空间解析几何与向量代数资料

1、1、已知Mj1,2,3，M2 0,1,-2，MM2的坐标式？ M?与M2平行的单位向量？方向余弦?TM1M 2一1,1_2, -2 -3 -1,一1,一52、2)TM1M 2COS :-=+(_1$+(_5丫 =727X? - xTm1m2-1=r,COS加： 一 Tm1m2二,cos.27Tm1m2_ -5.27与M1M2平行的单位向量为:二COS： ,COS :,cos ? - _-5三J与直线2X2 n 4m解:3 = "2 n,4?, S2 = ：m,1,3?，因为两直线平行,设直线二口平行，求n,m。13所以h / /I?=r O-ssI二 ss 即m1n1P12n4-43

2、=k= Kn, m =m2P2m13323、已知平面： Ax y -2z =1与平面：3x - y z二3垂直，求 A。解:=：代1, 一2/,匕=：3，-1,1，因为两平面垂直,所以T Tf f_ 一：2 二 m _ n2 二 nn2 = 0= A1A2B1B2GC2 二 0= A 3 1-1 亠2 1 = 0= A = 1X 1y Z +14、已知平面二：x By -3z 1 = 0与直线垂直，求B， m。m 46解:n =、1,B,-3，s -、m,4,6 f,因为垂直，所以有J J J J J m 46n /s= ns=0B-2,m-2。1 B-35、 求由a = ?1,2,3f,b

3、_ -1,2,4为邻边组成的平行四边形的面积。解:由两向量叉积的几何意义知：以 a，b为邻边组成的平行四边行的面积S，因为a b =故 S = a肩=22 +(7 j +42.,69。6、求以A xi,yi,z , B X2,y2,Z2 ,C zwz为顶点的三角形面积。解:该三角形的面积即为以AB, AC为邻边组成的平行四边行的面积的一半，即s =丄AB2"AC,因为AB =，X2-Xi , y - yi ,Z2- Z1AC =、X3- X1,y3-yi,Z3-Zi /所以AB ACurn uuuX2 Xiy2 yiZ2 Zi1S = AB 汽 AC。2X3 Xiy3 yiZ3 Zi

4、ji ji7、TJI JI已知向量OA与x, y轴夹角分别为，一,3 40A = 6，求A点坐标。ji解:由已知：COS：二COS3,cos ：2ji二 cos 二4因为 cos2 二 11 cos2 ： cos2=1二COS 二1 _COS2 ： - COS2 I ：二1，2T ' T故 OA = 2 OA co3,OA coscos=1332,3： 或：33' 2, -3'因为OA =- Xo , ya - yo , Za - Zo，a, ya, Z?，所以A点的坐标为3,3、2,3 或3,3 迈-3?。设 a Xi23?,b 2,1,2?，求 Pr jab，cos

5、 a b 。t解:1)Pr jaa =3b cos a b1 2_2 1_3 2 1222 3210二靠，_ ：8 一6, 一 4 一 -3 ,2 一 一2 - :2, -7,4?2) cos a b二二二 10a b 理 12 22 32 飞 22 12 223 149、求过y轴与点M -3,1,2的平面方程。解1:设所求平面为 二，法向量为n，因为平面过 y轴，故n _ j，又OM -3,1,2?在二上,T Tj k10 =2,0,3，由平面的点1 2T i 所以 n丄OM n 取=o,1,ox_3,1,2= 0-3法式知所求平面的方程为：二：2 x 3 i亠0 y-1 i亠3 z-2 =

6、 0= 2x 3z = 0。解2:由题意可设平面方程为 Ax Cz =0，因为过M -3,1,2，所以-3A 2C = 02A C，故平面方程为 2x 3z = 0。310、求过点M 1,1,1且与平面二1: x y z =1,二2 ： x-2y-z 1 = 0都垂直的平面方程。解:设所求平面为二，法向量为n，由已知，可以取其中 n1 =1,1,1，n2 - '1,-2,；1 =nk1,空由平面的点法式知所求平面的-2方程为：: : 1 x -12 y -1 -3z-1 = 0= x 2y-3z = 0。11、求过点P 1,2,1且与直线2x-3y，0垂直的平面方程。4x -2y 3z

