小学的奥数和差倍问题一

1、标准实用和差倍问题【专题知识点概述】和差倍问题：已知两个数的和、差、倍三个量中的两个，求这两个数分别是多少的问题。其规律如下：和倍问题差倍问题和差问题已知条件几个数的和与倍几个数的差与倍几个数的和与差公式适用范围已知两个数的和、差、倍数关系和÷（倍数 +1）=差÷（倍数 1）=较小数较小数较小数×倍数 =较较小数×倍数 =较公式大数大数和较小数 =较大较小数差 =较大数数（和差）÷2=较小数（和差）÷2=较大数掌握基本和倍、 差倍、和差问题的基本问题， 进而会处理多个量之间的和差倍问题。重点学习如何利用线段图表示数量关系。学会分析较为

2、隐藏的和差倍问题， 进一步掌握画线段图的方法， 学会利用不变量进行分析的方法。 处理多个量的和差倍问题时， 注意选取合适的单位 “ 1”。同时要求学会用方程解决简单的应用题。一、和倍问题（ 1）和倍例 1、纺织厂有职工 480 人，其中女职工人数是男职工人数的 3 倍。请问：男、女职工各多少人？（）分析：女职工人数是男职工人数的 3 倍，选男职工人数为“ 1”，用一条小线段表示，那么女职工人数就用三条小线段表示，如图：那么每一小段表示：4803 1120 （人）即男职工人数为120 人，那么女职工人数为：1203360 人例 2、一个长方形，周长是 300 厘米，长是宽的 2 倍，求这个长方形

3、的面积。（）分析：周长是 300 厘米，那么长与宽的和为 300 2 150 厘米长是宽的 2 倍，所以用一条小线段表示宽，那么长就用两条小线段表示，如图：文案大全标准实用那么每一小段表示： 1502150 厘米即宽 50 厘米，那么长： 502100 厘米例 3、甲班和乙班一共有 60 人。如果从甲班调 6 个人到乙班，那么甲班的人数就是乙班人数的 2 倍。求甲、乙两班原来的人数。 （）分析：现在甲班人数是乙班人数的 2 倍，并且两班总人数为 60 人，那么乙班现在的人数为： 602120 人。又乙班现在比原来多6 人，那么乙班原来的人数为： 20614 人，则甲班原来的人数为：601446

4、 人例 4、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 240，减数是差的 5 倍，则减数是多少？（）分析：被减数减数差，减数是差的 5 倍，设差为 1 份，那么减数为 5 份，被减数为 6 份，三者共有 1 5 6 12 份，那么每一份为： 240 12 20 ，所以减数为： 205100例 5、动物园有 5 座猴山，其中 3 座住着金丝猴， 2 座住着猕猴。这 5 座猴山上猴子的数量分别为： 10、15、30、35、70。已知金丝猴的总数是猕猴的 3 倍，问：哪两座山上住着猕猴？（）分析： 5 座猴山上的猴子总数为：1015303570160金丝猴的数量是猕猴的3 倍，那么猕猴的数量为：16

5、03140因为只有第一座和第三座猴山上的猴子数量之和为103040，所以第一座和第三座猴山上住着猕猴。练习：1、甲班和乙班共有图书160 本。甲班的图书是乙班的3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？（）2、甲水库有 43 亿立方米水，乙水库有 37 亿立方米水。问：需要从甲水库调多少亿立方米水道乙水库，才能使乙水库的水比甲水库多两倍？（）3、甲班有图书 120 本，乙班有图书 30 本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的 2 倍？（）（ 2）和倍多例 6、甲、乙两堆货物共有 160 件，已知甲堆货物比乙堆的 3 倍还多 40 件。甲、乙两堆各有多少件货物？（）分析：选取乙堆的货物数量为“ 1

6、”，用一条小线段表示，如图：文案大全标准实用四条小线段总共为： 16040120 件每条小线段为： 120430 件即乙堆货物有 30 件，那么甲堆货物有： 16030130 件例 7、两个自然数相除，商是 4，余数是 1。如果被除数、除数、商及余数的和是 56，那么被除数等于多少？（）分析：被除数除数×商余数，根据题意知被除数比除数的4 倍还多 1，且被除数与除数的和为：564151 ，画出线段图：5 条小线段共为： 51150每条小线段表示： 50510即除数为 10，那么被除数为： 511041练习：1、某交通协管员七月份开出78 张罚单，这些罚单分为两种：一种是违章停车，另一

