平面几何地26个定理

1、实用标准文案高一数学竞赛班二试讲义第 1 讲平面几何中的26 个定理班级姓名一、知识点金ABC 的顶点，1. 梅涅劳斯定理： 若直线 l 不经过并且与 ABC 的三边 BC,CA, AB 或它们的延长线分别交于 P,Q, R ，则 BP CQ AR1PCQARB注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2.塞瓦定理：设 P, Q, R 分别是ABC 的三边 BC, CA, AB 或它们的延长线上的点，若 AP, BQ,CR 三线共点，则 BP CQ AR 1 PC QA RB注： 塞瓦定理 的逆定理也成立3. 托勒密定理： 在四边形 ABCD 中，有 AB CD BC AD AC BD，并

2、且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。证：在四边形 ABCD内取点 E，使AB则：ABE 和ACD相似ACBAECAD，ABEACDBEAB CDAC BECD又ABAE 且 BACEADABC和 AED相似ACADBCEDAD BCAC EDACADAB CDAD BCAC (BE ED )AB CDAD BCAC BD且等号当且仅当 E在 BD上时成立，即当且仅当A、 B、 C、D四点共圆时成立；注： 托勒密定理的逆定理也成立ADEBC精彩文档实用标准文案4.西姆松定理： 若从ABC 外接圆上一点P 作 BC, AB, CA 的垂线，垂足分别为D,E, F ，则 D, E, F

3、三点共线。西姆松定理的逆定理：从一点 P 作 BC, AB,CA 的垂线，垂足分别为D,E, F 。若 D, E, F 三点共线，则点 P 在ABC 的外接圆上。5 蝴蝶定理： 圆 O中的弦 PQ的中点 M，过点 M任作两弦AB，CD，弦 AD与 BC分别交 PQ于 X， Y，则 M为 XY 之中点。证明： 过圆心 O作 AD与 BC的垂线，垂足为S、 T，连接 OX， OY，OM， SM，MT。 AMD CMB AM/CM=AD/BC AS=1/2AD， BT=1/2BC AM/CM=AS/CT又 A= C AMS CMT MSX= MTY OMX= OSX=90° OMX+ OS

4、X=180° O， S， X， M四点共圆同理， O， T， Y， M四点共圆 MTY= MOY， MSX= MOX MOX= MOY， OM PQ XM=YM注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理 也成立6 坎迪定理： 设 AB 是已知圆的弦，M 是 AB 上一点，弦 CD ,EF过点 M ，连结 CF,ED，分别交 AB 于 L, N ，则1111LMMN AM。MB7 斯特瓦尔特定理：设 P 为ABC 的 BC 边上任一点，则有AP2AB 2PCAC2 BPBC2BPPC 。BCBCBCBC注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立8张角定理： 设 A,C,B 顺次分别是平面内一点P

5、所引三条射线AB, AP, AC 上的点，线段 AC,CB对点 P 的张角分别为,，且180，则 A, C,B 三点共线的充要条件是：sin()sinsinPCPBPA9九点圆定理： 三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。ABC 的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是ABC 的外接圆半径的 1 。2证明：ABC 的九点圆与ABC 的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为内位似中心。位似比均为1: 2。10欧拉线： ABC 的垂心 H ，重心 G ，外心 O 三点共线。此线称为欧拉

6、线， 且有关系： HG2GO11欧拉公式： 设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为R 和 r ，则这两圆的圆心距OIR(R 2r ) 。由此可知， R2r 。证明： 设外心为 O ，内心为 I ，连结 OI ，延长交外接圆于N, P 两点，令 d OI ， AI 交外接圆于 L，则 (Rd)(Rd )NIIPLIIALBIA2Rsin Ar2Rr2sin A212笛沙格定理 ; 在 ABC 和A BC 中，若 AA,BB ,CC 相交于一点 O，则 AB与 A B ， BC 与BC ， AC与 AC 的交点 F,D,E共线。证明：OBC 和梅尼线 B C D ，OBBDCC1； OAB 和梅尼线

7、 A B F ，OAAFBB1 ；B BDCC OA AFBB O精彩文档实用标准文案OCCEAA，三式相乘，得BDCEAF1。得证OAC和梅尼线 ACE，1DCEAFBC CEA AO13牛顿（ Newton）定理 1：圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。证法 1：设四边形 ABCD的边 AB,BC,CD,DA 与内切圆分别切于点E,F,G,H.首先证明 , 直线 AC,EG,FH 交于一点 . 设 EG,FH 分别交AC于点 I,I'.显然AHI=BFI，因此易知AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S

