圆幂定理讲义带答案

1、圆幕定理STEP 1:进门考理念：1.检测垂径定理的根本知识点与题型2. 垂径定理典型例题的回忆检测.3. 分析学生圆局部的薄弱环节.(1)例题复习.1. (2021葭津县一模)一副量角器与一块含 30°锐角的三角板如下列图放置,三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上,顶点A , B恰好都落在量cm.MC N角器的圆弧上,且 AB / MN.假设AB=8cm,那么量角器的直径 MN=【考点】M3:垂径定理的应用； KQ:勾股定理；T7:解直角三角形.【分析】作CD ±AB于点D ,取圆心O ,连接OA ,作OE± AB于点E,首先求得CD的长, 即OE的长,在直

2、角 AOE中,利用勾股定理求得半径 OA的长,贝U MN即可求解.【解答】 解：作CD±AB于点D,取圆心O,连接OA,作OE±AB于点E.在直角 ABC 中,Z A=30°,贝U BC=AB=4cm , 在直角 BCD 中,Z B=90° - Z A=60° ,. .CD=BC？sinB=4 X藉=2如(cm) ,.OE=CD=2巧,在 AOE 中,AE=AB=4cm ,那么 OA= J A * +.E '=寸M+12 =的(cm),那么 MN=2OA=4j7 (cm).故答案是： 瑚.M0 C N【点评】此题考查了垂径定理的应用,在

3、半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中,常用的方法是转化为解直角三角形.2. 20210可坝州如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,贝浙痕AB的长为A. 2cm B. V3cm C. 5cmD . 3cm【考点】M2:垂径定理；PB:翻折变换折叠问题.【分析】通过作辅助线,过点O作OD ± AB交AB于点D,根据折叠的性质可知 OA=2OD , 根据勾股定理可将 AD的长求出,通过垂径定理可求出AB的长.【解答】解：过点O作OD± AB交AB于点D,连接OA ,- OA=2OD=2cm , - AD= J._q° 2 = J2 2 _ 2cm,:

4、.AB=2AD=2寸 3 cm. OD ± AB ,【点评】 此题考查了垂径定理和勾股定理的运用,正确应用勾股定理是解题关键.3. 2021和州如图,在平面直角坐标系中,O P的圆心坐标是3, aa>3,半径为3,函数y=x的图象被O P截得的弦AB的长为那么a的值是A. 4 B .贵血 C. 3很d. 3+V3【考点】M2:垂径定理；F8: 一次函数图象上点的坐标特征；KQ:勾股定理.【专题】11 :计算题；16 :压轴题.【分析】PCI x轴于C,交AB于D,作PEL AB于E,连结PB,由于 OC=3 , PC=a,易得D点坐标为3, 3,那么AOCD为等腰直角三角形,

5、PED也为等腰直角三角形.由 PE±AB,根据垂径定理得 AE=BE=AB=2扼,在Rt PBE中,利用勾股定理可计算出 PE=1 ,2那么 PD=/PE=J,所以 8=32-【解答】 解：作PCI x轴于C,交AB于D,作PEL AB于E,连结PB,如图,.P 的圆心坐标是(3, a) ,. OC=3, PC=a,把 x=3 代入 y=x 得 y=3, . D 点坐标为(3, 3) ,.-.CD=3 ,OCD为等腰直角三角形,PED也为等腰直角三角形,. PE ± AB , AE=BE= -LAB X 2=2, 在 RtA PBE 中,PB=3 ,PE=W2_(WD 豆二

6、1,PDMPE瑚a=3步. 应选：B.并且平分弦所对的两条弧.也【点评】此题考查了垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦, 考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.4. (2021构江)在平面直角坐标系xOy中,以原点.为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx - 3k+4与.交丁 B、C两点,那么弦BC的长的最小值为【分析】根据直线y=kx - 3k+4必过点D (3, 4),求出最短的弦 CB是过点D且与该圆直 径垂直的弦,再求出 OD的长,再根据以原点 .为圆心的圆过点 A (13, 0),求出OB的 长,再利用勾股定理求出 BD,即可得出答案.【解答】 解：,直线 y=kx - 3k+4