7、种是闯红灯。违章停车的罚单比较多，比闯红灯罚单数量的 4 倍还多 3 张。违章停车的罚单有多少张？（）2、果园里一共种 340 棵桃树和杏树， 其中桃树的棵数比杏树的 3 倍多 20 棵，两棵树各种了多少棵？（）（ 3）和倍少例 8、书架上放着一些童话小说和科幻小说，一共有47 本。童话小说的数量比科幻小说数量的4 倍少 3 本，书架上放着多少本科幻小说？（）分析：选取科幻小说为“ 1”，用一条小线段表示科幻小说的数量，如图：实线部分表示科幻小说和童话小说的数量，虚线部分表示少的 3 本。那么科幻小说的 145 倍，即图中实线、虚线表示的总数为：47350 本那么科幻小说的数量为：501410

8、 本童话小说的数量为：471037 本文案大全标准实用练习：1、果园中梨树和苹果树共有 67 棵，梨树比苹果树的 2 倍少 2 棵，苹果树有多少棵？（）2、光明小学有学生 760 人，其中男生比女生的 3 倍少 40 人，男、女生各有多少人？（）（ 4）和倍综合例 9、三堆糖果共有 105 颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的 3 倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的 2 倍少 3 颗。第三堆糖果有多少颗？（）分析：因为题目中第一堆和第三堆的糖果都与第二堆的倍数有关， 那么设第二堆的糖果为“ 1”，用一条小线段表示：通过线段图可以看出， 1 326条小线段表示的共有： 105+3=108 颗那么每

9、条小线段表示： 1086=18颗即第二堆有 18 颗，则第一堆有183=54 颗，第三堆有 18 2 333 颗例 10、甲、乙、丙三个粮仓一共存有109 吨粮食。其中甲粮仓的粮食总量比乙粮仓的 3 倍多 1 吨，而乙粮仓的粮食总量则是丙粮仓的2 倍。甲粮仓比丙粮仓多存粮多少吨？（）分析：根据题意知，丙粮仓的存粮最少，且与甲粮仓、乙粮仓的存粮有倍数关系，那么选丙粮仓的存粮为 “1”，用一条小线段表示， 乙粮仓是丙粮仓的 2 倍用两条小线段表示，而甲粮仓比乙粮仓的 3 倍多 1 吨表示为 2 3 6 条小线段多 1 吨根据线段图可以看出，图中共有12239 条小线段，表示 1091108吨，那么

10、每条小线段表示： 108 912吨即丙粮仓存粮 12 吨，那么乙粮仓存粮12224 吨，甲粮仓存粮 243173吨例 11、 550 是甲、乙、丙、丁 4 个数的和。如果甲数加上 2，乙数减少 2，丙数除以 2 以后，则 4 个数相等。求 4 个数各是多少？（）分析：这四个数经过变化后都与丁相等，那么选取丁为“ 1”，用一条小线段表示，甲加上 2 与丁相等则甲原来比丁少 2，乙减少 2 与丁相等则乙原来比丁多 2，丙除以 2 与丁相等则丙原来是丁的 2 倍。如图：文案大全标准实用根据线段图可以看出，图中共有11 12 5 条小线段，共表示 550 22550那么每条小线段表示： 5505110

11、即丁原来是 110，那么甲为1102108，乙为 110 2 112 ，丙为：1102220练习：1、有 3 条绳子，共长 95 米，第一条比第二条长 7 米，第二条比第三条长8 米，问 3 条绳子各长多少米？（）2、果园里有桃树、梨树、苹果树共 552 棵，桃树比梨树的 2 倍多 12 棵，苹果树比梨树少 20 棵。求桃树、梨树、苹果树各有多少棵？（）3、某驻军有三个坦克连，共有 115 辆坦克，一连坦克数量比二连的 2 倍多 2，二连的坦克数量比三连的 3 倍多 1。求一连比三连多几辆坦克？（）二、差倍问题（ 1）差倍例 12、小陈为找工作准备了中、英文两份简历，中文简历的字数是英文简历字