8、(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'故 AI'/CI'=AH/CF.同样可证 :AI/CI=AE/CG又 AE=AH,CF=CG.故 AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.从而 I,I'重合 . 即直线 AC,EG,FH 交于一点 .同理可证 : 直线 BD,EG,FH 交于一点 .因此直线 AC,BD,EG,FH交于一点。证法 2：外四边形为 ABCD，对应内切四边形为EFGH。连接 EG， FH交于 P。下面证明 BD过 P 即可。过 D 座 EG的平行线交 BA 与 S，过 D做 FH 的平行线交 BC于 T。由于弦切

9、角及同位角，角BEG=角 CGE=角 CDS=角 BSD。所以 SEGD四点共圆，且为等腰梯形。设此圆为圆M，圆 M与圆 O，内切圆交于 EG，所以其根轴为EG，同理对圆N， DHFT，与圆 O交于 HF。 HF 为此两圆的根轴。由根轴定理，只需证明BD为圆 M与圆 N 的根轴即可证明 BD，EG， HF共于点 P。D 在圆 M和圆 N 上，所以其为根轴一点。 由于 SEGD，和 DHFT为等腰梯形， 所以 ES=DG，DH=FT。由切线长定理，DH=DG， BE=BF；所以 BE=BF， ES=FT， BS=BT。若 B 为圆 M与圆 N的根轴上一点，则 BE*BS=BF*BT，其为割线长。

10、明显等式成立。所以BD为圆 M与圆 N 的根轴，则BD， EG， HF共于点 P。同理 AC， EG， HF共于点 P。命题得证。14牛顿（ Newton）定理 2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。证明： 设四边形ABCD是 I 的外切四边形，E 和 F 分别是它的对角线AC和 BD 的中点，连接 EI 只需证它过点F，即只需证BEI 与 DEI 面积相等。显然， S BEI=S BIC+S CEI-S BCE，而 S DEI=S ADE+S AIE-S AID 。注意两个式子，由ABCD外切于I ， AB+CD=AD+BC， S BIC+S AID=1/2*S四边形A

11、BCD， S ADE+S BCE=1/2*S ACD+1/2*S ABC=1/2*S 四边形ABCD即 S BIC+S AID=S ADE+S BCE，移项得 S BIC-S BCE=S ADE-S AID，由 E 是 AC 中点，S CEI=S AEI ，故 S BIC+S CEI-S BCE=S ADE+S AIE-S AID ，即 S BEI= DEI ，而 F 是 BD 中点，由共边比例定理EI 过点 F 即 EF 过点 I ，故结论成立。15牛顿（ Newton）定理 3：完全 四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线 。

12、精彩文档实用标准文案证明： 四边形ABCD,AB CD=E,AD BC=F,BD 中点M,AC 中点 L,EF 中点 N 取 BE 中点 P,BC 中点 R,PN CE=QR,L,Q共线， QL/LR=EA/AB ； M,R,P 共线， RM/MP=CD/DE；N,P,Q 共线， PN/NQ=BF/FC。三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FCQL/LR*RM/MP*PN/NQ=1PQR 及梅尼线LMN，由梅涅劳斯定理的逆定理知L， M， N 三点共线。16布利安双 定理 ：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点。在此，提供用初等

13、几何证明外切于圆的情形。记六边形为ABCDEF外切于圆O，AB，BC，CD,DE,EF,FA 上的切点分别是G,H,I,J,K,L.设 AB,DC交于 X,AF,DE 交于 Y. 则四边形AXDY外切于圆O,切点分别是G,I,J,L。圆外切四边形对边切点连线与主对角线交于一点，有 AD,GJ,LI 共点 ( 记为点 P)。同理， BE,GJ,KH 共点 ( 记为点 r),CF,LI,KH共点（记为点q 则命题可转为证明DP,BR,FQ共点。17拿破仑定理：若在任意三角形的各边向外作正三角形。则它们的中心构成一个正三角形。证明：设等边 ABD的外接圆和等边ACF的外接圆相交于O；连 AO、CO、

14、 BO。 ADB= AFC=60°； A 、 D、 B、 O四点共圆； A、F、 C、 O四点共圆； AOB= AOC=120°； BOC=120°； BCE是等边三角形 BEC=60°； B 、E、C、O四点共圆； 这 3 个等边三角形的外接圆共点。设等边 ABD的外接圆 N，等边 ACF的外接圆 M，等边 BCE的外接圆 P 相交于 O；连AO、CO、BO。 A 、D、B、O四点共圆；A 、F、 C、O四点共圆， B、E、C、O四点共圆， AFC= ADB= BEC=60°； AOB= AOC= BOC=120°； NP、 MP、

