集合典型例题

1、.1. 集合的含义及其表示（一）集合元素的互异性1. 已知 xR，则集合 3, x, x22 x 中元素 x 所应满足的条件为变式：已知集合A a2,( a1)2 , a23a3 ，若 1A ，则实数 a 的值为 _2. Ma, b, c 中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 等腰三角形（二）集合的表示方法1. 用列举法表示下列集合| a | b |（ 1） A x | x, a,b为非零实数 ab_变式：已知 a,b,c 为非零实数 ,则 abcabc的值组成的集合为_| a | b | c | abc |（2） A( x, y) |

2、y6Z , xN* _ A(1,3), (2,6), (4, 6), (5, 3),( 6,2), (9, 1)3 x变式1：Ax xN, 12N6x变式 2： Ax, yxy6, xN, yN（ 3）集合Ax|xZ, 2x2,By|yx2,x,A 用列举法表示集合 B（ 4）已知集合 M= aZ |6N * ，则集合 M 中的元素为5a变式：已知集合M= 6Z | aN * ，则集合 M 中的元素为5 a2. 用描述法表示下列集合（ 1）直角坐标系中坐标轴上的点_变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点_（x, y) yx,xR;.（ 2）能被 3 整除的整数_x x3n,nZ .3.已

3、知集合 A0，1，Bx xA ， Cx xA（ 1）用列举法写出集合B, C ；（ 2）研究集合 A, B,C 之间的包含或属于关系4.命题 (1) 0x20 ；(2)00,0 ；(3)0；(4) 0N 表述正确的是.5. 使用 和 和数集符号来替代下列自然语言：（ 1） “255是正整数 ”（ 2） “2的平方根不是有理数”（ 3） “3.1416是正有理数 ”（ 4） “-1 是整数 ”（ 5） “x 不是实数 ”6. 用列举法表示下列集合：（ 1）不超过30 的素数（ 2）五边形ABCDE 的对角线（ 3）左右对称的大写英文字母（ 4） 60 的正约数7. 用描述法表示：若平面上所有的点

4、组成集合E ， AE, BE（ 1）平面上以A 为圆心， 5 为半径的圆上所有点的集合为_PE PA5（ 2）说明下列集合的几何意义：PE PA5 ； PE PAPB8. 当 a, b 满足什么条件时，集合 x ax b 0 是有限集？无限集？空集？9. 元素 0、空集、 0 、三者的区别？10. 请用描述法写出一些集合 A ，使它满足：（ i）集合 A 为单元素集，即 A 中只含有一个元素；（ ii ）集合 A 只含有两个元素；（ iii ）集合 A 为空集11. 试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋？解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。先有鸡还是先有鸡蛋？让我们运用集合概

5、念来分析它。设地球上古往今来的鸡组成一个集合J ，孵出了最早的鸡的蛋算不;.算鸡蛋呢？这是关键问题。设所有的鸡蛋组成集合D ，要确定 D 的元素，就得立个标准，说定什么是鸡蛋，一种定义方法是：鸡生的蛋才叫鸡蛋；另一种定义方法是：孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义，问题的答案只能是先有鸡；选择后一种定义，答案当然是先有鸡蛋。至于如何选择，不是数学的任务，那是生物学家的事。（三）空集的性质1.若 ? x|x2 a， a R ，则实数 a 的取值范围是 _2.已知 a 是实数，若集合 x| ax 1是任何集合的子集，则a 的值是 _ .03. 下列三个集合中表示空集的是(1) 0 ；

6、 (2) ( x, y)|y2=- x2,x R， y R ； (3) xN|2x2+3x-2=0.变式 1：若集合A y | yx, B x | y1x, 则AB =_变式 2：若集合A1,0,1 ， By | ycos( x), xA ，则 A I B_ 1,1（四）集合相等1.已知 集合 A=a, b ,1 ，B= a2 , ab,0，若 A=B ，则 a 2004b2003_a2.已知集合 A1,1 x,12x ，集合 B1, y, y 2 ，且 AB ，求实数 x 和 y 的值 .3.已知A 2,2010, x21, B 0, 2010, x23x, 且 AB ，则 x 的值为 _4

7、.已知 A x，xy， lg( xy) ， B 0 ， |x|， y ，且 A B，试求 x， y 的值5.已知集合 P1,1 d ,12d , Q1,q,q2,且 P Q ，则 d _, q _6. 两个集合只要元素相同，就认为它们是相同的，从这个角度出发，试回答下列问题：（ 1）用列举法分别写出下列集合：AaZ2a4 ； BbZ2b4（ 2）请你判断两集合A 和集合 B 是否相等？;.2. 集合方程问题1.若集合 Ax | ax2bx1 0, xR（1）若 A1,1 ，求a,b 的值；（ 2）若 A1 ，求 a, b的值2.若集合 x | ax 2x10 有且只有一个元素，则实数a 的取值

