y21OPOQ.（1）11211;a2b2（ a b0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且2a2b2|OP |OQ |22的最大值为4a2b2a2 b22 .（2）|OP| +|OQ|a2b2 ; （ 3） S OPQ 的最小值是a2b9、过椭圆x2y21（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N两点，弦 MN的垂直平分线交 xa2b2轴于 P，则 |PF|e .|MN |210、已知椭圆x2y21（ a b0）,A、 B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x 轴相交于a2b2点 P( x0

13、 ,0) ,则 a2b2x0a2ab2.a22（ a b0）上异于长轴端点的任一点 ,F 1、F2 为其焦点记11、设 P 点是椭圆 x2y21F1PF2，则ab(1)| PF1 | PF2|12b2.(2)S PF1F2b2 tan.cos212、设 A、B 是椭圆 x2y21PAB,PBA,BPA，a2b2（ a b0）的长轴两端点， P 是椭圆上的一点，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有2ab2 |cos|.(2)tan tan2.(3)S PAB2a2b2.(1) | PA|2221 eb2a2 cotacco s2213、已知椭圆 x2y21（ a b0）的右准线 l 与 x 轴

14、相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交ab于 A、B两点, 点C在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点 .14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 .15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).（注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）精彩文档实用标准文案17、椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定

15、比e.18、椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.二、双曲线的常用结论：1、点 P 处的切线 PT平分 PF1F2 在点 P 处的内角 .2、PT平分 PF1F2 在点 P 处的内角， 则焦点在直线PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交 .4、以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 . （内切： P 在右支；外切： P 在左支）5、若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（a0,b 0）上，则过P0 的双曲线的切线方程是x0 xy0 y1.a2b2a2b26、若 P0 ( x0

16、, y0 ) 在双曲线 x2y2（a0,b 0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切221ab点弦 P P 的直线方程是x0 xy0 y1.2212ab7、双曲线 x2y211， F 2 ，点 P 为双曲线上任意一点F PF，则a22（ a 0,b o）的左右焦点分别为 F12b双曲线的焦点角形的面积为S F1PF2 b2 co t .28、双曲线x2y21（ a 0,b o）的焦半径公式： ( F1 (c,0) ,F2 (c,0) ）当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时，a2b2| MF1 | ex0a ,|MF2|ex0 a ；当 M ( x0 , y0 ) 在

17、左支上时， | MF1 |ex0a, | MF2 | ex0 a 。9、设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、 N两点，则 MFNF.10、过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q交于点 N，则 MF NF.11、AB是双曲线 x2y21K ABb 2 x0a2b2（a0,b 0）的不平行于对称轴的弦， M( x0 , y0 ) 为 AB的中点，则 KOMa 2 y0 ，即KABb 2 x0 。a

18、 2 y012、若 P (x ,y )在双曲线x2y21Po 所平分的中点弦的方程是x0 x y0 y x0 2y0 20 0 0a2b2（a 0,b 0）内，则被a2b2a2b2 .13、若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（ a0,b 0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是x2y2x0 x y0 ya2b2a2b2a2b2 .【推论】：1、双曲线 x2y21（ a 0,b 0）的两个顶点为 A1 ( a,0) , A2 (a,0) ，与 y 轴平行的直线交双曲线于1、P2a2b2P时 A P 与 A P 交点的轨迹方程是x2y222 1.1122ab2、过双曲线 x2y2

19、22 1 （a0,b o）上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两ab精彩文档实用标准文案2点，则直线BC有定向且 kBCb2 x0a y0（常数） .3、若 P 为双曲线x2y21（a0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F2 是焦点 ,PF1 F2,2b2aPF2 F1，则 catanco t（或 catanco t）.ca22ca224、设双曲线x2y21 （a0,b 0）的两个焦点为 F 、F ,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，22ab12在 PF1F2 中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有sinc(sine .

20、sin ) a5、若双曲线x2y21 （a0,b 0）的左、右焦点分别为122 1时，a2b2F 、F ，左准线为 L，则当 1 e可在双曲线上求一点P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .22（a 0,b 0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点， A 为双曲线内一定点，则6、P 为双曲线 x2y21ab| AF2 | 2a| PA| PF1 | , 当且仅当 A, F2, P 三点共线且 P 和 A,F2在 y 轴同侧时，等号成立 .7、双曲线x2y21（ a0,b 0）与直线 AxByC 0 有公共点的充要条件是2a22b22.a22ABCb8、已知双曲线

21、x2y21（ ba 0）， O为坐标原点， P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ .a2b2（1）111 122的最小值为4a2b2; （3） S OPQ 的最小值是a 2b22 .22a2b2; （ 2）|OP|+|OQ|b2a2b2a|OP | |OQ |9、过双曲线 x2y21M,N 两点，弦 MN的垂直平a2b2（a0,b 0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于分线交 x 轴于 P，则 | PF |e .|MN| 210、已知双曲线x2y21（a 0,b 0） ,A、 B 是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x 轴相交a2b2于点 P( x0 ,0) ,则 x0a2b2或 x0a2b2.aa11、设 P 点是双曲线x2y2、F2 为其焦点记F1 PF2，则a22 1（ a 0,b 0）上异于实轴端点的任一点 ,F 1b(1) | PF1 | PF2 |2b2.(2)S PF1F2b2 cot.1 cos212、设 A、 B 是双曲线x2y21（