正弦定理教案全.

1、1.1.1正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程：一、复习引入 ：1. 在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？2.在 ABC 中，角 A 、 B、 C 的正弦对边分别是a,b,c ，你能发现它们之间有什么关系吗？结论：。二、讲授新课：探究一： 在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？直角三角形中的正弦定理：sin A =

2、 a sin B = b sin C=1即 c=abc.ccsin A sin Bsin C探究二： 能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当 ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD，根据三角函数的定义，有CDa sin B bsin A , 则ab同理，ac（思考如何作高？），从而sin A.sin AsinCabcsin Bsin AsinB.sinC探究三： 你能用其他方法证明吗？1 证明一：（等积法）在任意斜ABC当中CaSabsin Cacsin Bbc sin A .bO ABC=111222B两边同除以1 abc 即得：a=b=c.AcD2sin A

3、sin Bsin Caa2证明二：（外接圆法）如图所示， ，CD2R ，ADsin Asin D同理b=2R，c 2R.sin Bsin C3证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于 AC ，由 AC + CB = AB 边同乘以单位向量j得 .正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abcsin Asin Bsin C =2R 理解定理 1 公式的变形：(1) a2R sin A, b2R sin B, c 2R sin C(2) sin Aabc,sin B, sin C2R2R2R(3) a: b : c sinA : sin B : sin Cabaccb(4)

4、sin B,sin Csin Bsin Asin Asin C2. 正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如bsin Aa；sin B已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin Aa sin B 。b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.3. 利用正弦定理解三角形使, 经常用到 : ABCsin( AB) sin C , cos(AB) sin C S abc1 ab sin C2三、 教学例题：例 1已知在 ABC中， c10, A450 , C 300 ,求 a, b和 B .分析已知条件 讨论如何利用边角关系

5、示范格式 小结：已知两角一边解：c10, A450 ,C300 B1800( AC)1050由ac得acsin A10 sin 45010 2sin Csin Csin 300sin A由bc得csin B10 sin105020 sin 75056 52sin Bsin Cbsin 30 0sin C评述： 此类问题结果为唯一解， 学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和 180求出第三角，再利用正弦定理 .例 2ABC中， c6, A450 ,a 2,求 b和 B, C解：ac, sin Cc sin A6 sin 4503sin A sin Ca220C180 ,C 6

6、00 或1200当 C600 时， B750 ,bc sin B6 sin 75031，sin Csin 600当 C1200时， B150 , bcsin B6 sin15031sin Csin 600b31, B 750 , C 600 或 b3 1,B 150,C1200练习： P4 1.2题例 3 在 ABC中， b3, B600 ,c1,求a和A,C解：bcc sin B 1sin 6001sin B,sin C32sin Cbbc, B 600 ,CB,C为锐角， C300,B900 ab2c 22【变式】ABC中， a2, A 1350 ,b3,求B四、 小结：五、课后作业1 在

7、 ABC中，abck , 则k 为( 2A )sin Asin Bsin C1RRRRR 为 ABC外接圆半径BD()A2C422 在ABC 中，已知角 B 45， c 22, b433 ，则角 A 的值是A. 15B. 75C. 105D.75 或153、 在 ABC中, 若A30 ,B60 ,则 a : b : c1: 3:2、在ABC 中，若B60 ，b76 , a14，则 A=。45、 在 ABC中， AB6,A 30 ,B120 , 则三角形 ABC的面积为 9 35、在ABC 中，已知 a3, b2, B45 ，解三角形。六、心得反思1.1.1 正弦定理学案学习目标：发现并掌握正弦

8、定理及其证明方法；会用正弦定理解决三角形中的简单问题。预习自测1.正弦定理的数学表达式2.一般地 , 把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做.3利用正弦定理可以解决两类三角形的问题(1)(2)问题引入：1、在任意三角形行中有大边对大角， 小边对小角的边角关系 . 是否可以把边、 角关系准确量化？2ABC中，角AB、C的正弦对边分别是a,b, c，你能发现它们之间有什么关系吗？、在、结论：。二 合作探究：1、探究一： 在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？2、探究二： 能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝

9、角三角形）3、探究三： 你能用其他方法证明吗？4、正弦定理的变形：5、正弦定理的应用（能解决哪类问题）：三例题讲解例 1 已知在ABC中， c10, A450 , C300 ,求 a, b和 B例 2ABC中， c6, A450 ,a2,求 b和 B, C例 3 在ABC中， b3, B600 ,c1,求a和A,C【变式】ABC中， a2, A1350 , b3, 求B思考： 通过上面的问题，你对使用正弦定理有什么想法？四课堂练习： 必修 5 课本 P4T1、 2五课后作业：1 在 ABC中，abck , 则 k 为()sin Asin Bsin C1 RA2RBRRDR 为 ABC外接圆半径

