贵州省黔东南州凯里市第一中学高一下学期期末数学试题(解析版)

1、贵州省黔东南州凯里市第一中学高一下学期期末数学试题、单选题1 .直线J3x y 1 0的斜率是()A.氐B. gC. £D.73【答案】A【解析】直线方程y kx b中k为斜率.【详解】y舟1的斜率为33.故选：A【点睛】本题考查直线的斜率，属于基础题ln x 2 .函数f(X) f的7E义域为() 4 xA. 0,4B. 0,4)C.(0,4D. (0,4)第3页共17页【答案】D【解析】由对数函数的定义域、被开方数非负及分母不为0列出不等式组求解即可【详解】x 0，、 ln x一 、0 x 4,函数f(x) ,的定义域为(0,4).4x0.4 x故选：D【点睛】本题考查求具体函数

2、的定义域，属于基础题3 .正项等比数列 an的前n项和为Sn,若4 3, S3 21 ,则公比q ()C. 2A. 4【答案】C【解析】由S3 21及等比数列的通项公式列出关于q的方程即可得求解.【详解】S3 a1 a2 % 3 3q 3q2 21,即有 q2 q 6 0,解得 q=2或 q 3,又an 为正项等比数列， 故选： C【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和，属于基础题.4.已知a,b,c是不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是()A.若 a/b,b ,则 a/B.若 a b,a c,b ,c ,则aC.若 ，I a,b a,则 b D.若 a ,a ，则 /【答案】

3、D【解析】由线面平行的判定定理即可判断A;由线面垂直的判定定理可判断B；由面面垂直的性质可判断 C;由空间中垂直于同一条直线的两平面平行可判断D.【详解】对于A选项，加上条件“ a”结论才成立；对于 B选项，加上条件“直线 b和c相交”结论才成立；对于 C 选项，加上条件“b ”结论才成立 .故选： D【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，涉及线面平行的判定、线面垂直的判定、面面垂直的性质，属于基础题.0335已知 a log3 0.3,b 3 ,c 0.3 ，则()A a b cB b c aC b a c D c b a【答案】B【解析】利用指数函数与对数函数的图像与性质借助中间量0,

4、1 即可比较出大小.【详解】由指数函数与对数函数的图像可知：a log30.3 0， b 30.3 1 ， c 0.33 (0,1) ，则有 b c a .故选： B【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图像与性质，属于基础题.6 .在直角坐标系xOy中，已知点A(2,0), B(0,2), C( 1, 1),则ABC的面积为()C.4x/2A. 272【答案】B 【解析】 求出直线AB的方程及点C到直线AB的距离d,再求出|AB，代入1S -|AB d即可得解.【详解】2 0021，1 AB : y点C到直线AB的距离d2 2 2424.AB J 0 2 22 0 2 2 V2 ,1 ，ABC

5、的面积为：一AB d 2故选：B本题考查直线的点斜式方程，点到直线的距离与两点之间的距离公式，属于基础题【答案】D【解析】首先判断函数的奇偶性， 排除选项，再根据特殊区间X , 时，f x 02判断选项.【详解】y 3X是偶函数，y sin 2x是奇函数，f x 3、sin2x是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,Bfa 0,当x（a，）时,y 3x 0, y sin 2x 0y 3x|sin2x 0,排除 C.故选D .【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值

6、，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项1x y 2x8.若实数x,y满足约束条件 2，则x y的最大值是（）x y 3A.1B . 0C. 1D . 2【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标代入目标函数即可得解【详解】作出可行域如图，1x2x 3x 2，则 B 2,1 , y 1y x ( z),当直线yx ( z)经过点B 2,1时,截距 z取得最小值，x y取得最大值1.故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题 9 .在 ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,

7、且满足acosA bcosBABC的形状为（）A.等腰三角形或直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】A2B或【解析】由正弦定理进行边化角， 再由二倍角公式可得 sin2A sin2B,则2A2A 2B ,所以A B或A B -,即可判断三角形的形状.【详解】由正弦定理得 sin AcosA sin BcosB ,则 sin2A sin2B ,因此在 ABC中，2A 2B或2A 2B ，即A B或A B 一. 2故选：A【点睛】本题考查利用正弦定理进行边角互化，判断三角形形状，属于基础题10 .南北朝数学家祖的I在推导球的体积公式时构造了一个中间空心的几何体，经后继学者改进

8、后这个中间空心的几何体其三视图如图所示，下列那个值最接近该几何体的体积（）工上工A 1第11页共17页正视图侧视图辨视图A. 8B . 12C. 16D . 24【答案】C【解析】由三视图确定此几何体的结构，圆柱的体积减去同底同高的圆锥的体积即为所求.【详解】该几何体是一个圆柱挖掉一个同底同高的圆锥，圆柱底为2,高为2,c2c1c2c16_所求体积为22222216.75,33所以C选项最接近该几何体的体积 .故选：C【点睛】本题考查由三视图确定几何体的结构及求其体积，属于基础题11 .在三棱柱ABC AB1C1中，AA 底面ABC, ABC是正三角形，若AA 2AB 2内，则该三棱柱外接球的