7、=k (x - 3) +4, k (x- 3) =y - 4, k 有无数个值, x - 3=0, y - 4=0,解得 x=3 , y=4 ,直线必过点 D (3, 4) ,.最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦,.点 D 的坐标是(3, 4) , OD=5,.以原点.为圆心的圆过点 A 13, 0 ,.圆的半径为13,OB=13 , .BD=12 , BC的长的最小值为 24;故答案为：24.【点评】此题考查了一次函数的综合,用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.STEP 2:新课讲解教学目标,1、熟练掌握圆籍定理的根本概念.2、熟悉有关圆籍定理的

8、相关题型,出题形式与解题思路3、能够用自己的话表达圆籍定理的概念.4、通过课上例题,结合课下练习.掌握此局部的知识.学习内容、相交弦定理相交弦定理1相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.经过圆内 一点引两条线,各弦被这点所分成的两段的积相等.几何语言：假设弦 AB、CD交于点P,那么PA？PB=PC？PD 相交弦定理/2 推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成B的两条线段的比例中项.'几何语言：假设 AB是直径,CD垂直AB于点P,那么PC2=PA？PB 相交弦定理推论？ 基此题型：【例1】2021秋？工阴市期中如图,00的弦AB、CD相交丁点P

9、,假设AP=3,BP=4, CP=2,贝U CD 长为BA. 6 B. 12 C. 8 D.不能确定【考点】M7：相交弦定理.【练习1】2021相长区一模BC=3,点E为BC上一点,的长为【专题】11 :计算题.【分析】 由相交线定理可得出 AP？BP=CP？DP,再根据AP=3 , BP=4 , CP=2,可得出PD的 长,从而得出CD即可.【解答】 解：- AP？BP=CP？DP, PD=PP ,CP. . AP=3 , BP=4 , CP=2, PD=6 ,. .CD=PC+PD=2+6=8.应选C.【点评】 此题考查了相交线定理,圆内两条弦相交,被交点分成的两条线段的积相等.如图,矩形

10、ABCD为O的内接四边形,AB=2 , 且BE=1,延长AE交O 丁点F,那么线段AFAE,再由相交弦定理求出 EF,即可得出AF的长.A.B . 5 C.港+1【考点】M7:相交弦定理.【分析】由矩形的性质和勾股定理求出【解答】 解：.四边形 ABCD是矩形,. / B=90° ,- AE=山/+B E 4=J 2' +1 '淄, . . BC=3 , BE=1 , CE=2 ,由相交弦定理得： AE？EF=BE？CE,.匚匚 BE-CB2用EF=一一, AF=AE +EF=±/$|5应选：A.相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定【点评】此题考查了矩形

11、的性质、勾股定理、 理,并能进行推理计算是解决问题的关键.？ 综合题型【例2】 2004？帛州如图,AB是CDO的直径,M是CDO上一点,MN LAB, 垂足为N. P、Q分别是莅、前上一点不与端点重合,如果Z MNP=ZMNQ,下面结论：Z 1 = Z 2;Z P+Z Q=180° ;Q=Z PMN :PM=QM ;mn2=pn？qn.其中正确的选项是A.B.C. D.【考点】M7:相交弦定理；M2:垂径定理；M4 :圆心角、弧、弦的关系；M5 :圆周角定理；S9:相似三角形的判定与性质.【专题】16 :压轴题.【分析】根据圆周角定理及对各个结论进行分析,从而得到答案.【解答】解：

12、延长MN交圆于点 W,延长QN交圆于点E,延长PN交圆于点F,连接PE,QF/ PNM= Z QNM , MN ±AB,Z 1 = / 2 故正确,/ 2与Z ANE是对顶角,1 = Z ANE ,AB是直径,. .可得 PN=EN ,同理NQ=NF ,.点 N 是 MW 的中点,MN？NW=MN 2=PN？NF=EN？NQ=PN？QN 故正确,MN : NQ=PN : MN ,/ PNM= Z QNM ,. NPMA NMQ ,Z Q=Z PMN 故正确.应选B .【点评】 此题利用了相交弦定理,相似三角形的判定和性质,垂径定理求解.？ 与代数结合的综合题的值为【例3】2021涉山