12、数的 3 倍，而且中文简历比英文简历多 220 个字。请问：中文简历的字数是多少？（）分析：选英文简历字数为“ 1”，用一条小线段表示根据线段图可以看出， 220 字由 3 1 2 条小线段表示，那么每一条小线段表示： 220 2 110 字所以中文简历的字数是：1103330例 13、甲、乙两位学生原计划每周做同样数量的练习，实际上甲每周多做了 18 道题，而乙偷懒每周少做了 14 道题，结果乙三周的做题量只相当于甲一周的数量。请问：他们原计划每周做几道题？（）分析：选乙实际每周做题数量为 “1”，用一条小线段表示， 那么甲实际每周做题数量用三条小线段表示，再用另一条线段表示他们原计划做题数

13、，如图根据线段图可以看出，甲实际每周比乙多做 14 18 32 道，由两条小线段表示那么每条小线段表示 32 2 16 道即乙每周做 16 道，那么原计划每周做 161430 道文案大全标准实用例 14、甲房地产公司有资金 100 亿元，乙房地产公司有资金 40 亿元，两公司联合投资一块地皮， 用去同样多的资金后， 甲公司剩下的资金是乙公司的 5 倍。请问：两公司投资这块地皮共用去多少亿元？（）分析：原来甲公司比乙公司多 100 40 60 亿元，因为他们用去同样多的资金，所以甲剩下的资金仍比乙公司多 60 亿元，又甲剩下的资金是乙公司的 5 倍，那么乙公司剩下的资金为：605 115亿元所以

14、乙公司投资地皮用去：401525 亿元则两公司投资地皮共用去：25250 亿元例 15、有两根同样长的绳子，第一根截去12 米，第二根接上14 米，这时第二根的长度是第一根长的 3 倍，两根绳子原来各长多少米？（）分析：两根绳子原来一样长，第一根截去12 米，第二根接上14 米后，第二根比第一根长 1214 26 米，又此时第二根是第一根的3 倍，那么第一根这时长度为：26 3113 米，所以两根绳子原来长：12 1325 米例 16、亚洲杯决赛中，中国记者的数量是外国记者数量的3 倍。比赛结束后中国记者有 180 人离场，外国记者有40 人离场，剩下的中、外记者数量相等。原来中、外记者各有多

15、少人？（）分析：选外国记者数量为“ 1”，用一条小线段表示，如图：由线段图知， 原来中国记者比外国记者多：18040140 人，由两条小线段表示那么每条小线段表示：140270 人即外国记者原有70 人，那么中国记者原有：703210 人例 17、甲、乙两个数，如果甲数加上 320 就等于乙数，如果乙数加上 460 就等于甲数的 3 倍。求两个数各是多少？（）分析：用一条小线段表示甲数，如图文案大全标准实用根据线段图可以看出：320460780 由两条小线段表示那么每条小线段表示：7802390即甲为 390，那么乙为： 390320710练习：1、学校合唱团成员中，女生人数是男生的 3 倍，

16、而且女生比男生多 80 人合唱团里男生和女生各有多少人？（）2、一只大象的体重比一头牛重 4500 千克，又知大象的重量是一头牛的 10 倍，一只大象和一头牛的重量各是多少千克？（）3、果园里的桃树比杏树多 90 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，桃树和杏树各有多少棵？（）4、有两块布，第一块长 74 米，第二块长 50 米，两块布各剪去同样长的一块布后，剩下的第一块米数是第二块的 3 倍，问每块布各剪去多少米？（）5、三（1）班与三（2）班原有图书数一样多 . 后来，三（1）班又买来新书 74本，三（ 2）班从本班原书中拿 出 96本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（ 2）班的 3

