抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析

1、抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理】1 .抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹称为抛 物线.2 .抛物线四种标准方程的几何性质：图形0J.4卜司参数P几何意 义参数PN殳示焦点到准线的距离，P越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程炉=2PMp>0)y = -2 *(p> o)/ = 2PMp >0)丁 = - 2 py p > 0)焦点位置X正X负Y il:Y负焦点坐标(?,0) 2(一 2（。心） 22准线方程艮 2

2、PA =27=-fP 力万范围0, yw Rk 4 0 jw Ry> xe R”0” R对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标(0,0)离心率e= 1通径2p焦半径“E中）AF = x + - 2AF = - x - 2af =耳 + eAF = 一 y + '焦点弦长M(% +P一(,* + x2)+ p(X + %)+ P一(% + %)+ P焦点弦长. 的补充4和X)以<8为直径的圆必与准线/相切若他的倾斜角为a，网X”若AS的倾斜角为a ,则MW- 2 cos a1p-X. K、= 21 -4=11 AF+ BFAB2AF * BF AF，BF - AF BF - p3 .

3、抛物线/ = 2P以P、°)的几何性质：范围 因为p>0,由方程可知x20,所以抛物线在卜轴的右侧，当汗的值增大时，了也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.户(X,0)-艮(3)顶点(0, 0),离心率：e =1,焦点 2 ，准线 2 ,焦准距p.(4)焦点弦：抛物线y =2a(p>0)的焦点弦人3,工区/),凡在必)，则I AB=演+与+ " 弦长|AB|=xl+x2+p,当xl=x2时,通径最短为2p04.焦点弦的相关性质：焦点弦48,工(。卜)，月化,必)，焦点 7'则:若AB是抛物线V =2*(p

4、>0)的焦点弦(过焦点的弦) 2x.x, = -2一 4 片小：-P9O若AB是抛物线炉= 2pHp>0)的焦点弦，且直线,且4飞黑)，叫0%),AB的倾斜角为0 ,则"同一 siir «( a W0)。 已知直线 AB11 AF 十 BF AB是过抛物线产=2双”0) 佳占F , AF BF AF BF AF BF (4)焦点弦中通径最短长为2po通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做 通径.(5)两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点 向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5.弦长公式：力区/)，例均必)是抛物线

5、上两点，则【经典例题】(1)抛物线一一二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直 线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相 伴，乂鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美，乂生出多 少华丽的篇章.【例1】P为抛物线V = 2px上任一点，f为焦点，则以PF为直径的圆与y轴 ( )A相交B相切仁相*X离。位置由P确定,4【解析】如图，抛物线的焦点为'2九准 线是'.'"之乍/于巴交y轴于Q,那么网=依且2 .作顺上丫轴于n则MN是梯形PQOF的|mat|= -(1of|+

6、-q|)= L|p*| =|p 尸 I中位线，1 2X,1" 211 211故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性 质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】 过抛物线V = 2p*（p>0）的焦点f作直线交抛物线于42）5（公，乂）两点，求证：【证明】（i）如图设抛物线的准线为，作4仆/小即一于外则因中讣P5 .两式相加即得:（2）当AB_Lx轴时，有1 I 2y= k x- -2<代入抛物线方|七|=忸尸卜P:画

7、一画一成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为: 程:= 2pxjt2x2 - p(k2 + 2)x+ il2 = 0【2 J.化简得：l /4一方程(1)之二根为xL x2, A '4匕/毛十 "不七十PP成立.故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有M 忸H (3)切线一一抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，乂与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程， 是解题者不可或缺的基本功.例3证明：过抛物线二 2px上一点乂(xO, yO)的切线方程是：yOy=p(x+xO)、ly> y = 2p,二V='切线的斜率【证明】对方程必=2处两边取导数：p=y|5l

8、= %.由点斜式方程：尸一 乂 =，(x-、)=' «。)K = 2Pe 代入即得：yOy二p (x+xO)(4)定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在 解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线/=网上，且动圆恒与直线内+2 =。相切， 则此动圆必过定点()A(4.0)日(2.0)C(0.2)D.(0.-2)显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2 .抛物线炉=2 Px的通径长为2p.3 .设抛物线”= 2p.x过焦点的弦两端分别为省/乂)，5(乂)，那么：以下再举一例【例4设抛物线炉

9、= 2px的焦点弦皿在其准线上的射影是A1B1,证明：以 A1B1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p,而A1B1与AB 的距离为P，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物 线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为火知乂）'见、上）,设抛物线的准线交x轴于c,那么,尸甲曰"（=仁川-仁勺|.故/外产勺=90° 这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通法特法妙法（1）解析法一一为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易

