正定矩阵的性质及应用

1、(1)正定矩阵的性质及应用摘要：正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回 顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。很多问题变得简单明了.正定矩阵具 其应用引起关键字： 正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一 有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类， 人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了

2、正定矩阵的一些等价条件和一些正 定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用.一、正定矩阵的定义定义1.设f（Xi, X2，,Xn）是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数G,C2,Cn都有f（G，C2,，Cn） 0,则称f（Xi,X2,Xn）是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵,简称正定矩阵.定义2. n阶是对称矩阵 A称为正定矩阵.如果对于任意的n维实非零列向量 X = f （x1,X2，xn）都有XAX :0,正定的是对称矩阵 A简称为正定矩阵.注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的 二次型及其矩阵为不

3、定.因此，二次型的正定性判别可转化为对二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有一一对应关系 称矩阵的正定性的判别.二.正定矩阵的一些性质1.正定矩阵的充分必要条（1）n元实二次型f（x,X2，Xn）正定二 它的惯性指数为n.证：设二次型f（Xi, X2,，Xn）经过非退化矩阵实线性替换成标准2 2 2f(X1,X2,，Xn) = d1y1 +d2y2 十 +dnyn由“非退化线性替换保持正定性不变”可知2 2 2f（X1,X2,，Xn）正定当且仅当d1y1 + d2y2 + d.yn是正定的？2 2 2由二次型 diyi +d2y2 + +dnyn 正定当且仅当 6 aO. i =1,2,，n

4、.因此二次型正惯性指数为 n.（2）一个是对称矩阵 A正定二A与E合同.既目可逆矩阵C,使得A=CC. 在证明此条件之前先给出一个定义及两个定理：定义：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成2 2 2Zp-Zp1- 一乙称为实二次型f （Xi,X2,，Xn）的规范形.定理：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成规范形，且规范形是唯一的.以下就是上述从要条件的证明：证：正定二次型f（X1,X2/ ,Xn）的规范形为(2)2 2 , 2y1+y2 十中 yn因此（2）式的矩阵为单位矩阵 E.所以一个是对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同n n实二次型f

5、（x1,x2- ,xn）=送S aijxixj = XtAX正定u A的顺序主子式全大于零.y j 二证：必要性：设二次型n nf (X1,X2，Xn)送 aijXji斗jrn是正定的.对于每个k，1 k 0irn jrn因此fk（Xi,，Xk）是正定的.由上面的推论，fk的矩阵的行列式aiialk0, k =1,，nak1akk这就证明了矩阵 A的顺序主子式全大于零. 充分性：对n作数学归纳法当n =1时，f(G二巧为2aii|_an 丄1于是矩阵A可以分块写成 a = Aann既然A的顺序主子式全大于零，当然A的顺序主子式也全大于零.由归纳假定， A是正定矩阵，换句话说，有可逆的n -1级

6、矩阵G使GAG = En这里En代表n -1级单位矩阵，令C1 0l01于是再令GAG =G1 1 L0C2annC2GAC1C2 二GnJGGTEnjann I 0EnJ01L 0ann s GG-C1C2 ,则 ann GGa =a，于是由条件aii 0,显然有f(xi)是正定的.假设充分性的论断对于 n -1元二次型已经成立，现在来证n元的情形.令-弘 1a1,n J.gn再取行列式C AC2C A = a，由条件,1A aO.因此a0.显然有inin这就是说，矩阵 A与单位矩阵合同，因之,亦JLA是正定矩阵,或者说，二次型由矩阵充要条件知A 0.PAP| =|P A P| =|A| P

7、S-0充分性：由 再由充要条件（5） 一个是对称矩阵 A正定H A的特征值全大于零.证:必要性：由于对称矩阵 A是正定矩阵.因为耳一个正交矩阵T,使TAT成对角型的对角线上的 元素均为正值.又由对角线的元素又为 A的所有特征值.因此A的特征值均为正数.充分性：当对称矩阵 A的特征根都为正数时，对角型矩阵TAT对角线上的元素均为正数 .因为TAT为正定矩阵，又由于 T为正交阵.所以A是正定阵.A的主子式全大于零知：3）知“充分性”成立.A的顺序主子式全大于零.（6） A、B是是对称矩阵，则 C=A 01L0 BJ正定台A、B均正定.证：必要性： 由充分必要条件（A、B因为是对称矩阵.所以C是实对

