解三角形单元测试题及答案

1、精品文档第一章解三角形正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径,即 sin A sin B sin C（其中R是三角形外接圆的半径）2.变形:1) sin .A.+sin 三 sin Csin sin B sin C）化边为角:a : b: c = sin A:sin B :sin C .a sin Ab sin Ba sin A）化边为角:a =2Rsin A,b =2Rsin B, c =2RsinCsin A asin B bsin A a）化角为边:Jsin B bsin Csin C）化角为边:二.三角形面积1.C1，S ABC =

2、2absinC.余弦定理1.余弦定理： 的积的2倍,sin A =2Rsin B =2Rsin C2R1 ,. a 1. r二一 bcsin A = acsin B 22三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦=b2c2-2bccos Ab2c2-2accos Bb2- 2abcosCcosAtb2.变形：22c -a2bccosB =22,2a c - b2accosC 二2 . .22a b -c2ab22,21a c-b = ac= cosB =- 注意整体代入，如：2 利用余弦定理判断三角形形状:设a、b、c是&WC的角A、B、C的对边，则:c1 +

3、 >> = cos/二若，2bc>0»J<90°,所以A为锐角12欢立下载若c2 +b2 =a2 u A为直角c1 +/ <a£' O cos 14 =若2hc<0 j > 90。,所以幺为钝角， 则 是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系: A+B+C=180 ; C=180° (A+B);三角形三边关系：两边之和大于第三边:aib>c, aiob , c+b>a ；两边之差小于第三边:a-h<c , a-c <b , c-b <a ；在同一个三角形中大边对大角:A

4、B = a b t sin A sin B4) 三角形内的诱导公式:sin(A B) =sinC, cos(A B) = -cosC, tan(A B) = - tan C,A+B sm2=si：呜专C=cos 2X+5 k C、cos - = cos(- - 3),C = sin 2tang二 tan27)三角形的五心：垂心一一三角形的三边上的高相交于一点重心一一三角形三条中线的相交于一点外心一一三角形三边垂直平分线相交于一点内心一一三角形三内角的平分线相交于一点重心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点解三角形、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.在 ABC

5、43, a=2,. 兀A. 一B.122. ABC勺三内角A、 (b a, c a)若 p IIb=，3, c= 1,则最小角为6 C. 4B C所对边的长分别是 q,则角C的大小为（D. 兀_A.6B.D.a、)2兀3b、c,设向量兀3p= (a+ c, b) , q =3.在 ABC中,A. - 2 B已知 | AB | =4,4. ABC的内角等于()A. 6 B , 2.2A B、C.| AC|=1,.也Sz ABC=淄，则AB A甘于（）C的对边分别为a、3 D. 25.在 ABC43, A= 120°, AB= 5, BC= 7,A.8 B. 5 C. 5583D.b、c

6、,若 c=2, b= -6, B= 120 ,贝U asin B 一则加-c的值为（6.A.7.已知锐角三角形的边长分别为35x,则x的取值范围是A.1<x< 5在 ABC43,2_23B.a= 15,B./5<x</i3 C .1<x<2 5).2 3<x<2 5b= 10, A= 60°,贝U cos B等于(8.A.B.C.D.9.卜列判断中正确的是63D.)_63 ABC43, ABCK ABCK ABCKa= 7, b=i4, A= 30°,有两解a= 30, b=25, A= 150°,有一解a= 6,

7、b=9, A= 45 ,有两解b= 9, c=10, B= 60 ,无解在 ABC中，B= 30 ,AB= 3, AC= 1,则 ABC勺面积是A；B.c. ,或坐D.)23 或-4310.在ABC43,BC= 2,A.邛 B , 111.在 ABC中，C.B=3，-33如果 sinAsin若 ABC勺面积为23 则 tan。为（D.-23B+ sin Acos B+ cos AsinB+ cosAcos B= 2,则4ABB ()A.等边三角形12. ABC,A. 60°B .钝角三角形 C.等腰直角三角形若a4+ b4+ c4 = 2c2（ a2 + b2）,则角C的度数是 45

8、° 或 135 . 120°.直角三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在ABC43,若sin A cos B B=14.15.在ABC43, A= 60°, AB= 5, 一船自西向东匀速航行，上午BC= 7,则ABC勺面积为 .10时到达一座灯塔 P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为海里/小时.16.在 ABC中，角 A、B C所对的边分别为 a、b、c.若（、/3bc）cos A= acos C,则cos A=.三、解答题(本大题共6小题，共70分)亿 在AB8,角