13、市模拟如图,正方形ABCD内接丁O O,点P在劣弧AB 上,连接DP,交AC 丁点Q.假设QP=QO,那么岑A. |2V3-1| B.市C.巧0 D.扼+2【考点】M7:相交弦定理；KQ:勾股定理.【专题】11 :计算题.【分析】 设OO的半径为r, QO=m,贝U QP=m , QC=r+m, QA=r - m.利用相交弦定理,求 出m与r的关系,即用r表示出m,即可表示出所求比值.【解答】 解：如图,设O O的半径为r, QO=m,贝U QP=m , QC=r+m,QA=r m.在O O中,根据相交弦定理,得 QA？QC=QP？QD.22一 r tti即r m r+m =m？QD,所以 Q

14、D=.in连接DO,由勾股定理,得 QD2=DO2+QO2,22,)-t +m ,ID解得所以,匕上 应选D .【点评】此题考查了相交弦定理,即圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等熟记并灵活应用定理是解题的关键.需要做辅助线的综合题【例4】2021秋拼州期末如图,O O过M点,CDM交CD O 丁 A,延长O O 的直径 AB 交CD M 丁 C ,假设 AB=8 , BC=1,那么 AM=.【考点】M7:相交弦定理；KQ:勾股定理；M5 :圆周角定理.【分析】 根据相交弦定理可证 AB？BC=EB？BF= ( EM +MB ) (MF - MB ) =AM 2- M

15、B 2=8, 又由直径对的圆周角是直角,用勾股定理即可求解AM=6 .【解答】 解：作过点M、B的直径EF,交圆于点E、F,贝U EM=MA=MF ,由相交弦定理知, AB？BC=EB？BF= (EM+MB) (MF - MB ) =AM 2 - MB 2=8,AB是圆O的直径, Z AMB=90 ,由勾股定理得, AM 2+MB 2=AB 2=64 ,AM=6 .【点评】 此题利用了相交弦定理,直径对的圆周角是直角,勾股定理求解.二、割线定理割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何语言：PBA , PDC是OO的割线PD？PC=PA？P

16、B (割线定理)由上可知：PT2=PA？PB=PC？PD.？ 基此题型【例5】(1998？召兴)如图,过点P作CD O的两条割线分别交O.丁点A、B和点C、D,PA=3, AB=PC=2,贝U PD的长是()A. 3 B. 7.5 C. 5 D. 5.5【考点】MH :切割线定理.【分析】由可得PB的长,再根据割线定理得 PA？PB=PC？PD即可求得PD的长.【解答】解：. PA=3, AB=PC=2 ,.PB=5,. PA？PB=PC？PD,. .PD=7.5,应选B .【点评】主要是考查了割线定理的运用.【练习2】2003饮津如图,Rt ABC中,Z C=90 , AC=3, BC=4,

17、以点C 为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交丁点D、E.求AB、AD的长.【考点】MH ：切割线定理；KQ：勾股定理.【分析】RtA ABC中,由勾股定理可直接求得AB的长；延长BC交OC于点F,根据割线定理,得 BE？BF=BD？BA,由此可求出 BD的长,进而可 求得AD的长.【解答】 解：法1:在Rt ABC中,AC=3 , BC=4;根据勾股定理,得 AB=5 .延长BC交C于点F,那么有：EC=CF=AC=3 .C 的半径,BE=BC - EC=1 , BF=BC+CF=7;由割线定理得,BE？BF=BD？BA ,所以 AD=AB - BD=¥；法2:过C作CM

