湖北师范学院《高等几何》期末

1、实用标准文案高等几何试题（）1.试确定仿射变换， 使 y 轴， x 轴的象分别为直线xy10 ， xy10 ，且点（1，1）的象为原点 .( 15 )2. 利用仿射变换求椭圆的面积 .( 10 )3.写出直线 2x1 + 3x2 - x3 =0, x 轴 , y 轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.( 10 )4. 叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )5.已知 A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7), D (6,1,5), 验证它们共线 , 并求 ( AB,CD ) 的值 .( 8 )6.设 P1 (1,1,1),P2 (1,-1,1),P4 (1,0,1)

2、为共线三点 , 且 ( P1 P2 , P3 P4 )=2, 求 P3 的坐标 .( 12 )7.叙述并证明帕普斯(Pappus) 定理 .( 10 )8. 一维射影对应使直线l 上三点 P (-1),Q (0),R (1) 顺次对应直线l 上三点 P (0),Q (1),R (3), 求这个对应的代数表达式.( 10 )9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 )高等几何试题（）1. 求仿射变换x7 xy1, y4x2 y4 的不变点和不变直线. (15 )2. 叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )3.求证 a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3

3、,0,-5)共线 , 并求 l 的值 , 使cila imbi (i 1,2,3). ( 10 )4.已知直线 l1 , l 2 ,l 4 的方程分别为 2x1 x2x3 0 ， x1 x2 x30 ，x10 ，且 (l1 l2 ,l 3l 4 )2l 2 的方程 .( 15 )，求35. 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 )6. 试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应. (10 )7. 求两对对应元素 , 其参数为 11,02, 所确定对合的参数方2程.(10 )8. 两个重叠一维基本形AB, AB 成为对合的充要条件是对应点的参数与满足以下方程:ab(

4、)d0(adb 20) ( 15 )高等几何试题（）精彩文档实用标准文案1.求仿射变换x7xy1, y4x2 y4 的不变点和不变直线. (15 )2. 求椭圆的面积 .( 10 )3. 写出直线 2x1 + 3x2 - x3 =0, x 轴 , y 轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.( 10 )4. 叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )5.已知直线 l1 ,l 2 , l 4 的方程分别为 2x1x2 x3 0 ， x1 x2 x30 ，x1 0 ，且 (l1l 2 ,l 3l 4 )2，求 l 2 的方程 .( 15 )36.在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这

5、个射影变换一定是对合.( 15)7. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系, 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 20 )2005 2006 第二学期期末考试试题高等几何试题（ A）一、 填空题（每题3分共 15分）1、是仿射不变量，是射影不变量2、 直线 3x y0 上的无穷远点坐标为3、 过点（ 1,i,0）的实直线方程为4、 二重元素参数为2 与 3 的对合方程为5、 二次曲线 6x2y2 11y 240 过点 P(1,2) 的切线方程二、 判断题（每题2分共 10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形（）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、一个角的内外角平分

6、线调和分离角的两边（）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集（）5 、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线（）三、 (7分 ) 求一仿射变换，它使直线x 2 y 1 0 上的每个点都不变，且使点（1,-1 ）变为（ -1 ， 2）四、（ 8分）求证 : 点 A(1,2, 1), B(1,1,2), C(3,0,5) 三点共线，并求 t , s使 citaisbi ,(i1,2,3)五、 (10分 ) 设一直线上的点的射影变换是x/ 3x2 证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一x4对对应点的交比为常数。六、（ 10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。

7、七、（ 10分）精彩文档实用标准文案（ 1）求点（ 5， 1， 7）关于二阶曲线2 x123x22x3 26 x1x22x1x34 x2 x30 的极线（ 2）已知二阶曲线外一点 P 求作其极线。（写出作法，并画图）八、（ 10 分）叙述并证明德萨格定理的逆定理九、（ 10 分）求通过两直线a1,3,1, b1,5,1 交点且属于二级曲线4u12u2 22u320 的直线十、（ 10 分）已知A, B, P, Q, R 是共线不同点，如果 ( PA, QB)1,( QR, AB)1,求( PR, AB)高等几何试题（ B）一、 填空题（每题 3 分共 15 分）1、 仿射变换x/7 xy1 的

8、不变点为y/4x2 y42、 两点决定一条直线的对偶命题为3、 直线 i ,2,1-i上的实点为4、 若交比 ( AB,CD )2 则 (AD,BC)5、 二次曲线中的配极原则二、判断题（每题2分共 10分）1、不变直线上的点都是不变点（）2、在一复直线上有唯一一个实点（）3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应（）4、射影群仿射群正交群（）5 、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数（）三、(7 分)经过 A( 3,2)和B(6,1) 的直线 AB 与直线 x 3y 60 相交于 P ，求 (ABP)四、（ 8 分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群