10、解决的儿 何问题（如对称问题等）.【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线y二-xa3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则 |AB|等于（）A. 3B. 4C. 3c D. 4c【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】点A、B关于直线x+y=O对称,工设直线AB的方程为:尸=m ,<、 =* *十 /»- 3 = 0(1)y= *+ 叫由，=-父 + 3设方程（1）之两根为xl, X2,则为+为=-1.可十天1%=- Jy0=2 .故有设AB的中点为M （x0, yO）,则 22 .代入x+y=0：L

11、 1 22从而加工六”】.直线AB的方程为：ywnL方程（1）成为：片+*-2 = 0 .解 得：”-2J,从而尸-L2,故得:a (-2, -1) , B (1, 2) .，网二3 6，选 风（2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计 算，这乂使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种 使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线了 =打的 焦点为F,准线为,，经过产且斜率为6的直线与抛物线在汗轴上方的部分相交于 点A，水工/,垂足为K,则的面积（）4mA. 4B.

12、36C .D. 8【解析】如图直线AF的斜率为6时NAFX=600.AFK为正三角形.设准线/交x轴于M,则尸“卜夕"2 |F| = 4,5t=x42 = 4x/3且NKFM=60° , 4.选 c.【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的S &面积用公式44 计算.(2)本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，再计算正三角形 的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.(3)定义法一一追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反 而特别简单.【例7】(07.湖北卷.7题)双曲线2)C. :-r- = 1

13、(3 > 0? b > O')r r/ b的左准线为,，左焦点和右焦点分别为"和?；抛物线g的线为，焦点为q与g的一个交点为例，则的用也修等于( )A- -1B. 1 12D. 2【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识乂一 时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c,离心率为e,作A7_L/于，令加讣中|晒| = 2.点m在抛物线上，iiii “Ml 1%； 工,.” = MF,=小故L =e1 -i -| MW I MF2 r：I MF, I这就是说：IMKI的实质是离心率e.WEI其

14、次， MF、I与离心率e有什么关系？注意到：忻鸟 |2cc 2a“4+ 4)(.I.|卜伍|4441cJ皿迎一)-这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于“巧I 1必61.，选(4)三角法本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的 三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”一 一达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.8 (09.重庆文科.21题)如图，倾斜角为a的小直线经过抛物线必=打的焦点f,且与抛物线交于4 8两点。(I)求抛物线的焦点厂的坐标及准线1的方程；M (II)若a为

15、锐角，作线段四的垂直平分线卬交 轴于点尸，证明小|-任卜0523为定值，并求此定值。【解析】(I )焦点F (2, 0),准线5二一2.(II)直线 AB：k tana(2) (1).X.2L?8 代入(1),整理得：/'tana_8y-16tana =0(2)8一<tan a设方程(2)之二根为yl, y2,则 = -16MC).则设AB中点为tan a+ 2 = 4cot" a + 2AB的垂直平分线方程是：尸4cot。= -cota (a-4cot'a - 2 ) 令 y=0,则0+6'有'(4c°t% + 6 0)故|F'

16、;P = ()p - |OF| = 4cot or * 6 - 2 = 4 (col2a 4 l)= 4cos2 a于是 IFP H FP | cos2a=4 esc' a (1-3 2a ) = 4 CSC 7 Zin ' a = 8 ,故为定值.(5)消去法一合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优 秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵” .【例9】是否存在同时满足下列两条件的直线，：（1）,与抛物线/=网有 两个不同的交点A和B； （2）线段AB被直线4 ： x+5y-5=0垂直平分.若不存在， 说明理

17、由，若存在，求出直线/的方程.【解析】假定在抛物线丁=84上存在这样的两点怎，X），小毛，）.则.1 = （X4 必）（乂-8）=8“一/）=.= 4=;-其=8毛（%-%）（片+上）线段 AB 被直线人：x+5y-5=0 垂直平分，且18勺=一，二"曲:5,即（% + 一）-8*"（%，），则% =几+ = 3设线段AB的中点为25 .代入x+5y-5=0得x=1.于是：（41M 1,-AB中点为§人故存在符合题设条件的直线，其方程为：4r.ry-5x- I）,即：25x-5-21 =0（6）探索法一一奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就 得冷静分析，探索规律，不断地猜想一一证明一一再猜想一一再证明.终于发现 “无限风光在险峰” .【例10 （10.安徽卷.14题）如图，抛物线产-.出+1与x轴的正半轴交于点 A,将线段 &q