齐民友高数下册上课第08章01向量

1、开始- 1 -上学期最高分经管学院：唐松慧93 ，吴双 92 ，吴师为 90，沈文英 90 。信息学院：罗天擎100 ，时丽丹 98，次雨桐 97，高凡 95。测绘学院：唐茂峰100 ，尹建鹏 97，吴仁攀 95，彭祥 95。很遗憾，三个学院都有同学不及格。有一个问题值得思考： 上学期有个老师说，两个班同一个老师同一个教室上课，其中一个班四十几个同学只有一个不及格，另一个班二十个同学却5个不及格。这说明了什么？班风学风不一样后果就不一样！同样的老师上课， 相同的环境中学习， 有的同学考了 100 分，有点同学却及格难保。 原因何在？有一点是可 以肯定的， 我们的同学那个也不笨， 笨能考上武大妈

2、？没及格肯定是努力不够甚认真总结经验教训， 采至上课没专心听。 希望不及格的同学对自己的未来负责，取有效措施，迎头赶上。这学期，我们有一个目标：每个班都有同学100分；不及格率在 5%以下。这学期，我们有一个理想：每个班都有两个同学100分；不及格率 0%。我们的目标一定要达到， 我们的目标一定能够达到！这是高数最后一个学期， 机不可失，时不再来。想及格吗？提供下面策略供你参考：下册一共考 5 章，按平均算，每章20 分。第 8 章不需要上学期的知识，第13章基本不需要上学期的知识， 希望上学期没及格的同学下大力气把这 40 分拿到手；复习上学期简单求导求定积分的知识，在第9、 10、11 章

3、拿到 15 个简单分。就及格了。第8章 空间解析几何与向量代数想高分甚至100分吗？提供下面策略供你参考:上课认真听讲，每节课都不留疑点，课后把每节课的内容练熟、巩固，并与 上学期内容很好联接。及早复习，复习时争取扫清所有内容。有的同学学了半天，也不知道自己懂了没有。多和同学、老师交流，就容易 发现自己是否懂了，真懂还是假懂。请注意：下册很多内容不追求严格证明，只要求 理解、记住、练熟、掌握解题方法。班辅导员的联系方式: 经管学院: 信息学院: 测绘学院:-15 -第8章 空间解析几何与向量代数下册的主要内容有三方面：1、向量代数和空间解析几何；2、多元函数微积分;3、无穷级数。其中，多元函数

4、微积分是我们的主要方面；空间解析几何是多元因此,函数微积分必不可少的基础；而向量代数又是空间解析几何的基础和工具。我们从向量代数开始学习。向量代数就是向量运算的理论。这一章基本上不需要上学期的知识，只需要中学的数学基础。立体想象帮助思 考。想及格吗？绝不能放过这一章!第1节向量及其线性运算1.1向量的概念在中学我们认识了两种量:1、只有大小（多少）的量，称为数量（纯量或标量）。例如体积、质量、距离、时间、实数等。既有大小、又有方向的量，称为向量。例如力、速度、加速度等。F面我们将对向量做详细系统的学习。我们通常用小写粗体字母或上面加有箭头的字母表示向量，如向量 或a，b，c等。由于书写粗体字母

5、不方便，通常我们用后一方法表示向量。向量既有大小又有方向，向量也只有大小和方向。J 4 J 4a =b = （ a和b的大小相等且方向一致）。大小等于0的向量称为 零向量，记为0。注意：任意方向都是零向量的方向大小等于1的向量称为 单位向量，通常记为e。在立体几何空间中向量的的表示方法（即有向线段）来表在立体几何空间（简称空间）中，我们用一条有方向的线段示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.以M1为始点，M2为终点的有向线段所表示的向量记为M1M2。零向量的终点与始点重合。向量的大小称作向量的模，或长度，也称为向量的a = 0。范数。向量M1m2与a的模叫1i +

6、M M 2与a。显然，a =0 二分别记作向量只有大小和方向，不区别空间位置。把M1M2平移到M3M4则（提问：共有多少个零向量？共有多少个单位向量？）1.1.2 两个向量的的关系设a,b是两个向量。适当平移使得a和b的始点重合，它们就形成一个夹角 9（0 <9 <兀），称为向量a与b的夹角，记作（a,b）。如果a和b的方向相同或相反，则称这两个向量平行，记作a/ b。由于零向量的方向是任意的，因此零向量与任意向量都平行。两向量平行时，若将它们的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在同一直线上，因此，两向量平行，又称两向量共线。类似地，还有向量共面的概念。设有 k（k >

7、3）个向量，若将它们的起点放在同一点时，这k个终点和公共起点都在一个平面上，则称这k个向量共面。1.2向量的线性运算1 向量的加法类似地，我在中学物理中，我们用平行四边形法则将两个力或两个速度相加。们用平行四边形法则把两个向量相加如下:如图1.1所示，设 a =OA , b =OB，以OA与OB为边作一平行四边形 OACB，取对角线向量 OC，记C =OC，称c为a和b的和，记作c =a +b。这种用平行四边形的对角线向量作为两个向量之和的方法称作向量加法的行四边形法则。C图1.2I4图 1.1由于AC =OB，如果用 AC表示b，擦去OB和BC 确定OC =a +b。因此，可以这样来作岀两向

8、量的和向量:剩下AOAC，也可以如图1.2,设OA =a,T 片以OA的终点A为起点作AC =b，连接0C得 片T T 片 a +b =OC =c .称这一法则为向量加法的三角形法则.三角形法则其实也是接龙法（前一向量的头与后一向量的尾相接）平行四边形法则和三角形法则得到的和向量一致。根据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律:4 彳 44(1)交换律 a + b ='b *a结合律 (,+ b) +1ab* C屯a + b才c证根据平行四边形法则和三角形法则。如图J 片 T+ T +44a +b =0A +AC =0C =0B +BC =b +a(2)如下图,J T T