9、五、（ 10 分）已知直线L1, L2 , L3 , L4 的方程分别为： 2xy10,3 xy20,7 xy0,5 x10求证四直线共点，并求(L1L2 , L3L4 )六、 (10 分)利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点七、（ 10 分）求（ 1）二阶曲线222过点 P(2,5的切线方程x12x23x3 x1x3 0,1)2精彩文档实用标准文案（ 2）二级曲线 u12u22 17u320在直线 L1 ， 4， 1上的切点方程八、（ 10 分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）九、（ 10分）已知二阶曲线（C）： 2x 24x x6x xx20

10、112133（ 1）求点 P(1,2,1) 关于曲线的极线（ 2）求直线 3x1 x26x3 0 关于曲线的极点十、（ 10 分）试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束高等几何试题（ C）一、填空题（每题3分共 15分）6、 直线 x y20 在仿射变换x/2xy1下的像直线y/xy37、 X 轴 Y 轴上的无穷远点坐标分别为8、 过点（ 1,-i ,2）的实直线方程为9、 射影变换'230自对应元素的参数为10、二级曲线 u12u22 17u320 在直线上 1,4,1的切点方程三、 判断题（每题2分共 10分）1、仿射变换保持平行性不变（）2、射影对应保持交比不变

11、，也保持单比不变（）3、线段中点与无穷远点调和分离两端点（）4、 如果 P 点的极线过 Q 点，则 Q 点的极线也过P 点（）5 、不共线五点可以确定一条二阶曲线（）三、 (7分 )已知 OX 轴上的射影变换x'2 x1 ，求坐标原点，无穷远点的对应点x3四、（ 8 分）已知直线 a,c, d 的方程分别为2 x1x2x3 0, x1x2 x3 0， x120 且 (ab, cd )求直线 b 的方程。3五、（ 10分）已知同一直线上的三点A, B, C 求一射影变换使此三点顺次变为B, C , A 并判断变换的类型，六、（ 10 分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。x1'

12、;x1x2七、（ 10 分）求射影变换x2 'x2的不变点坐标x3 'x3八、（ 10 分）叙述并证明帕斯卡定理精彩文档实用标准文案九、（ 10 分）求通过两直线a1,3,1, b1,5,1 交点且属于二级曲线4u12u2 22u320 的直线十、（ 10 分）试证: 双曲型对合的任何一对对应元素PP' , 与其两个二重元素E,F调和共轭即( PP' , EF )=-1 参考答案 高等几何标准答案（ A）一、填空题：（每空 3 分共 15 分）1 、单比，交比2、（ 1,-3,0） 3、 x3 04、 2'5(')1205 、 12x 7x226

13、x013二、判断题（每题2分共 10分）1 、错， 2、错， 3、对， 4、错， 5、对三、解：在直线x2 y10 上任取两点 A(1,0), B(1,1)2分由 A(1,0)A(1,0), B(1,1)B(1,1),(1,1)(1,2)设仿射变换为x'a11 xa12 ya13将点的坐标代入可解得y'a21 xa22 ya23x'2x2 y1y'3 x2 y37分22121四、证明：因为1120所以三点共线4分305由： ts3,2 ts 0,t2s5解得 t1, s2所以ciai2b1,( i1,2,3)8分五、证明：令 x''3x2得 x2

14、x 20解得 x11, x22x由 xx4即有两个自对应点4分设 k 与 k '3k2对应，有 (1)(2), kk ' )5为常数10分k42注：结果有 2 也对，不过顺序有别。5六、证明：设两直线为：a : yk1xb1 ,b : yk2 xb2精彩文档实用标准文案相似变换为：xa x'by 'ca2b20ybx'ay'd将变换代入直线a 的方程得： k1' k1 ab同理可得 k2'k 2 a b5 分ak1ba k2bk2'k1'k2k1即 tana,btana' , b'1 k2 '

15、;k1'1 k2k1即两直线的夹角是相似群的不变量10分七、解：（ 1）设（ 5， 1， 7）为 P 点坐标，二阶曲线矩阵为231A=332121所以点 P 的极线为 SP=0即 SP(5,1,7)231x10 得 x332x2=05分2121x3（ 2）略八（在后边）九、解：通过直线a1,3,1,b1,5,1 的交点的直线的线坐标为1k,35k,1k2分若此直线属于二阶曲线则有4(1k )2(35k) 22(1 k)20即 27k 242k11 0解得 k1 , k1110分39十、解：设 PAk1 B,QAk2 B, RAk3 B( PA, QB)得1(PQ, AB)1, ( PA

16、, QB)由( PQ, AB)2k1 , k12k2( AB, PQ)k2由 (qr , ab)1,得( AB, QR)k21k3k2k3所以 (PR, AB)( AB, PR)k1210分k3精彩文档实用标准文案八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。4 分证明 ;如图三点形ABC与 A1B1C1 的三对应边交点L,M,N 共线，证明对应顶点连线共点, 考虑三点形BLB1与 CMC1则有对应顶点连线共点N ，故对应边的交点A,A 1,0 共线OABCLMNB1C1A1高等几何标准答案（ B）一、填空题：（每题 3 分共 15 分）1 、 (1 , 2)