8、集合为.3.设 y x2axb, Ax y xa ，求 a, b .4.已知集合 Ax ax22x 1 0, xR ， a 为实数 .（ 1）若 A 是空集，求 a 的取值范围；（ 2）若 A 是单元素集，求 a 的值；（ 3）若 A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围5. 已知集合 Aa 关于 x 的方程 x24 1 有惟一解，用列举法表示集合A 为.xa变式：若分式方程的分子和分母对调，结论如何？3. 子集、全集、补集1.集合A x | kx 10，集合 B x | xk0，若 AB ， 的取值集合为 _k2.y2=3 ，则 CU A=.设集合 U =( x，y)|y=3x 1 ，A=(

9、 x， y)|1x3. M=x|2 x 5, N=x| a+1 x 2a1.若 MN ，实数 a 的取值范围为.4.若 Ax x 22(a1) xa210 ，B=x|x2-4x=0 ，C=x|x 2-8x+16=0 ，若 AB C,求实数 a 的取值范围5.A x x1 x2B x 4xa0，当BA时，实数 a 的取值范围为_或，6.已知集合A x1ax2B x x1，满足AB，则实数a 的取值范围为_，;.变式：已知集合 Ax0 ax 1 5 ，集合 Bx1x 22（ 1）若（ 2）若A B ，求实数 a 的取值范围B A ，求实数 a 的取值范围（ 3） A、 B 能否相等？若能，求出a

10、的值；若不能，试说明理由7.已知集合 Mx |3a1 x2a ， Nx |1x3，若 N C R M ，实数 a 的取值范围为 _8. 已知全集 U=1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7，8， 9 ， AB 2, (CU A)(CU B) 1,9,(CU A)B 4,6,8 ，则 A,B.9.设 UR，集合 Ax | x23x 20， Bx | x2(m1)xm0 ,若(CU A)B， m =_10.已知全集 U 0,1,2,3 ，若 Cu M1,3,a 2a ，则 a 的值为 _11.若集合 A x | 0x2 .分别求出当全集为下列集合时的eU A .(1) UR； (2)U x |

11、x1 ；(3)U x | 0x3 .12.若集合 M x x2x 60，N x ( x2)( xa)0，且NM ，则实数 a的值为_13.已知集合 A 2,4,6,8,9 ， B 1,2,3,5,8 ，是否存在集合C，使 C 中的每个元素加上 2 就变成了 A 的一个子集， 且 C 中的每个元素减去2 就变成了B 的一个子集？若存在，求出集合 C；若不存在，说明理由14.U 1,2 ， A x x 2px q 0 ， Cu A1 ，则 p q_15.写出满足条件 a M a， b， c， d 的集合 M16.已知 A=0 ，2，4， CUA=-1 ， 1 ， C UB=-1， 0，2 ，求 B

12、=;.17.设集合 A1,2,3,4,5,6, B4,5,6,7,则满足 SA且SI B的集合 S 的个数为 _5618.已知集合 Ax x2pxq0 , Bx qx2px 10 同时满足： AI B,-2A ，求实数p, q 的值 .解：两式相减，得p5 , q1或 p1,q2或 p3, q2219.已知集合 Ay y2x1,0x1 , Bx (x a)x (a3)0，分别根据下列条件，求实数a 的取值范围 .（1） AIB A；（2） AI B（ 1） -2，-1；（ 2） -4,120.Ax ax40， Bx x 24 x30 ， Cx 2x2mx80xa13A24A，求 a 的取值范围

13、；（ ）若，求 a 的取值范围；（ ）若（3）若 BCC ，求 m 的取值范围 . （ 4）若 BC，求 m 的取值范围21.有限集中有一个特殊的集合，约定 “空集是任何集合的子集”，为什么要作出这样的约定？任何一个约定式定义，它必须遵循： 规定的必要性； 规定的合理性。（ 1）必要性： 从子集的定义可知，子集定义中所涉及的集合不包括空集。为了完善子集定义，约定空集是任何集合的子集是必要的；（ 2）合理性： 由子集的定义显然有任何一个集合是它本身的子集，但是，上述这个结论中的 “任何一个集合”，也是不包括空集的，只有规定了“空集是任何集合的子集”，才真正使上述结论对每一个集合（包括空集）都成立