10、)C4(22 ABC中， sin 2 A = sin2B +sin 2C，则 ABC为()ABC等边三角形D 等腰三角形3 在ABC 中，已知角 B45 ， c2 2,b4 3，则角 A的值是3A. 15B. 75C.105D. 75 或15、在ABC 中，若B60 ，b7 6 , a14，则 A=。45、在ABC 中，已知a3, b2, B45，解三角形。六 心得反思112 解三角形的进一步讨论教学目标掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种

11、类型的判定方法。教学过程. 课题导入 创设情景 思考：在ABC中，已知 a22cm， b25cm， A1330 ，解三角形。（由学生阅读课本第9 页解答过程）从此题的分析我们发现， 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 . 讲授新课 探索研究 探究一 在ABC中，已知 a,b,A ，讨论三角形解的情况分析：先由 sin Bb sin AB；可进一步求出a则 C 1800 (A B)，从而 casin Csin A1当 A 为钝角或直角时，必须ab 才能有且只有一解；否则无解。2当 A 为锐角时，如果a b ，那

12、么只有一解；3. 如果 a b ，那么可以分下面三种情况来讨论：（ 1）若 a bsin A，则有两解；（ 2）若 a bsin A，则只有一解；（ 3）若 a b sin A，则无解。（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且b sinAab 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？三例题讲解例 1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1) a 20， b 28， A 120 .无解(2) a 28， b 20，A 45；一解(3) c 54， b 39， C 115；一解(4

13、) b 11， a 20， B 30；两解 随堂练习 1（1）在ABC中，已知 a80 ， b 100，A 450 ，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若 a1， c1 ， C400 ，则符合题意的 b 的值有 _个。2（3）在ABC中， axcm ，b2cmB450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求，x 的取值范围。（答案：（ 1）有两解；（ 2） 0；（3） 2 x2 2 ）例 2.在abcABC 的形状ABC 中 ,已知cos B, 判断acos Acos C解：令k sin A ， bk sin B ， c k sin C 代入已知条件，k ，由正弦定理， 得 asin

14、A得 sin Asin Bsin C，即 tan Atan B tan C 又 A ， B ， C(0, ) ，所以cos Acos BcosCA B C ，从而 ABC 为正三角形说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断 随堂练习21. ABC中，sin 2 Asin 2 B sin 2 C ，则 ABC为（ A）A. 直角三角形

15、B.等腰直角三角形C. 等边三角形D.等腰三角形2. 已知ABC满足条件 acosA b cosB ，判断ABC的类型。答案：ABC是等腰或直角三角形 . 课时小结（ 1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（ 2）三角形各种类型的判定方法； .课后作业1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1 )、 a14 , b16,A45 ( 2 ) 、 a12 , c15,A120( 3 ) 、 a8 , b16,A30 ( 4 )、 b18 , c20,B602 在 ABC 中， a= 15,b= 10,A=60，则 cosB=A2 2B22C6 D633333 已

16、知 a,b,c分别是 ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a= 1,b= 3 , A+C =2B, 则sinC=.4 根据条件解三角形：（ ）10, A45 ,C30 ,求边a , b .1 c(2) A30 ,B120 , b12 , 求边 a , c.( 3 ) a16 , b 16 3 , A30 , 求角 B ， C 和边 c .( 4 ) b13 , a26,B30, 解这个三角形。（ ）40 , c20 ,C45 ,解这个三角形5 b，60，求a , A，C。( 6 ) c 1 b3 B六心得反思1.1.2解三角形的进一步讨论学案【学习目标】1. 掌握已知三角形的两边及其中一

17、边的对角时对解个数的讨论；2.【学习重难点】三角形各种形状的判断方法；1. 已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；三角形各种形状的判断方法。一、情景问题：我们在解三角形时可以会出现一些我们预想不到的结果，现在请大家思考下面问题：在ABC 中，已知 a22cm, b25cm, A133 ，解三角形。二、探索研究：探究一 在ABC中，已知 a,b,A ，讨论三角形解的情况结论：探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？三例题讲解例 1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1) a 20， b 28， A 120 .无解(2) a 28， b 20，A 45；一解(3) c 54

18、， b 39， C 115；一解(4) b 11， a 20， B 30；两解 变式练习1（1）在ABC中，已知 a80 ， b100，A450 ，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若 a1， c1 ， C400 ，则符合题意的 b 的值有 _个。2（3）在ABC中， axcm ，b2cmB 450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求，x 的取值范围。例 2.在ABC 中 ,已知abcABC 的形状cos Acos B, 判断cos C 变式练习21. ABC中，sin 2 Asin 2 B sin 2 C ，则 ABC为（）A. 直角三角形B.等腰直角三角形C. 等边三角形D.等腰三角形2. 已知ABC 满足条件 acosAb cosB ，判断ABC 的类型。四 .尝试小结五. 课后作业1. 根据下列条件，判断解三角形的情况(1)、 a 14 , b 16 , A 45 (2)、 a 12 , c 15, A 120 ( 3)、 a 8, b 16 , A 30 ( 4)、 b 18 , c 20 , B 602 在ABC 中， a= 15,b