17、倍，求两班原有图书各多少本？（）6、两块同样长的花布，第一块卖出31 米，第二块卖出19 米后，第二块是第一块的 4 倍，求每块花布原有多少米？（）7、甲、乙两校教师的人数相等，由于工作需要，从甲校调30 人到乙校去，这时乙校教师人数正好是甲校教师人数的3 倍，求甲、乙两校原有教师各多少人？ （）8、两筐重量相同的苹果，从甲筐取出 7千克，乙筐加入 19 千克，这时乙筐是甲筐苹果的 3 倍，问两筐原有苹果多少千克？（）9、有两块同样长的布，第一块卖出25 米，第二块卖出14 米，剩下的布第二块是第一块的 2 倍，求每块布原有多少米？（）10、 菜站运来的白菜是萝卜的3 倍，卖出白菜 1800千

18、克，萝卜300 千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？（）(2 ）差倍多例 18、小悦和阿奇在操场上练习跑步一段时间过后，阿奇跑的距离比小悦跑的 3 倍还多 80 米如果小悦比阿奇少跑了 500 米，那么小悦和阿奇分别跑了多少米？（）分析：选小悦跑的为“ 1”，用一条小线段表示，如图根据线段图可以看出： 50080420 米由两条小线段表示， 那么每条小线段表示4202210 米，即小悦跑了210 米，那么阿奇跑了210500710 米例 19、 阿奇家有两根绳子，长的那根有163 米，短的只有 97 米他把两根绳子剪去同样长的一段，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的

19、7 倍还多 6 米那文案大全标准实用么两根绳子都剪去了多少米？（）分析：长的比短的多 163 97 66 米，剪去后长的还是比短的多 66 米，如图两根线段分别表示长的和短的剪去后的长度：根据线段图可以看出，剪去后短绳子的 7 16倍为66 660 米，那么剪去后短绳子长度为： 60 610 米，所以剪去了 9710 87米即剪去了 87 米例 20、 有两个炮兵营参加军事演习，它们各准备了若干枚炮弹开始一营比二营多准备了 5 枚炮弹后来因为演习需要， 一营给了二营 20 枚炮弹这时二营炮弹数量就比一营的 3 倍还多 3 枚一营最开始准备了几枚炮弹？（）分析：如图：根据线段图知，一营给二营20

20、 枚后，二营比一营多2020535枚又此时二营比一营的3 倍还多 3 枚，如图根据线段图知，此时一营的两倍为： 35 332 枚，那么一营的数量为： 32 2 16枚，那么一营最开始有： 16 20 36 枚练习：有两款数码相机， 一款是高档专业相机， 一款是普通家用相机 家用相机价格较低，比专业相机便宜了 4600 元买 1 台专业相机的钱足够买 4 台家用相机， 而且还能剩下 100 元请问：专业相机的价格是多少钱？（）(3 ）差倍少例 21、小悦和阿奇在操场上练习跑步一段时间过后，阿奇跑的距离比小悦跑的 3 倍少 80 米如果小悦比阿奇少跑了 500 米，那么小悦和阿奇分别跑了多少米？（

21、）分析：如图文案大全标准实用根据线段图可以看出，小悦的 2 倍为： 500 80 580 米那么小悦跑了 580 2 290 米那么阿奇跑了 290 500 790 米练习：1、原先花城日报和鹏城晚报有同样数目的版面后来花城日报扩充版面，增加了 10 版，这样花城日报的版面比鹏城晚报的 4 倍少 2 版两种报纸现在各有多少版？ （）2、甲、乙两筐苹果重量相等现在从甲筐拿 12 千克苹果放入乙筐，结果乙筐苹果的重量就比甲筐的 3 倍少 2 千克两筐苹果原来各有多少千克？ （）三、和差问题(1) 、和差例 22、 冬冬在玩具店看中了两件汽车模型 如果两件都买，一共需要 400 元已知较贵的模型比便

22、宜的模型贵 60 元，这两件模型各要多少钱？ （）分析：如图，根据线段图可以看出，便宜的模型的2 倍为： 40060 340 元那么便宜的价钱为：340 2 170 元贵的为： 170 60230 元练习：1、张先生投资股票， 2006 年和 2007年一共盈利 40万元，其中 2006 年比 2007年少盈利 14 万元张先生 2007 年盈利多少万元？（）2、甲、乙两位火炬手负责把火炬从A 地传递到 B 地先由甲从 A 地出发，并在途中将火炬传递给乙；乙接过火炬后继续慢跑前往B 地已知 A ，B 两地相距 2400 米，并且甲比乙多跑了 600米请问：甲跑了多少米？（）3、两筐水果共重 1