18、77; AB,交AB于点M ,如下列图,由垂径定理可得 M为AD的中点,Saabc=LaC？BC=LaB？CM,且 AC=3 , BC=4 , AB=5 ,22.CM=L, cc c 一12在Rt ACM中,根据勾股定理得： AC2=AM 2+CM2,即9=AM 2+ 毕52,解得：AM=. .AD=2AM=【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用.？ 综合题型【例6】(2021狱汉校级模拟)如图,两同心圆问的圆环的面积为圆上任意一点P作大圆的弦AB,那么PA？PB的值是()16兀,过小A. 16 B. 16兀 C. 4 D. 4兀【考点】MH :切割线定理.【分析】过P点作大

19、圆的直径 CD,如图,设大圆半径为 R,小圆半径为r, 理得到 PA？PB= (OC - OP) ？ (OP+OD) =R2-r2,再利用 兀 B2 -兀 2=16 兀得到 以 PA？PB=16.【解答】 解：过P点作大圆的直径 CD,如图,设大圆半径为 R,小圆半径为 pa？pb=pc？pd,根据相交弦定R2- r2=16,所r, PA？PB= (OC - OP) ？ (OP+OD)=(R - r) ( R+r)=R2 - r2,.两同心圆间的圆环(即图中阴影局部)的面积为 16兀,-兀 R2 -兀2=16 兀,- R2 - r2=i6 ,. .PA？PB=16.应选A .【点评】此题考查了

20、垂径定理： 平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了相交弦定理.【思考】观察讲义课后练习最后一道题,是否有思路？三、切割线定理切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何语言：声PBA , PDC 是 OO 的割线:.PD？PC=PA？PB 割线定理由上可知：PT2=PA？PB=PC？PD.m【例7】2021所活区二模如图,PA为CDO的切线,A为切点,OO的割线 PBC过点.与O.分别交丁 B、C, PA=8cm, PB=4cm,求CDO的半径.【考点】MH :切割线定理.【专题】11 :计算题.【分析】 连接OA,设.

21、的半径为rcm,由勾股定理,列式计算即可.【解答】解：连接OA,设O的半径为rcm, 2分那么 r2+82= r+4 2, 4 分18/22解得r=6,.二.O的半径为6cm. ( 2分)34 / 22【点评】 此题考查的是切割线定理,勾股定理,是根底知识要熟练掌握.【练习3】(2021秋为台市期中)如图,点P是OO直径AB的延长线上一点,PC 切OO 丁点 C, OB=3 , PB=2. WJ PC 等丁()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【考点】MH :切割线定理.【专题】11 :计算题.【分析】根据题意可得出PC2=pb？PA,再由OB=3 , PB=2,那么PA=8,代入可求出P

22、C.【解答】解：PC、PB分别为O的切线和割线,PC2=PB？PA,. OB=3 , PB=2, . PA=8, . PC2=pb？PA=2X 8=16, PC=4.应选C.【点评】此题考查了切割线定理,熟记切割线定理的公式pc2=pb？pa.四、切线长定理切割线定理(1) 圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这 点到圆的切线长.(2) 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角.(3) 注意：切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量；切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度

23、量.(4) 切线长定理包含着一些隐含结论： 垂直关系三处； 全等关系三对； 弧相等关系两对,在一些证实求解问题中经常用到.【例8】2021歌皇岛校级模拟如图,一圆内切四边形 ABCD ,且BC=10,AD=7,贝U四边形的周长为A月A. 32 B. 34 C. 36 D. 38【考点】MG :切线长定理.【分析】根据切线长定理,可以证实圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等,从而可求得四边形的周长.【解答】 解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等,所以四边形的周长 =2X 7+10 =34.应选：B.【点评】此题主要考查了切线长定理,熟悉圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边

24、和相等是解题关键.【练习4】2021赤池县模拟如图,PA, PB切CD O 丁 A , B两点,CD切CD O 丁点E交PA, PB 丁 C, D,假设CDO的半径为r, PCD的周长为3r,连接 OA, OP,那么*的值是ADAvb.-L O【考点】A.125MG:切线长定理；MC :切线的性质.【分析】利用切线长定理得出 CA=CF , DF=DB , PA=PB,进而得出PA二r,求出即可.2解：PA, PB切O于A , B两点,CD切OO于点E交PA, PB于C, D,【解答】.CA=CF, DF=DB , PA=PB,. .PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r ,. .