14、，这就是约定的合理性。22. 请问是否存在这样的集合，它的某一个元素同时又是它的子集？若存在，请举例；若不存在，请说明理由。A,B1,1等等；【拓展思考】请你给出一个集合，使它的两个元素同时也是它的子集，符合条件的集合，;.可以只含有这两个元素吗？C1,2, 1 , 2；可以，集合D,23. 元素和相等的子集（ i ）设集合 M1,3,4,6,8,9 ,是否存在两个无共同元素的子集，两子集元素之和相等？（ ii ）在 1 9 这 9 个数字中任取6 个不同的数组成集合M ，请问符合条件（ 1）的子集是否存在，由此你可以得到什么一般性的结论？【拓展思考】 若将集合 M 的元素个数变为79 种的任

15、一个，结论如何？24. 与其子集元素个数一样多的集合是否存在这样的集合，它所含的元素的个数与它的某个真子集所含元素的个数一样多？【拓展思考】请你写出几个符合条件的无限集25. 约数集的个数设非空集合 SN ，且满足条件 “如果 xS ，那么 16S ”x（ i）请你写出一个只含有一个元素的集合S ；（ ii ）只含有三个元素的集合S 只有是否唯一？若不唯一，请写出两个不同的集合S ？（ iii ）满足题设的集合S 共有几个？（ iV ）对非空集合SN ，若使集合 S 所含元素的个数不超过四个，那么题设条件可以改为 _4. 交集、并集运算1.已知 Ax yx1 , By y 2x1, xR，则A

16、I B_变式 1：若集合 M y | y2x , P y | yx1 ，则 MP=:2.设集合 A x | x10或 x40, B x | 2ax a 2（ 1）若 A I B，则实数 a 的取值范围为 _（ 2）若 A I B B ，则实数 a 的取值范围为 _;.3.已知集合A = x | y1 x2 , xZ ,B y | y2x1, x A ,则 AB =4.已知集合A x a 1x a4 ， Bx x2或x5 ，全集UR（1）若 AIB,求实数 a 的取值范围（ 2）若 A C u B ，求实数 a 的取值范围5.集合 A x | x2ax a2190 ， Bx | x25x 6 0

17、 ， Cx | x22 x 8 0满足AI B,， AIC,实数 a 的值为6.已知全集 Ux | 0x9, Ax |1x a ，若非空集合 AU ，则实数 a 的取值范围是 _7.若集合 A x2x1 或 x1，B x axb ，且 AB x x2 ，AB x 1x3 ，则 a_ ， b_8.已知集合 A x xa，B x 1 x2 ，且 A U (CR B) R ，则实数 a 的取值范围是9. 已知非空集合A x 2a 1x 3a 5 ， B x3 x 22 ，则能使A(A B)成立的所有 a 值的集合是10.已知 A=a，a ， a2222，其中 a <a <a <a，

18、 a ， a ， a，a 1， a ， B= a1,a2, a3 , a4 42341231234N，若 A B=a， a ， a +a =10，且 A B 所有元素和为124，则集合 A=B=141411.设集合 A直线 ，B圆，则AB 的元素个数为 _12.设集合 Ax x24a(a 4) x, aR ， Bx x 245x（1）若 ABA ，求实数 a 的值（ 2）求 AB,A B.13.如图， U是全集， M 、P、 S 是 U 的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合是;.14.若全集 IR, f ( x)与 g (x) 都为二次函数，Px f ( x)0 ， Q x g(x)0，则f

19、 ( x)0P,Q 表示为 _不等式的解集可用g(x)015.已知集合 A2，1， B1，2，则 AUB_16.若集合 P x | 2xa0，Q x | 3xb0， a,bN，且PIQ IN1 ，则满足条件的整数对 (a, b) 的个数为_变式：已知集合 A x | 2x53x15,Bx | x3 2 x2a,且 AB只有 5 个整数解，则 a 的取值范围是_ .6a11217.设 A 2, 1, a2 a +1 ， B b, 7, a + 1， M 1, 7 ，ABM （ 1）设全集 UA，求CUM ；（ 2）若 aN ,求 a 和 b 的值18.集合 Ma,0 ， Nx 2x23x0, x