9、f T T+c =(AB +BC )+CD =AC +CD =AD t T 1 T T J 4 J=AB +BD =AB +(BC +CD )=a +(b +c)由于结合律，向量相加无需写括号。向量的接龙加法可推广到n个向量31,321 ,an相加如下:作 A0A1，A1A2 二扌？，山，A/n n （图 1.3），最后作 AoAn =a，则a=AoAn =AoA1 + AA +川+An A 1 +a2+|+an(注意始终点字母的规律。)与a大小A的差为向量：0AnA2代1 aaa _ba的负向量图记作S.定义两向量a与ba-b =a +(4 )，这种运算称为向量的减法.图1.3T I廿寸丄(

10、*) = 0.特别地，a ±0 =a,a -a =a +由三角形法则可看岀：要从 a减去b，只要把与b长度相同而方向相反的向量斗一、-444-b加到向量a上去.由平行四边形法则，可按图1.4作岀向量a -b :即向量a - b是由b的终点向a的终点所引的向量.思考题:1.证明三角形不等式:(这是平面几何的三角形不等式。)2向量与数的乘法任意给了实数 A和向量a，定义鼻与a的乘积（简称数乘）为一新的向量，记作/a。定义如下：（定义好了 fa的大小和方向也就定义好了fa ）耳宀f与a的方向一致，"a勺万向与a的方向相反，0彳=3,加=0,1； =a,（ _i）a=。工0，贝y

11、泪=0= Z=0 （ ）a/a = Pa 台入=卩（/a = Va)a显然,Z>0Z < 0-,.目=”!同=0二几=o（a ho）； u （几卩）a ：= 0 = A4 ：= 0）由上述定义，不难推岀数乘向量运算满足下列运算规律:（1）结合律心说）=叶a）=（ 显然，向量A（p；）卩（.a）,（apg的方向相同，且几（心»=1卩（）科=1（很a=I HI艸I a 峙aj=（对a.（2）分配律（A+A=注+谄；z G+b）=）a+zb同样由数与向量乘积的定义也可证明（略）设a H0，用ea表示与a同方向的单位向量.由于a都与a方向相同，而且=1 ,因此 a =iaea,e

12、a=打3 （ 3=0 =甸工0）.把a单位化为ea =jia。向量的加法和数乘运算称为线性运算。很明显，/a / a。关于两向量是否平行的判断方法，我们有如下定理：定理1.1 设向量a H0，那么向量b / a的充分必要条件是：存在惟一的实 数A,使b = /,a （此充要条件称为 平行条件O）证由数乘的定义,充分性是明显的。以下证必要性/ a。取b与a方向一致,b与a方向相反b = f'a。如果另有实数 卩，满足b = ka，则= a，从而几=4.因此满足条件的A根据数乘的定义,是唯一的.证毕.若向量30且b / a，则必有b皑b与a方向一致b与a方向相反(1.2)设数轴Ou ,其原

13、点为0 ,将与Ou轴的正向同方向的单位向量记作eu , P 为1 OPOP与Ou方向一致轴上任意一点，其坐标为 U，贝U u = !-|op|, op与Ou方向相反eu彳 '" m75 P因此，OP = uq，从而得以下推论：推论 对数轴上任意一点 P J上有向线段 OP都可唯一地表示为点 P的坐 标与轴上单位向量 eu的乘积：0P = ug .思考题:扌=广b的充分必要条件. b2.设向量a H0, b H0，试给岀1b U a和b方向一致）*向量a可以表成向量 缶,弓2,山,am的线性组合意即：存在实数ki，k2,km使得类似于两向量平行的充分必要条件，对于向量共面，有如

14、下的充分必要条件:定理1.2三非零向量a，b，c共面的充分必要条件是其中一个向量可以表成其余两个向量的线性组合证若三向量a，b，c均不共线充分性.不妨设c = /.a + Mb，/，卩为非零I实数，任取一点 M ,作MA、/.a，MB = Mb，MB则c就是以MA，MB为邻边的平行四边形的对角线MC所对应的向量 MC，因此三向量MA = )2，MB =誌，MC =c 共面，但 /a 与a共线，/b与b共线，从而a，b，c共面.M必要性.若向量a，b，c共面，则总可将它们平移使其共起点M，如图一 扌 1 T* 4 T所示，设c =MA +MB，且MA 导，mb = b，过点C分别作CA / MB

15、1.6'交MA '于A，CB/MA交MB '于B，则四边形 MACB为平行四边形，因此有MA =BCBCAC若三向量a， b， cT ACl-l二/，BC 彳(Ac 444中有两个如a，b共线，则b =洎，Y为非零实数。BCa ， MB =AC表成向量c的线性组合.444r=+=ka，故c与a共线，c与b也共线，c自然与a，b共面.反之，若向量a，b，c共面，而a，b共线，故b =汨=洎+ Oc，即b可证毕.由定理1.2不难得到推论三向量a，b，c共面的充分必要条件是存在不全为零的数ki,k2,k3，使得k# +（以后表示向量时，我们粗体字母和带箭头的字母混用。习题8 1A类uuu uuu uu1 设A,B,C为三角形的三个顶点，求A B + BC + CA .uuur uuu2 .已知VABC中AB = a ,BC = b，若d是AC的中点,试用uuu uuua,b表示CD和BD .uuu3 已给正六边形 ABCDEF （字母顺序按逆时针向），记AB = a ,AE = b，试用向量uuu uuur uuu uura ,b表示向量AC,AD,AF和CB .uur4 .设 u = a + b - 2c , v = - a - 3b + c，试用 a, b, c 表示