15、 MN是连心线；BO、 CO、 AO是公共弦； BO NP于 X；CO MP于 Y；AO NM于 Z。 X 、 P、 Y、 O四点共圆；Y、 M、 Z、 O四点共圆；Z、 N、X、 O四点共圆； N= M= P=60°；即 MNP是等边三角形。18帕斯卡（ Pascal ）定理： 如图，圆内接六边形 ABCDEF的边 AB、DE的延长线交于点 G，边 BC、 EF 的延长线交于点 H，边 CD、 FA的延长线交于点 K。则 H、 G、K 三点共线。证明： 延长 AB、 CD、 EF，分别交直线CD、 EF、 AB于 M、N、 L 三点，构成 LMN。精彩文档实用标准文案直线 BC截

16、LM、MN、 NL 于 B、 C、 H三点，则 直线 DE截 LM、MN、 NL 于 G、 D、 E三点，则 |LG|/|MG|.|MD|/|ND|.|NE|/|LE|=1 直线 AF截 LM、MN、 NL 于 A、 K、 F 三点，则 连 BE，则 LA· LB=LF· LE， 。同理 ， 。将相乘，得。点 H、 G、 K 在 LMN的边 LN、 LM、 MN的延长线上，H、 G、 K 三点共线。19蒙日定理（根心定理） ：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。注： 在平面上任给两不同心的圆，

17、则对两圆圆幂 相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。（ 1）平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；（ 2）若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；（ 3）若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；20莫利定理（Morley'stheorem ），也称为莫雷角三分线定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。证法一 ： 在 ABR 中，由正弦定理，得AR=csin /sin( + ) 。不失一般性， ABC 外

18、接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3 ，所以AR=（ sin3 *sin）/sin(60° - )=sin *sin (3-4sin2 )/1/2( 3cos -sin )=2sin sin（ 3cos +sin ） =4sin sin sin （ 60° +） .同理 ,AQ=4sin sin sin(60 °+ )在 ARQ 中 , 由余弦定理 , 得 RQ2 =16sin2 sin2 sin2 (60+ )+sin2(60 ° + )-2sin(60° + )*sin （ 60° +）cos =16sin2 sin2 si

19、n2 .这是一个关于，的对称式，同理可得PQ2 ， PR2有相同的对称性，故PQ=RQ=PR,所以 PQR是正三角形。证法二 ： AE： AC=sin ： sin （ +），AF： AB=sin ： sin （ +），AB：AC=sin3 ： sin3 ， AE:AF=（ ACsin （ +） /sin）：（ ABsin （ +） /sin精彩文档实用标准文案），而 sin3 ：sin3 =（ sin sin(60° + )sin(60° - )）：（ sin sin(60° + ) sin(60°- )）， AE： AF=sin(60° +

20、) ： sin(60° + ) ，在 AEF 中， AEF=60° +，同理 CED=60° +， DEF=60°， DEF 为正三角形。21斯坦纳莱默斯定理：如图，已知ABC中，两内角的平分线BD=CE。求证：AB=AC。证法作 BDF= BCE；并使DF=BC BD=EC， BDF ECB,BF=BE, BEC= DBF.设 ABD= DBC= , ACE= ECB=， FBC= BEC+ =180 ° -2 - + =180 ° -( + ); CDF=FDB+ CDB= +180-2 - =180 ° -( + );

21、 FBC= CDF， 2 +2 <180 ° , + <90 °， FBC= CDF>90°过 C 点作 FB 的垂线和过F 点作 CD的垂线必都在FB 和 CD的延长线上.设垂足分别为G、 H; HDF= CBG; BC=DF, Rt CGB Rt FHD， CG=FH,BC=FD连接 CF， CF=FC,FH=CG， Rt CGF FHC（ HL）， FG=CH, 又 BG=DH, BF=CD, 又 BF=BE, CD=BE， BE=CD,BC=CB,EC=DB, BEC CDB， ABC= ACB AB=AC.证法设二角的一半分别为、,si

22、n(2 + )/ sin2 = BC/CE = BC/BD = sin( +2 )/ sin2 , 2sin cos sin( +2 ) - 2sin cos sin(2 + ) =0 sin sin2( + )+sin 2 - sin sin2（ +） + sin2 =0 sin2( + )sin -sin +2 sin sin cos - cos =0 sin( - )/2sin2( + ) cos( + )/2+2 sin sin sin( + )/2=0， sin( - )/2=0 = , AB=AC.证法用张角定理：2cos /BE=1/BC+1/AB ,2cos /CD=1/BC+