25、PA=r,3 |r 2Aft那么*的值是:L A应选：D.【点评】 此题主要考查了切线长定理,得出PA的长是解题关键.【例9】2021秋？夏津县校级期末如图,P为.O外一点,PA, PB分别切O O 丁 A, B, CD 切 CDO 丁点 E,分别交 PA, PB 丁 点 C, D.假设 PA=5,那么 PCD的周长和Z COD分别为【考点】MG :切线长定理.9.弓C. 10, 90 Z P D. 10, 90" Z P【分析】根据切线长定理,即可得到PA=PB , ED=AD , CE=BC ,从而求得三角形的周长 =2PA ;连接OA、OE、OB根据切线性质,/ P+Z AOB

26、=180,再根据CD为切线可知/ CODAOB .【解答】 解：PA、PB切O于A、B , CD切O于E,. .PA=PB=10 , ED=AD , CE=BC;. PCD 的周长=PD+DE+PC+CE=2PA,即 PCD 的周长=2PA=10,;如图,连接OA、OE、OB.由切线性质得, OA ± PA, OB ± PB , OE± CD , DB=DE , AC=CE ,. . AO=OE=OB ,易证 AOC EOC (SAS) , A EOD BOD (SAS), / AOC= / EOC, / EOD= / BOD ,Z COD=. .ZAOB=180

27、 - Z P,. .ZCOD=90 一二/P.2【点评】此题考查了切线的性质,运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题,是根底题型.五、圆籍定理请尝试解出以下例题：【例10】2005尸州如图,在直径为6的半圆福上有两动点M、N ,弦AM、BN相交丁点P,那么AP？AM+BP？BN的值为.【考点】M7:相交弦定理；KQ:勾股定理；M5 :圆周角定理.【专题】16 :压轴题；25 :动点型.【分析】连接AN、BM ,根据圆周角定理,由 AB是直径,可证/ AMB=90 ,由勾股定理 知,BP2=MP2+BM2,由相交弦定理知, AP？PM=B

28、P？PN,原式=AP (AP+PM) +BP (BP+PN) =AP2+AP？PM+BP2+BP？PN=AP2+BP2+2AP？PM=AP2+MP2+BM 2+2AP？PM=AP2+ ( AP +PM ) 2=AP2+AM 2=AB2=36.【解答】解：连接AN、BM,AB是直径, Z AMB=90 . .BP2=MP2+BM2. . AP？PM=BP？PN原式=AP (AP+PM) +BP (BP+PN) =AP2+AP？PM+BP2+BP？PN=AP2+BP2+2AP？PM=AP2+MP2+BM 2+2AP？PM=BM 2+ (AP+PM ) 2=BM 2+AM 2=AB 2=36 .【点

29、评】 此题利用了圆周角定理和相交弦定理,勾股定理求解.以上四条定理统称为圆籍定理.局部参考书以前三条为圆籍定理圆籍定理：过平面内任一点P P与圆心.不重合做O O的切割线,交OO与点A、B,那么包有PA PB OP2 r2. “ OP2 r2 被称为点P到OO的籍.PracticeSTEP 3:落实稳固一一查漏补缺理念：找到自己本节课的薄弱环节.STEP 4:总结理念：本结课复习了什么？学到了什么？方法：学生口述+笔记记录.STEP 5:课后练习一 .选择题共5小题1 .如下列图,O.中,弦AB, CD相交丁点P, AP=6, BP=2, CP=4,那么PD的长是A. 6 B. 5 C. 4