9、A、B C的对边是 a、b、c,已知 3acosA= ccosB+bcosC求cos A的值；(2)若a= 1, cos B+ cosC=3p,求边c的值.318. (12分)设锐角三角形 ABC勺内角 A R C的对边分别为 a、b、c, a=2bsin A.(1)求B的大小.(2)若 a=3m, c=5,求 b.19.已知 ABC的角A,B,C所对的边分别为 a, b, c,且acosC + 1 c=b.2(1)求角A的大小；(2)若a= 1,求 ABC的周长l的取值范围.20.在 ABC中，角A,B,C的对边分别是 a, （1）求cos A的值；b, c,已知 2acosA = ccos

10、B + bcosC.3(2 )右 a = 1,cos B + cosC =，求边 c 的值.221. （12分）在ABC43,内角 A B C对边的边长分别是 a、b、c.已知c=2, C=93 若ABC勺面积等于 ® 求a, b.3cos - ADC = 一5（2）若 sin B= 2sin A,求 ABC勺面积.522.如图，在 MBC 中，点 D 在 BC 边上，AD =33, sin/BAD =，13(1)求 sin/ABD 的值；(2)求BD的长.D则 l = a+ b+ c= 1 +-=(sinB 3+ sinC)=1方31zn.= 1 + 2( sinB +cosB)=

11、1 + 2sin(B ).226sinB +sin(A +B)1. B 2.B 3.D4 . D5. D 6.解三角形D 7. D 8. B答案9. D13. 45°1417.【答案】由余弦定理.10 3b2 = a2 + c2一158616.10. C 11. C 12. B-332accos B,c2= a2+ b2 2abcosC有ccos B+ bcos C= a，代入已知条件得13acosA= a,即 cosA= 3(2)由 cosA=,221一sin A= i,则 cosB= cos( A+ C) = - -cosC+33代入 cos B+ cos C=cosC+ 2si

12、n C= 3,从而得 sin( C+4) = 1,其中 sin ()=噂,cos()=坐 (0<()<-|-)贝1J C+ 4 = "2-,于是 sinC=当,由正弦定理得 Aasnf18.解(1) a= 2bsin A, sin A= 2sin B sin A sin1%。B= -. 1.-0<B<-,B= 30 .22'(2) . a=3, c=5, B= 30°.由余弦定理 b2 = a2 + c2 2accos B= (3#) 2+522x 35 x 5X cos 30 =7.b= 7.19.【答案】 由acosC +1-Egc=b和

13、正弦定理得,2sinAcosC + sinC = sinB2又 sinB = sin(A + C) = sinAcosC + cosAsinC , sinC = cosAsinC ,2 sinC /0, 1. cosA= 1 ,2(2)由正弦定理得，b= asinB-=-2=sinB sinA ., 3冗A=一.3asinC 2,c= sinC ,sinA . 32二、 51/r. A=, .B6 (0 ,)，.B+ 6( , )，. . Sin(B + _)£(_, 1,.ABC的周长l的取值范围为(2,3 .20【答案】(1)由2acosA = ccosB+bcosC及正弦定理得

14、2 sin Acos A =sinC cosB +sin BcosC,即 2sin AcosA = sin(B +C )又 B +C =n -A,所以有 2sin AcosA = sin(冗 A)即 2sin AcosA = sin A.1而sinA#0,所以 cosA = . 212 二(2 )由 cos A =及 0< A< n ,得 A= 一,因此 B +C = n A =.233上 _M 2f2n -、J3由 cosB +cosC =,得cosB+cos -B i =2<3 J 2rr _1_ 43 -%；3. J n M3即 cosB - cosB + sin B

15、=，即得 sin B + i =.22216J 25, _ 5fn5n ) n2_ 22力由庆=一，知 B+ 一 匚 一,.于th B十一=一,或 B十一二36<66 J6363所以B =,或B =.二1sin 二一3c622 _ 冗一一元.一.右B =,则C = 一.在直角 ABC中,62右B = ，在直角 ABC中,2tan3=1，解得 c=m21 .解（1）由余弦定理及已知条件得 a2+ b2 ab= 4.又因为 ABC勺面积等于3, 1 .所以2absin C= 3,由此得ab=4.a2 + b2- ab= 4,联立方程组,ab=4,（2）由正弦定理及已知条件得解得，b=2.b= 2a.联立方程组件 + b2- ab= 4, 'b= 2a,a善, 解得b=4J3 .1所以ABC勺面积S= 2absin322 .【答案】（1）因为cos/ADC =-， 5所以 sin/ADC =1 cos2/ADC =".55； 12因为 sin/BAD = ，所以 cos/BAD =41 -sin