23、1/AC ,若 > 可推出 AB>AC矛盾！ 若 < 可推出 AB <AC 矛盾！所以 AB=AC22费尔马点： 费尔马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点。对于一个顶角不超过 120度的三角形，费尔马点是对各边的张角都是120度的点。 对于一个顶角超过 120度的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。证明：在平面三角形中 :(1). 三内角皆小于 120°的三角形，分别以AB,BC,CA ，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接 AA1,BB1,CC1, 则三线交于一点 P, 则点 P 就是所求的费马点 .(2). 若三角形

24、有一内角大于或等于120 度 , 则此钝角的顶点就是所求 .(3) 当 ABC为等边三角形时, 此时外心与费马点重合（ 1） 等边三角形中 BP=PC=PA，BP、 PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。BPC CPAPBA。（ 2） 当 BC=BA但 CA AB时， BP为三角形 CA上的高和中线、 三角上的角分线。证明(1) 费马点对边的张角为 120 度。 CC1B和 AA1B中 ,BC=BA1,BA=BC1, CBC1= B+60 度 =ABA1, CC1B和 AA1B是全等三角精彩文档实用标准文案形 , 得到 PCB= PA1B同理可得 CB

25、P= CA1P由 PA1B+ CA1P=60 度，得 PCB+CBP=60度 , 所以 CPB=120度同理 , APB=120度， APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1将 BPC以点B 为旋转中心旋转 60 度与 BDA1重合，连结 PD，则 PDB为等边三角形，所以BPD=60度又 BPA=120度，因此 A、 P、 D 三点在同一直线上，又 CPB= A1DB=120度， PDB=60度，PDA1=180度，所以 A、P、D、A1 四点在同一直线上，故 PA+PB+PC=AA1。(3)PA+PB+PC最短在 ABC内任意取一点 M（不与点 P 重合），连结 AM、BM、CM，将

26、 BMC以点 B 为旋转中心旋转60度与 BGA1重合，连结AM、 GM、A1G(同上 ) ，则 AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM所以费.马点到三个顶点 A、B、 C 的距离最短。平面四边形费马点平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。（ 1）在凸四边形 ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点 P。（ 2）在凹四边形 ABCD中，费马点为凹顶点 D（ P）。23等差幂线定理： 已知 A、 B 亮点，则满足 AP2-BP2 =k(k 为常数 ) 的点 P 轨迹是垂直于 AB 的一条直线。24婆罗摩笈多定理若圆内接四边形 ABCD的对角线相互垂直，则垂直于

27、一边 CD且过对角线交点 E 的直线 EF 将 AB 平分对边。25莱莫恩（ Lemoine ）定理 ：过 ABC的三个顶点A、 B、 C 作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、 AB所在直线交于P、Q、 R，则 P、 Q、 R三点共线。直线PQR称为 ABC的莱莫恩线。证明： 由弦切角定理可以得到：sin ACR=sin ABC ，sin BCR=sin BACsin BAP=sin BCA，sin CAP=sin ABCsin CBQ=sin BACsin ABQ=sin BCA所以，我们可以得到： (sin ACR/sin BCR)*(sin BAP/sin CAP)*(sin CBQ/

28、sin ABQ)=1，这是角元形式的梅涅劳斯定理，所以，由此，得到ABC被直线 PQR所截，即P、 Q、R 共线。精彩文档实用标准文案26清宫定理：设 P、 Q 为 ABC的外接圆上异于A、 B、 C 的两点，P 关于三边BC、 CA、 AB的对称点分别是U、 V、 W，且 QU、 QV、 QW分别交三边BC、 CA、 AB 或其延长线于D、 E、 F，则 D、 E、 F 在同一直线上证明： 设 P、Q 为 ABC的外接圆上异于A、 B、 C 的两点， P 关于三边BC、 CA、 AB 的对称点分别是U、V、W，且 QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB 或其延长线于D、E、F这时， P、 Q 两点和D、 F、 E、三点有如下关系：将三角形的三边或者其延长线作为镜面，则从P 点出发的光线照到D 点经过BC 反射以后通过Q 点，从P 点出发的光线照到E 点经AC 的延长线反射后通过Q 点，从P 点出发的光线照到F 点后通过Q 点从而，如果P、