7、 9 = 0T解:设所求平面为 二，法向量为n,由已知：直线的方向向量取为sum 门22-3,114,-2,31T Tj k-31 =一7,-2,8，因为平面与直线垂直,-23所以平面的法向量与直线的方向向量平行，故可以取n-7, -2,81，由平面的点法式知所求平面的方程为：:-7 x T -2 y -2 厂8 z-1 = 0= 7x 2y -8z-3 二 0。12、求点 P -1,-2,1 到平面二：x * 2y -2z -5 二 0距离。Xg+2yo_2zo_5)+2 f_2)_2 1 _5 12d4 °Ji2 +2(-2)底313、求与平面二：x y -3z - 1=0平行且

8、相距为3的平面方程。x y - 3z 1j12+12+(3$解:设p x, y,z为平面上一点，它与已知平面的距离为3,由平面外一点到平面的距离公式知:=3n x + y 3z + 1 =3州二x + y 3z+1 = ±3州，故所求的平面方程为 x y -3z 1 -3、_ 11=0或 x y -3z 13.11=0。x 4z 3 = 0 一， 一一 一一14、求过直线且与平面二：x -2y z T = 0垂直的平面方程。2x _y _5z_1 =0解:利用平面束方程来解，设过直线的平面束方程为：x-4z-3亠2x - y-5z-1 =0= 1*2' x-y-4,5'

9、; Z-3-=0 ,因为与平面 二：x-2y，z，1=0 垂直，故1 2 1 -，-451 =0= - -3，所以所求的平面方程为：5x -3y -11=0。15、求平面二：x -2y 3z -6 =0与三坐标面围成的四面体的体积。解:先将平面方程化为截距式：x -2y 3z -6 =0= -1,其与三坐标轴的截距为63211 16、-3、2。所以所求的四面体体积为 V sh6 -3 2 = 6。33 2x-2y 3z-6 二016、求过点P 1,2,3且与直线平行的直线方程。I3x+y _2z+4 = 04解:设所求的直线为I，其方向向量为S，已知直线的方向向量取为T TT Ti jn严 n

10、2 =1,2,3“3,1,2= 1-231Tk3 =1,11,7，因为两直线平行，故取-2715I2）由已知可以取直线的方向向量=n1 n2 - 3, -4,5 2,-5,1j-4=21,7,-7-534 x3 ）直线的对称式方程为：721157 K-734x73151z-1参数式方程为“x3t715y二- 一t其中t为参数。7z = _t1x-y=6x -1 y - 2 z-518、求直线2yyz=3与直线的夹角。-2 1x -y = 6解:直线l1 :的方向向量设为S12yz=3，则s'可以取为S F n2 二臼，-1小 b,2, -1?二S2 一1,-2,1，s =（1,11,7

11、 ?，由直线的对称式知所求的直线方程为x_1 y_2 z_3 。111717、将直线方程3x4y 5z 6一°化为对称式与参数式。.2x5y +z1=0解:1）先求平面上一点 Mo Xo，yo，Zo，令z = 0代入上面直线方程34x _ 3x 4y 6 =0x2x -5y -1=0两直线的夹角即为两直线方向向量之间的夹角，设其夹角为T T3 s2TTS1S2cos ：= 1 2 21，所以=arccos1。6、6 6 6x 1 v 2 n 519、求直线与平面二：2x y z 1 =0的夹角。2-12T T r、T T r、解:设直线的方向向量为 s，则S二12, _1,2，设平面的法向量为 n，则n =12,1,1 ,设直线与平面的夹角为二，而方向向量与法向量的夹角为 ；：,由直线与平面夹角知”2，故鼎4-12二二二 arcsin 5一。,9 ,63,63,620、将xoy面上的曲线4x2 -9y2 =36分别绕x轴、y轴旋转一周形成的旋转曲面方程。解:1 ）绕x轴旋转一周形成的旋转曲面方程为：. 24x2-9_ , y2 z2 =36= 4x2-9 y2 z2 =36 ；2 ）绕y轴旋转一周形成的旋转曲面方程为：24 - x2 z2 - 9y