9、表面积为（）A. 32-B . 8C. 16D. 64冗3【答案】C【解析】设球心为O,ABC的中心为。1 ,求出OO1与OA,利用勾股定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可【详解】一 一 1设球心为O, ABC的中心为。1,则OO1 -AA1 J3,21,球的半径RJO1O2O1A2所以球的表面积为R2 16 .故选：C本题考查多面体外接球问题,球的表面积公式，属于中档题r r r r12 .若向量a,b,c满足：a,r ,一，与b的夹角为2 r r，且(c a)3r(cr b)r r r rnt |a bl |a b|0 ,则S1|c|的最小值是（A. 1B. 22C.uju 设OA

10、r uuu r uura,OB b,OCc作图，由（cr a)r (crb）可知点C在以线段AB为直径的圆上，由图可知A uurODb=2uuuOEuur2 BE ,代入所求不等式利用圆的特征化简即可.如图，设r 因为（cuuur uuuOA a,OBr uur b,OCa) (c b) 0 即(cr c,取线段AB的中点为E ,连接OE交圆于点D,r a)r r(c b),所以点C在以线段 AB为直径的圆上（E为圆心），且cuurOD ,uur 2OEuuuuuruur2 BE uuur OD2OE 2 EDUutUTOD日故选：D【点睛】 本题考查向量的线性运算，垂直向量的数量积表示，几何

11、图形在向量运算中的应用，属于中档题.二、填空题2,n 113 .若数列 an满足an彳 1“则a3 .1 ,n 1an 1【答案】1【解析】由递推公式逐步求出 a1,a2,a3.【详解】111a12, a2 1 , a3 1 1.a1 2a2故答案为：1【点睛】本题考查数列的递推公式，属于基础题.14 .在直角坐标系xOy中，直线11 : y kx 1与直线12都经过点（3,2）,若11 则直线12的一般方程是.【答案】x y 5 0【解析】点（3, 2）代入11的方程求出k,再由11 12求出直线12的斜率，即可写出直线12 的点斜式方程.【详解】将点3,2代入直线1y kx 1得，2 3k

12、 1,解得k 1,又1112, %1,于是的方程为y 21x3,整理得x y 5 0.故答案为：x y 5 0【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题.15 .已知算式20 口 2 口，在方框中填入两个正整数,，使它们的乘积最大，则这两个正整数之和是【答案】15.【解析】设填入的数从左到右依次为 x, y,则x 2y 20 ,利用基本不等式可求得 xy的最大值及此时 x,y的和.【详解】设在方框中填入的两个正整数从左到右依次为x, y ,则x 2y 20 ,于是x 2y 20 2jx 2y , xy 50,当且仅当x 2y 10时取等号，此时x y 10 5 15.故答案为：15【点睛】本题考查

13、基本不等式成立的条件，属于基础题16 .黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较5 1大部分的比值，其比值为 1 ,约为0.618 ,这一数值也可以近似地用m 2sin182m、4 m表不，则工.2 cos2 271【答案】2【解析】m 2sin18代入分式利用同角三角函数的平方关系、二倍角公式及三角函数诱导公式化简即可.【详解】m、4 m22sin18 4 4sin2 18 4sin18 cos18二 FTZ 72cos 27 1cos54cos542sin36sin36故答案为：2【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系、二倍角公式及三角函数诱导公式，属于基础题

14、.三、解答题17 ,已知集合 A x | x2 2x 3 0 , B y | y 4x, x 1 .(i)求 AUB；(n)若集合C (A B) Z ,写出集合C的所有子集.【答案】(i) AUB (1,4 (n), 1 , 2 , 1,2 .【解析】(I )求解二次不等式从而求得集合 A,利用指数函数的图像求出集合 B,再 进行并集运算即可；(n)依次求出 AI B, C (A B) Z,即可写出集合 C的子 集.【详解】(I)由 x2 2x 3 0 ,得 x 1 x 30 ,即有-1< x < 3 ,于是A 1,3 .作出函数y 4x,x 1的图象可知0 y 4,于是B (0,

15、4,所以 AUB ( 1,4,(n) AI B (0,3) , C AI B I Z 1,2 ,集合C的所有子集是：，1 , 2 , 1,2 .【点睛】本题考查集合的基本运算，集合的子集，属于基础题 18 .已知函数 f(x) 2sin x sin x33 cos2x sin2 x .2(I)求函数f (x)的最小正周期；(n)求方程f(x) 2的解构成的集合.【答案】(I)(n) x|x k ,k Z12【解析】(i)利用二倍角公式化简函数，再逆用两角和的正弦公式进一步化简函数，代入最小正周期公式即可得解；(n)由f(x) 2得sin(2x ) 1,则32x 一 一 2k ,k Z ,求解x

16、并写成集合形式. 32【详解】(I)f (x) 2sin x cosx , 3 cos2 x sin2 x2sin(2x -),2所以函数f(x)的最小正周期T 2(n)由 f (x) 2得 sin(2x ) 1,2x 2k ,k Z ,解得 x k ,k Z 3212因此方程f（x） 2的解构成的集合是:x| x k ,k Z 12本题考查简单的三角恒等变换，已知三角函数值求角的集合，属于基础题19 .如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是菱形,PA 底面 ABCD.第15页共17页(I)证明：BD PC ;(n)若 BAD BPA60 ,求直线PC与平面ABCD所成角的余弦值.【答