8、称矩阵.又因为C是正定的4）知：A、B均为正定的充分性：因为A、B是正定.所以3正交矩阵P、Q使得PAP、QBQ为对角阵.所以C可经合同变换化为对角型,且对角线上的元素为A、B的特征值且都大于零.所以C正定.f (X1 , X2, ,xn)是正定的.（4） 一个是对称矩阵 A正定二A的主子式全大于零 证：必要性：对A的任一 k阶主子式为：fai1i1aai1ikkAk =ai ii2i1b叽bai ii2ikbaiki1aiki2ai iikik因为IA aO，所以存在某个排列矩阵 P，使P AP的k阶顺序主子式为 人,2.性质：设矩阵 A为n阶实方阵，则下列命题等价 A是正定矩阵. A-是正

9、定矩阵.A是正定矩阵. A +A是正定矩阵.对任意n阶可逆矩阵P, PAP是正定矩阵. A的各阶主子矩阵是正定矩阵.证：= 若A是正定的，则存在实可逆矩阵C，使A = CC，因为又因为C可逆，于是C也是是可逆矩阵 所以A-也是正定矩阵.二因为A是正定矩阵，于是存在可逆A =(ccy =(c)(cy =cc所以A 是正定矩阵.=因为A是正定矩阵，于是 A = A，则A+A = 2A.又因为V X 都有XAX 0，所以2XAX 0，即X (2A)X 0所以2A正定矩阵，因此 A + A就是正定矩阵.二因为A是正定矩阵，所以V X 0.令X =PY,则有X0因此PAP为正定矩阵.二设A=(aij)n

10、n是正定的,A的任意k级主子式对应的矩阵为刚1九1弘2兀i2aiik%aikik .(bii,bi/- ,bin)7 0取设A与Ak的二次型分别为 YAY和XAX，对任意XSG, C2,0,其中 CF罕其 r，in) k=1,2n0,其匕由A正定知YAY 0,故XAX 0既XAX是正定的.因此Ak正定，所以A的各阶主子矩阵是正定矩阵.还可以由上面的充分必要条件（4）知A的各阶主子式都大于零可以推得A的各阶主子矩阵是正定矩阵.以上给出了正定矩阵的一些充分必要条件及性质， 应用.以下我们就来探讨一以下正定矩阵在一些方面的三.正定矩阵的应用（1）从二次型理论的起源， 既从化二次型曲线和二次型曲面为标

11、准形的问题入手 理论对二次型理论对二次型曲线和二次型曲线的方程的化简有着重要的意义.例1.利用直角坐标变换化简如下二次曲面的方程,我们发现二次型2 2 23x +2y +2z +2xy-8x-6y+2z+3=0,其中 X = (x, y,z),=3,1)3100L0解：作平移变换： X =丫 一 , = （%,2 ,3）则有(Y -a)A(Y -a) + 2B(Y -a ) + 3 = 0YAY -YAa -aAY +a Aa +2BY-2Ba +3 =0P =a A -2Ba +3又因为YAa =a AY,A= A，所以YAY -2(Aa -B)Y + P = 0适当的选取ot,使Aa =B

12、,由秩A =秩A =3, 知:Aa = B（线性方程组）有唯一解:12由A,ct,B 可得P = -9，又由于A是实可逆矩阵，所以存在正交矩阵T,使得2使得5-V52为A的特征根作正交线性替换 丫= TZ,Z = (Zi, Z2, Z3)，则即原方程可化简为YAY = ZiZi2222 5 + V5 ,2 5-V5 ,2+ +a3Z3=2Zi+ Z2 +Z32 2,22Z；2 +5+亦 z22 + 5亦 Z32 =02 2(2)用正定二次型的理论来判定多元函数极值存在的充分必要条件是很方便的定义1.设n元函数f(X) =(Xi，X2,Xn)在X =(x,X2，人)上Rn的某个领域内有一阶，二阶