20、Z ，如果 MIN，则 a19.集合 A x | log 1 x2，B(a,)，若 AB A 时 a 的取值范围是(c,) ，2则 c =_20. 已知全集 UR ，则正确表示集合 M 1,0,1 和 N x|x2 x 0 关系的韦恩 (Venn)图是 _;.21. 已知集合M 0,1,2 ， N x|x 2a， a M ，则集合 MN _.22. (2009 年高考江西卷改编)已知全集U A B 中有 m 个元素， (?UA) (?UB)中有 n 个元素 . 若 AB 非空，则 AB 的元素个数为 _23. 已知函数f(x)61的定义域为集合A，函数 g(x)lg( x2 2xm)的定义域x

21、 1为集合 B.（ 1）当 m 3 时，求 A(?RB)；（ 2）若 AB x| 1<x<4 ，求实数 m 的值24. 已知集合 A x R|ax2 3x 2 0 （ 1）若 A ?，求实数 a 的取值范围；（ 2）若 A 是单元素集，求 a 的值及集合 A；（ 3）求集合 M a R|A? 25. 设集合 A x | x23x20, B x | x22(a1)x(a25)0（ 1）若 AB2 ，求实数 a 的值；（ 2）若 ABA ，求实数 a 的取值范围；（ 3）若 UR, ACU BA ，求实数 a 的取值范围解：（ 1） a3, a1 ；（ 2） a3（ 3） a3 或 a

22、1或 a1+ 3 或 a1326. 集合 Px x2250 , Qx x2n1,nZ ,若 SP且 SQ, 则 S 的子集个;.数最多为 _1627.Mx xN ,6N , Qx x6, tN , xN ,则M I Q _ 1,21x1t28.已知 AN*,Bx 2xx23 0,则CUBA_29.设方程 2x3y7 的全体解组成集合U ，方程 3xy 5 的全体解组成集合V ，则U和V 分别如何用集合表示？则UV(2,1)30.设 M直线 AB上的点 ， N直线 CD 上的点 ，若直线 AB, CD 交于点 P ，则 MNP ；若 AB/ CD ，则 MN；还有其它情况吗？31.方程 x290

23、 的解集为 A3，-3，方程 x23x 2 0 的解集为 B 1,2 。则 AB3,3,1,2 是方程 x29x23x 20 的解集。所以对于右端为零的方程，如果能将其左端分解为几个因式的乘积，就能使求解的问题简化，这也是数学里常常把方程化成一端为零的形式的原因。32. 如果集合A和 B 各有 12 个元素，它们的并集有20 个元素，那么，这两个集合有多少个共同的元素？33. 如果集合A 中有 3 个元素，集合B 中有 2 个元素，试问：（ 1）（ 2）A B 中最多有几个元素？最少有几个元素？A B 中最多有几个元素？最少有几个元素？34. 设方程组f1( x, y)00 与 f2 (x,

24、y)0 的解集分别是F1f 2 ( x, y)的解集为 F , 方程 f1( x, y)0和 F2，则 FF1 F2例：若全集 IR, f ( x)与 g( x) 都为二次函数， Px f ( x) 0 ， Qx g (x) 0，则f ( x)0不等式的解集可用 P,Q 表示为 _g(x)0;.35. 设全集 IR, 非空集合 PQI ，若含 P,Q 的一个集合运算表达式运算结果为空集，则这个表达式可以是_.已知集合Ay | y1x , x R ， By | ylog 2 ( x1),xR ，则 AB 25. 简单的数论问题1. 设 a, b均为整数，把形如a b5 的一切数构成的集合记作M，

25、设 x, y M ，试判断x y, x y, xy, x 是否属于集合M，并说明理由 .y2. 已知集合 Ax x m 2n2 , m Z , nZ ，求证： (1) 3A ； (2) 2k1A, k Z(3) 偶数 4k 2k Z 不属于 A.3. 以某些整数为元素的集合 P 具有下列性质：P 中的元素有正数，有负数；P 中的元素有奇数，有偶数；1P ；若 x ， yP ，则 xyP 试判断实数0 和 2 与集合 P的关系4. 设集合 A= x | x2k, kZ ， B= x | x2k1, k Z ，C= x | x 4k1, kZ ，若 aA,bB ，则 ab（填集合 A 或B或C）变

26、式 1: 若 aC ,b B ，则 ab（填集合 A或B或C）变式 2: 已知 A= a | anm , mN , nN ，若 aA,bA ，则下列元素属于集合A 的2b ； ab ； a b a ,b为（填序号） a0b变式 3: a,bZ ，集合 A= (,y) | (xa) 236 A, (3,2)A ，xby ，点 (2,1) A, (1,0)求 a 与 b 的值;.5. 已知 m A， n B，且集合A x|x 2a， a Z ， B x|x 2a 1， a Z ，又C x|x 4a 1， a Z ，判断 mn 属于哪一个集合？1b1c16. 已知集合A x|x a6， a Z ，B