30、D. 3【分析】 可运用相交弦定理求解,圆内的弦 AB, CD相交于P,因此AP？PB=CP？PD,代入 数值计算即可.【解答】 解：由相交弦定理得 AP？PB=CP？PD,AP=6 , BP=2 , CP=4,. . PD=AP？PB + CP=6 X 2 + 4=3 .应选D .【点评】此题主要考查的是相交弦定理圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等2. OO的两条弦 AB与 CD相交丁点 P, PA=3cm PB=4cm PC=2cm 那么 CD=(A. 12cm B. 6cm C. 8cmD . 7cm【分析】根据相交弦定理进行计算.【解答】 解：由相交弦定理得

31、： PA？PB=PC？PD,. Dp=PAFE = " "cm , CD=PC+PD=2+6=8cm .应选 C. PC 2【点评】此题主要是根据相交弦定理圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等进行计算.3.如图,CD O中,弦AB与直径CD相交丁点P,且PA=4, PB=6, PD=2,那么OO的半径为A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【分析】 根据相交弦定理得出 AP X BP=CP X DP,求出CP,求出CD即可.【解答】 解：由相交弦定理得： AP X BP=CP X DP,PA=4 , PB=6 , PD=2 ,. .CP=12,DC

32、=12+2=14,CD是O直径,O O半径是7.应选C.【点评】 此题考查了相交弦定理的应用,关键是能根据定理得出AP X BP=CP X DP.4. 如图,A是半径为1的圆.外的一点,OA=2 , AB是OO的切线,B是切点, 弦BC / OA,连接AC ,那么阴影局部的面积等丁【分析】连接OB , OC,易证： BOC是等边三角形,且阴影局部的面积 = BOC的面积, 据此即可求解.【解答】解：连接OB, OC, AB是圆的切线,/ ABO=90 ,在直角 ABO 中,OB=1 , OA=2 ,/ OAB=30,/ AOB=60 ,. OA / BC,.Z COB= / AOB=60,且

33、S 阴影局部=, boc ,BOC是等边三角形,边长是 1,牝1忐&- S阴影局部=Saboc='【点评】此题主要考查了三角形面积的计算,以及切割线定理,正确证实 角形是解题的关键.5. 如图,PA, PB分别是CDO的切线,A , B分别为切点,点BOC是等边三E是CD O上一点,且 Z AEB=60,那么 / P 为A. 120° B . 60° C. 30° D . 45°【分析】 连接OA , BO,由圆周角定理知可知Z AOB=2 / E=120° , PA、PB分别切.于点 A、B,利用切线的性质可知Z OAP= /

34、 OBP=90°,根据四边形内角和可求得Z P=180.-Z AOB=60° .【解答】解：连接OA , BO;/ AOB=2 / E=120° ,/ OAP= / OBP=90 ,P=180°-Z AOB=60 .应选B .【点评】 此题考查了切线的性质,切线长定理以及圆周角定理,利用了四边形的内角和为 360度求解.解做题共3小题6. 如图,P为弦AB上一点,CPL OP交OO 丁点C, AB=8,岌一义,求PC的PB |3|长.AB=2 ,【分析】延长CP交O于D .由垂径定理可知 CP=DP ,由AB=8PB=AB=6 .再根据相交弦定理得出PC

35、？PD=AP？PB,代入数值计算即可求解.【解答】解：如图,延长CP交O于D.CP ± OP,. .CP=DP .AP.AB=8 ,. .AP=AB=6 . AB、CD是O的两条相交弦,交点为 P,.PC？PD=AP？PB,- PC2=2 X 6,. .PC=2jl.【点评】此题考查了相交弦定理： 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.同时考查了垂径定理,准确作出辅助线是解题的关键.7. 如图,AB , BC, CD 分别与CDO 相切丁 E, F, G,且 AB / CD, BO=6cm,CO=8cm .求 BC 的长.DGC【分析】根据切线长定理和平行线的性质定理得到BOC是直角二角形求出BC的长.【解答】解：AB , BC , CD分别与OO相切于E, F, G; / CBO= / ABC,/ BCO=L / DCB , 22.再根据勾股定理0. AB / CD,. .ZABC+Z DCB=180 ,Z CBO+Z BCO=1 /