13、Pf FfFf连续函数偏导数，记 Vf (X(,，一一)，可f(X)称为函数f (X)在点X=(Xi, X2,，Xn) cxi cX2cxn处的梯度，或记为 gradf (x).定义2.设n元函数f (X)对各自变量具有二阶连续偏导数，则矩阵fX,XifXiX2fX2XifX2X2XiXnfX2XnLfXnXiXnX2XnXn(3)当H(X0)为不定矩阵时,f (x0)不是f (X)的极值.2称作是f (X)在Pn点的黑塞矩阵.H (X)是由f (X)的n个二阶偏导数构成的 n阶方阵是对称矩阵.定理1.(极值的必要条件)设n元函数f (x)其中X = (x-i, x2, , xn)的对各自变量

14、具有一阶连续偏导数，XoNxOX；,，X0)Rn是f(X)的一个驻点，贝yf (X)在Xo=( Xi0,X0，X0)取得极值的必要条件是cf cf打，gradf (xo) =(，一)FtXi CX2CXn定理2.(极值的充分条件)设函数f(x)在点的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数，且Nf(X)_(Xo)厅(Xo)打(Xo)CX-ICX2)=0 贝y：CXn(1 )当H(X0)为正定矩阵时,f (X0)为f(X)的极小值.(2)当H(X0)为负定矩阵时,f (X0)为f(X)的极大值.2 2 2例2.求函数 f (x1, x2 ,x3 x1 +x2 +x1 +12x1X2+2X3 的极值.解：

15、因为f =3捲2 +12x1,f =2x2 +12x1，兰=2x3+2cx2cx3&1又因为cfX1=0旦=0,f =0cx2CX3得驻点 X0 =(0,0,1)Xj =(24,144,1).f (x)得各二阶偏导数为:得矩阵&1cXx2点 xi &2cx2cXx3&3f6x112乞H(X) =12202020c2f2主G 2= 2, = 0空=2丄=12在Xo点处，又得矩阵 H(Xo)-12L21220,而H(X0)的顺序主子式det Hr =0, detH 2 =012122= -1440,detH3 =1520,detH212144122= 144 A0,detH3 =122020214

16、412=280 02-1/为极小值点.极小值故H(X1)为正定矩阵.X1 =(24, 144,f(X1)= f(24,-144,-1) =-6913例3.正定矩阵与柯西不等式i #我们学过柯西不等式的表达式为Z xy兰k X2 k yi2 .同时，也可将其用内积的形式来表示ViV 7冋勻叫设矩阵Aufejj )是一个n阶正定矩阵，对任意向量a =(X1,X2,-,X3), P = (y1, y2,，y3)n n我们定义a =2； Z BijXiVj ,从中我们可以看出这是n维向量的内积.相反，我们可以得出，对于 ni =0 j=0维向量的任意一种内积，一定存在一个n阶正定矩阵A = (aij

17、)使得对任意向量a和P可以n nCt P =X Z aij Xi Yj来定义.因此，给定了一个i 卫 j=0n阶正定矩阵，在n维向量间就可以由这个矩阵定义一个内积，从而可以得到如下相应柯西不等式:n无 SijXiVji=0证明：不等式2(X1% 十紬2 +X3y3)Xiy2 X2y3 X3y2 X3yi0,= 30,-12-1-120-12=4 0因此矩阵A是正定矩阵，所以该不等式是由正定矩阵 立.从该例题中也可将不等式推广为：A所确定的内积产生的柯西不等式，既不等式成nn 4亞 Xi%(Xiyi+Xi+yi)i zti zt兰2E Xi2-送 XiXi +Js yi2-送 yyhI i i Vim其中n亡N ,Xi,yi(i=1,2,n)是任意实数四.结束语本文针对正定矩阵有了深刻的理解 . 本文探讨了矩阵的各类性质及在不等式、多元函数极值问题中的 应用 . 作为在矩阵中占有特殊地位的正定矩阵，其应用的范围也更加广泛，但由于本人目前能力有限， 待做深入研究 .参考文献：1. 王萼芳、石生明，高等代数 M. 北京：高等代数出版社 .2003.205-236.2.