23、50 千克，第一筐比第二筐多 8 千克，两筐水果各多少千克？（）4、果园里有桃树和梨树共 150 棵，桃树比梨树多 20 棵，两种果树各有多少棵？（）5、用锡和铝制成 500 千克的合金， 铝的重量比锡多 100 千克，锡和铝各是多少千克？ （）文案大全标准实用（ 2) 和差问题综合例 23、 登月行动地面控制室的成员由两组专家组成， 两组共有专家 125 人原来第一组人数较多，所以从第一组调了 20 人到第二组，即使这样第一组人数仍比第二组多 5 人原来第一组有多少名专家？ （）分析：如图根据线段图知，原来第一组比第二组多20205 45人那么原来第一组人数的两倍为：12545170人，则第

24、一组原来的人数为：170 2 85人例 24、 一辆公共汽车出发时有 48 人，到达第一站时有若干人下车，而且下车的比留下的多 8 人到达第二站时，又有人下车，这次下车的比留下的少 8 人请问：最后有几个人留在了车上？（注：每个车站都无人上车） （）分析：第一站后，留下的人数为：488220 人，第二站后留下的人数为：208214人例 25、 小悦和冬冬玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的1 枚棋子一开始小悦有 18 枚棋子，冬冬则有22 枚玩了若干局之后，小悦反而比冬冬多了10 枚棋子请问：此时小悦有多少枚棋子？（）分析：小悦和冬冬共有 182240 枚棋子，两人的棋子总数不变， 此时小悦比冬冬

25、多 10 枚棋子，那么小悦的棋子数为：40 10 2 25枚例 26、 今年小强 7 岁，爸爸 35 岁，当两人年龄和是 58 岁时，两人年龄各多少岁？ （）分析：小强与爸爸的年龄差不变，小强总是比爸爸小35 7 28 岁，那么小强的年龄为：5828215 岁，爸爸的年龄为 381543 岁例 27、 小明期末考试时语文和数学的平均分数是 94 分，数学比语文多 8 分，问语文和数学各得了几分？（）分析：语文数学总分为： 94 2 188 分，数学比语文多 8 分，那么语文的分数为：1888290 分，数学分数为： 90898 分文案大全标准实用例 28、 甲、乙两桶油共重 30 千克，如果把

26、甲桶中 6 千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶 原有多少油？（）分析：因为把甲桶中 6 千克油倒入乙桶两桶油重量相等， 那么甲桶原来比乙桶多6212 千克，则甲桶原来有油3012221千克，乙桶原有油21129 千克例 29、三个物体平均重量是31 千克，甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻 1 千克，乙物体比丙物体重量的2 倍还重2 千克，三个物体各重多少千克？ （）分析：方法一：三个物体总重量为：31393千克，因为甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻 1 千克，那么甲的重量为93 12 46 千克，乙、丙两个物体重量和为461 47 千克，又乙物体比丙物体重量的2倍还重 2千克，那

27、么丙的 3 倍为47245 ，则丙的重量为 45 315千克，乙的重量为47 15 32 千克例 30、 公园里柳树和杨树共 43 棵，松树和柏树共 42 棵，并且杨树比松树多 2 棵，松树比柳树少 7 棵，那么公园里有柏树多少棵？（）分析： 因为杨树比松树多 2 棵，松树比柳树少 7 棵，所以柳树比杨树多 5 棵，那么杨树数量为： 43 52 19棵，则松树数量为 192 17 棵，则柏树数量为：42 17 25棵练习：1、甲、乙两个学校共有学生 1245人，如果从甲校调20 人去乙校后，甲校比乙校还多 5 人，两校原有学生各多少人？（）2、甲、乙两个工程队共有1980 人，甲队为了支援乙队，抽出 285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24 人，求