17、 , 2 、两条直线确定一个交点，3、 (2,-1,2)4 、 125 、如果 P 点的极线过点 Q 则 Q 点的极线也过P 点。2二、判断题：（每题 2 分共 10 分）1 、错， 2，对，3 、错，4 、对，5、对三、解：过 A, B 的直线方程为： x9 y 1502分直线 AB 与 x3y60的交点为 P(3,3)4分22所以(ABP)17分四、证明：设平移变换的表达式为T:x'xay'yb设任意两个平移变换为：x x a1x'x a2x'x a1a2仍为一个平移变换4 分T1, T2y b2则 T2T1 :y b1b2y y b1y'y'

18、;又对任意变换 T:xx'a 则 T 1:x'xa 也是一个平移变换yy'by'yb所以平移变换的集合关于变换的乘法构成群。8分精彩文档实用标准文案五、解：方程转化为齐次坐标形式：2x1x2x30,3x1x22x30,7 x1 x2 0,5x1 x302分2113123120且 7100 所以四直线共点。6分710501因为： L32L1 L2 ,L4L1 L2所以： ( L2L1, L3L4 )2故 ( L1L2, L3L4)110 分2六、证明：如图AGDHPRMCBE考虑三点形PEH 与 RGM 则 GH 平行 BC ， RM 也平行 BC 所以 GH 与

19、 RM 相交于无穷远处。 同理 HE与 GM , PE 与 GR 相交于无穷远处。故共线。有的萨格定理，三点形对应顶点连线共点。即PR,GE , HM相交于一点。10分七、（ 1）因为点 P 在二阶曲线上，所以切线方程为：101x125 ,1)S P= (2,020x23x1 2 10x2 4x305分21x3032（ 2） 因为直线 1 ， 4， 1在二级曲线上所以切点方程为100u1u14u2 17u3 0TL=(1,4,1)010u210分0017u3八、证明：（ 1）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应线的交点在一条线上。3分（ 2）如图O精彩文档AB实用标准文案因为 OAA

20、共线，所以 OkA k A111同理 O mB m1B1 ,O nC n1C1故有 kA k1 A1(mBm1B1 )0 即 kA mB m1B1k1 A1L同理 mB nC (m1 B1n1C1 ) M nC kA (n1c1k1 A1 ) N三式相加得 L MN0 所以三点共线。10分九、解：(1)P 点的极线为：223x1SP=(1,2,1)200x29x 1+2x2+4x3=05分3 0 1 x3（ 2）设直线的极点为 (a,b, c) 则有223a31, 6)200b1 解方程组可得极点 (2,10分301c62十、证明：如图ABCD 为圆内接正方形，P 为圆上任意点。因为 ADAB

21、 所以 PA 为角 DPB 的平分线。AD同理可证明 PC 是角 EPB 平分线。 即 PA, PC 是角 DPB 的内外角平分线。所以直线 PD, PA, PB, PC 构成调和线束 。P10 分C精彩文档EB实用标准文案高等几何标准答案（ C）一、填空题： ( 每题 3 分共 15 分)1 、 2x'y'102 、（ 1， 0， 0），（ 0， 1， 0）3 、 2x1x304 、-1 ，35、 u14u217u30二、判断题：（每题2分共 10分）1、对，2、错， 3、对， 4、对， 5、错三、解：变换化为齐次坐标形式：x1'2x1x23分x2'x13x2

22、将坐标原点（0， 1），无穷远点（1， 0）代入得对应点分别为：（ -1 ， 3）和（ 2， 1）7分四、解：由题意得dac设 bakc则(ab, cd )k3分而 (ac, bd )1( ab, cd )1(2 )5所以 k5333b 2x12x2x35 ( x1x2x3 ) 03整理得： 11x2x22x308分1五、解：在直线上建立适当坐标系使A, B, C 的坐标分别为A(0,1), B(1,1),C (1,0)3分则有A(0,1)B(1,1), B(1,1)C (1,0), C (1,0)A(0,1)设变换为x1'a11 x1a12 x2将坐标代入可求得x2 'a21 x1a22 x2x1'x27分x2'x1x2非齐次形式为：xx 'x'10因方程x2x 10 无实数解所以变换是椭圆形。10分六、证明：设两直线为： a : yk1x b1 ,b : yk2 xb2相似变换为：xa x'by 'ca2b20ybx'ay'd精彩文档实用标准文案将变换代入直线a 的方程得： k1'k1ab 同理可得 k2'k 2 ab5分ak1bak2bk2'k1'k2k1即 tana, b tan a' , b'即两直线的夹角