17、案】（I）见解析（n）3 1010【解析】（I）由PA 底面ABCD推出BDPA ,由菱形的性质推出 BD AC ,即可推出BD 平面PAC从而得到BDPC ; （n）根据已知条件先求出 AB ,再利用菱形的对角线垂直求出 AC,由PCVpaAC2求出pc ,即可求得余弦值【详解】(I)证明：连接 AC , PA 底面 ABCD , BD 底面 ABCD,. BD PA.2 .四边形 ABCD是菱形，BD AC.又 PAI AC A, PA 平面 PAC, AC 平面 PAC ,3 BD 平面 PAC ,BD PC .(n )设直线AC与BD交于点O , PA 底面 ABCD ,3-1313第

18、#页共17页，直线PC与平面ABCD所成角白是 PCA.设 PA “1”，由 BAD BPA 60 ,可得 BA 73,四边形ABCD是菱形，AC BD在 ABC 中， BAC 30 , BA V3,则 AC 2AO 2x/3cos30° 3,于是 PC J PA2 AC2 而，AC 3、10cos PCA - PA 10直线PC与平面ABCD所成角的余弦值是 3”. 10【点睛】本题考查线线垂直、 线面垂直的证明，菱形的性质，直线与平面所成的角， 属于基础题20 .如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是菱形，PA 底面ABCD.(I)证明：BD PC ；(n)若 BADBP

19、A 60 ,求二面角P CD A的余弦值.【答案】(I)见解析(n)【解析】(I)由PA 底面ABCD推出BD PA,由菱形的性质推出 BD AC, 即可推出BD 平面PAC从而得到BD PC ; (n)作AE CD ,交CD的延长线 于E ,连接PE ,则二面角P CD A的平面角是 PEA ,由已知条件求出 AD ,进 而求出AE、PD ,即可求得cos PEA.【详解】(I)证明：连接 AC , PA 底面 ABCD , BD 底面 ABCD,. BD PA.2 .四边形 ABCD是菱形，BD AC.又 PAI AC A, PA 平面 PAC, AC 平面 PAC ,3 BD 平面 PA

20、C , BD PC .(n)作AE CD ,交CD的延长线于E ,连接PE .由于 AE CD,PA CD,AEI PA A,于是 CD 平面 PAE ,第21页共17页Q PE 平面 PAE, PE CD ,所以二面角P CD A的平面角是 PEA.设 PA T,Q BAD BPA 60且底面ABCD是菱形，BA AD 73, DAE 30oAE cos30oAD 3 , pe PPA2AE2 13 , 22AE 3 13cos PEA .PE 13【点睛】abc本题考查线面垂直、线线垂直的证明，二面角的余弦值，属于中档题 21 .已知 ABC的三个内角 A、B、C的对边分别是a、b、c,

21、ABC的面积Sa b 2csinC ab(i)求角C;(n)若 ABC中，BC边上的高h J3,求a的值.【答案】(i) C (n) a 13【解析】(i)由面积公式推出 c 2sin C，代入所给等式可得 a2 b2 c2 ab ,求出角C的余弦值从而求得角 C； (n)首先由c 2sinC求出边c,再由面积公式c11 .S-absinCah代入相应值求出边b,利用余弦定理即可求出边a.22【详解】abc 1 1(I)由 S absinC 得 c 2sin C 2ab c ab,工23千耳 C2ab22csinC即 a2 b2c2 abcosC0,2,22abc2ab(n) c 2sin C

22、 51 1 .一由 S -absinC ah得b 2, 22将 b 2,c J3,C 一代入 a2 b2 2csinC ab中得 a2 2a 1 0,3解得a 1.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于基础题 22 .在公差不为零的等差数列an中，a2 5,a1,a3,a11成等比数列.(I)求数列 an的通项公式；-3一，1-1(n)设bn2 _.,设数列 bn的刖n项和Sn,求证 Sn 一 .an 5an 463【答案】(I) an 3n 1,n N* (n)见解析【解析】(i)根据题意列出方程组，利用等差数列的通项公式化简求解即可；(n)将 方程;an的通项公式代入所给等

23、式化简求出0的通项公式，利用裂项相消法求出-1 -1 、,1 一Sn-(1)，由0推出Sn3 n 1 n 11-,由数列Sn是递增数列推出Sn 3(I)设等差数列an的公差为d (d 0),a2 5a1d 5因为2 ,所以aan a3a1 a1 10d2a1 2d解得a12d 3 '所以 an 3n 1,n N*(n )bn3an2 5an 4323n 15 3n 1411 11一()3n n 13 n n 1 'Sn1 J 1、 / 1一(一 )(3 1 22 33(1).，1 c c因为二°,所以S,11又因为bn 1 0,所以数列 Sn是递增数列，于是 Sn 6 = 一.3n n 16综上,Sn本