27、 x|x23， b Z ，C x|x26，c Z ，则A、 B、C 之间的关系是 _6. 新定义集合问题1. 给定集合 A 、 B ，定义一种新运算：A*B= x | x A或 xB,但 xAB ，又已知A=0 ， 1， 2 ， B=1 ，2， 3 ，用列举法写出A* B2. 设 A 是整数集的一个非空子集，对于kA ，如果 k 1A 且 k1A ，那么 k 是A 的一个“孤立元” ，给定 S1,2,3,4,5,6,7,8, ，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个3. 整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ，记为 k ，即k=5n+k

28、 丨 n Z ， k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论： 2011 1 ； -33 ； Z=0 1 2 3 4 ;“整数 a， b 属于同一“类” ，则“ a-b 0 ”其中正确结论的序号是_ （填写所有满足条件的序号）4. 设集合 Pn 1 2 n ， nN * 记 f ( n) 为同时满足下列条件的集合A的个数： A Pn ； 若 x A ，则2xA ； 若 x C p n A ，则 2x C pA ， f (4) =_n5. 设 a b c 为实数， f （ x） =（x+a） ( x2bx c), g ( x)(ax 1)(cx2bx 1) .记集合S= x f ( x) 0, x

29、 R, Tx g (x)0, xR,若 S， T 分别为集合元素S， T 的元素个数，则下列结论不可能的是 _（填满足条件的字母）A S=1且T=0BS 1且T=1C S=2且T=2DS=2且T=3;.6. 如图所示的韦恩图中， A, B 是非空集合， 定义集合 A# B 为阴影部分表示的集合，即A # B x | xA,或 xB，且 xAB .若 A x | yx3x ， B y | yx21, x1 ,则 A#B_7. 集合 A 0,1, Ba2 ,2 a ，其中 aR ,我们把集合x x x1x2 , x1A, x2B ,记作 AB ，若集合 AB 中的最大元素是2a1 ，则 a 的取值

30、范围是.8.（ 2010四川）设 S 为复数集 C 的非空子集 .若对任意 x, yS ，都有 x y,xy,xyS ，则称 S 为封闭集下列命题：集合 S ab 3 | a,b 为整数 为封闭集； 若 S 为封闭集，则一定有 0 S ；封闭集一定是无限集； 若 S 为封闭集， 则满足 S TR 的任意集合 T 也是封闭集 .其中真命题是（写出所有真命题的序号）9.已知点集 A(x, y) x2y24x 8y 16 0 , B( x, y) yx m 4, mR ，点集 A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为M ,N ，若点D (m,4) 在点集 A 所表示的平面区域内

31、（不在边界上） ，则DMN 的面积的最大值为 _10.设集合 P1,2,3,4 ， Qx 3 x 2 ，则集合 A x xP且x Q_（用列举法表示）变：设集合x log 2 x 1Qx 1x 3A x xP且xQ _P，则集合，变：对任意两个集合X和Y,定义 XYx xX 且xY,XY( XY)U(Y X),设 A y y1 , xR且x0 , By y2cos x, xR,则AB_x22,0 U 2,11. 集合的 “差 ”运算;.设 M , P 是两个非空集合，定义M 与 P 的差集 M - Px xM且 xP（ i ）设集合 B2,4,6,8 ，请你分别用列举法和描述法写出一个集合A

32、，使得 AB5 ，试问满足条件的集合A 共有多少个？（ ii ）请写出两组集合A，B ，使得 AB5 ；（ iii ）从（ ii ）中选出一组A，B ，计算 A( AB) ，在此基础上， 请你写出有关集合A，B的其他表达式，使其结果与集合A(AB)相等。12. 市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500 个市民，调查结果显示：订阅日报的有334 人，订阅晚报的有297 人，其中两样都订的有150 人 .（ 1）只订日报不订晚报的有多少人？（ 2）只订晚报不订日报的有多少人？（ 3）至少订一种报纸的有多少人？（ 4）有多少人不订报纸？13. 某文化补习学校在学期末统计了参加补习的198 名学生的成绩，统计结果表明，179人语文及格，153 人数学及格，其中两门都及格的有130 人.（ 1）这个统计数字是否正确？请说明理由；（ 2）经查实，却有 7 人两门都不及格，而原来统计中语文和数学的及格人数是对的，那么，到底有多少人两门都及格？14. 某社区学院一个月30 天课程安排情形如下：有 15 天有数学课， 有 14 天有语文课， 有1