怎样求函数的值域.

1、求函数值域的常用方法在函数的三要素中，对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下。1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1求函数y = 3 -x 的值域。解：x0-x03-x3故函数的值域是：（ - ， 3 2 、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 2 、求函数 y= x2 -2x+5 ， x -1 ， 2 的值域。解：将函数配方得： y=（x-1 ） 2 +4，x-1 ，2 ， 由二次函数的性

2、质可知：当 x = 1 时， y min = 4 当 x = - 1 ，时 ymax = 8故函数的值域是： 4， 8 3 、判别式法2例 3求函数 y =1xx 2 的值域。1x2解：原函数化为关 x 的一元二次方程（ y-1） x2 -x+ （ y - 1）= 0（ 1）当 y1 时， xR,=(-1)2 -4(y-1)(y-1)0解得： 1y322（ 2）当 y=1，时， x = 0,而 1 1 ,3 22故函数的值域为 1 ， 3 2 2例 4 求函数 y=x+ x(2 x) 的值域。解：两边平方整理得： 2 x 2-2（）x+y2=0（1）y+1x R，=4（ y+1） 2 -8y0

3、解得： 1-2 y 1+ 2但此时的函数的定义域由 x（2-x ）0，得： 0x 2。由 0，仅保证关于 x 的方程： 2 x 2-2（）x+y2=0 在实数集 R 有实根，而不能确保其实根y+1在区间 0 ，2 上，即不能确保方程（1）有实根，由0 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 1 ， 3 。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。220 x 2， y=x+x(2 x) 0，ymin =0，y=1+2 代入方程（ 1），解得： x1 =22 2420，2，即当 x1 =22 242时，22原函数的值域为： 0， 1+2 。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原

4、函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4 、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 5 求函数 y= 3x4 值域。5x6解：由原函数式可得： x =46 y5y3则其反函数为： y = 46 y5x33其定义域为： x 3故所求函数的值域为：（-，）5 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。xe1例 6 求函数 y =的值域。解：由原函数式可得： ex = y1y1ex >0，y1 >0y1解得： - 1<y<1 。故所求函数的值域为 ( - 1

5、, 1 ) .6 、函数单调性法例 7 求函数 y =x 5log3x122（）的值域x 10解：令 y1=2x 5， y2 =log3x1 ，则 y1 ， y2 在 2 ， 10 上都是增函数。所以 y= y1 + y2 在 2， 10 上是增函数。当 x = 2时， y min =2 3 +log32 1 =1，8当 x = 10时， ymax= 25 +log39 =33。故所求函数的值域为： 1 ， 33 。8例 8求函数 y=x1 -x1 的值域。2解：原函数可化为：y=x1x1令 y1 =x1 ， y2 =x1 ，显然 y1 ， y2 在1 ，+）上为无上界的增函数，所以y= y1

6、 + y2在 1 ，+）上也为无上界的增函数。所以当 x = 1时， y= y1 + y2有最小值 2 ，原函数有最大值2 =2 。2显然 y>0，故原函数的值域为 ( 0 ,2 。7 、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 9求函数 y = x +x1 的值域。解：令 x-1=t ，（ t0）则 x=t 2 +1y= t 2 +t+1= (t1) 2 + 3 ，又 t 0，由二次函数的性质可知2 4当 t=0 时， y min = 1 ， 当 t 0 时， y

7、 +。故函数的值域为 1，+）8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。22例 10求函数 y= (x 2) + (x8) 的值域。解：原函数可化简得： y= x-2 +x+8上式可以看成数轴上点P（x ）到定点 A（2 ）， B（ - 8）间的距离之和。由上图可知：当点P 在线段 AB上时，y=x-2 +x+8 = AB=10当点 P 在线段 AB的延长线或反向延长线上时，y=x-2 +x+8 > AB=10故所求函数的值域为： 10 ，+22例 11求函数 y= x 6x 13

8、+x 4x 5的值域2222解：原函数可变形为： y= ( x 3)(0 2) + (x 2)(0 1)上式可看成 x 轴上的点 P（x，0）到两定点 A（ 3， 2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点 时，22y min =AB =(3 2) (21) = 43，故所求函数的值域为 43 ，+ 。例 12 求函数 y=26x 13-24x 5 的值域xx( x2(0222解：将函数变形为： y=3)2) - (x2)(0 1)上式可看成定点 A（3，2）到点 P（ x， 0 ）的距离与定点 B（-2 ，1）到点 P（x，0）的距离之差。即： y=AP- BP由图可知：（ 1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB与 x 轴的交点时，如点 P1，则构成 ABP1，根据三角形两边之差小于第三边，22有 AP1 - BP1 <AB= (3 2)(21)= 26即： -26 <y<26（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有 AP - BP =AB=26 。综上所述，可知函数的值域为： （-26 ，-26 ）。注：由例 11，例 12 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A， B 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A ，B 在 x 轴的同侧。如：例 17 的 A，B 两点坐标分别为：（3 ，2 ）