第八章 曲线积分与曲面积分

1、第八章曲线积分与曲面积分本章是把定积分概念推广到定义在曲线是的函数和定义曲面上的函数上去，就得到曲线积分和曲面积分。§1对弧长的曲线积分问题：设有一曲线形构件占面上的一段曲线，设构件的质量分布函数为，设定义在上且在上连续，求构件的质量。定义：设为平面上的一条光滑的简单曲线弧，在上有界，在上任意插入一点列，把分成个小弧段的长度为，又是上的任一点，作乘积，并求和，记，若存在，且极限值与的分法及在的取法无关，则称极限值为在上对弧长的曲线积分，记为：，即。其中叫做被积函数，叫做积分曲线。对弧长曲线积分的存在性：设在光滑曲线上连续，则一定存在。对弧长曲线积分的性质：1、2、3、设，则这里规定：

2、若是封闭曲线，则曲线积分记为有上述对弧长的曲线积分，则上面的问题就可以用对弧长的曲线积分表示为对弧长的曲线积分的计算法：在一定体积下化为定积分计算，首先要注意：1、定义在曲线上，2、是弧长微分。定理：设在光滑曲线上连续，由参数方程给出，其中、在上具有连续导数且，则存在，且：。若方程为：，则。若方程为：，则例1、计算，其中：例2、计算，其中：从到的弧。例3、计算，其中：例4、计算，其中是以，为顶点的三角形的边界。对空间曲线有着类似的定义和计算公式。若的方程由参数方程给出：则例5、计算，其中：例6、设：与的交线。求。例7、螺旋线方程为，在其上分布有密度为的质量，求其对轴的转动惯量。§2对

3、面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质问题：设有一构件占空间曲面，其质量分布密度函数为，求构件的质量。处理问题的思想方法类似于分布在平面区域的质量问题。定义：设为光滑曲面，函数在上有界，把任意地分成个小曲面，在每个小曲面上任取一点作乘积，并求和，记的直径，若存在，且极限值与的分法及在上的取法无关，则称极限值为在上对面积的曲面积分，记为：，即。其中叫做被积函数，叫做积分曲面，称为面积元素。对面积的曲面积分的存在性：若为光滑曲面，在上连续，则一定存在。有了这个定义，分布在上的质量为：当时，的面积。当为平面上的区域时，即是上的二重积分，性质：对面积的曲面积分是二重积分的推广，所以二重积分的性

4、质都可推广到对面积的曲面积分上去。特别是，则二、对面积的曲面积分的计算法：在讨论的计算法之前，注意到：1、是光滑或分片光滑，在上连续。2、是定义在上，即点应在上变动，应满足的方程。3、是曲面上的面积元素。设的方程为，在平面上的投影区域是有界闭区域，在上具有连续的偏导数，于是，上的点为则存在，且：。即若的方程为，计算时，只要把换为，用的方程为代入，在的投影区域上计算二重积分。例1、计算，为平面位于第一卦限部分。例2、计算，为立体的边界曲面。若光滑曲面的方程为(或)，在(或)平面上的投影区域为(或)这时对面积的曲面积分可化为：或。例3、计算，其中为界于与之间。例4、设一质量沿曲面分布，其密度函数为

5、，试用对面积的曲面积分表示：1)总质量，2)静力矩，3)重心坐标，4)关于坐标轴、坐标面的转动惯量。§3对坐标的曲线积分一、概念与性质变力沿曲线作功问题：设一质点在平面内受到变力作用从A点沿光滑曲线移动到B点，求变力所作的功。定义：设是平面上的一条光滑有向曲线弧，、在上有界，用上的点，把分成个小有向弧段，设，又是上的任一点，作乘积，并求和，记，若存在，且极限值与的分法及在的取法无关，则称极限值为在上对坐标的曲线积分，记为：，即。同理定义为在上对坐标的曲线积分。、称为被积函数，叫做积分曲线。上述定义可推广到空间曲线的情形：，。应用中常遇到，这时简记为对坐标曲线积分的存在性：设有向曲线光

6、滑，、在上连续，则、一定存在。对坐标曲线积分的性质：二、对坐标曲线积分的计算法：定理：设、在光滑的有向曲线弧上有定义且连续，的参数方程为：。当参数从单调变到时，动点从的起点沿运动到的终点，、在为端点的区间上连续且具有连续导数，且，则一定存在，且：注意：1、定义在上，同对弧长的线积分类似，要用曲线方程代入。2、对坐标的曲线积分与曲线的起点和终点有关，故积分只能从起点的参数到终点对应的参数积分，不论参数的大小如何。3、若曲线弧的方程由或给出，只要把之看为参数方程就可以计算。例1、计算，其中为：1)沿曲线从到的一段弧。2)沿从经到的折线段。例2、计算，其中为：从沿曲线到。例3、计算，其中为：1)抛物

7、线从到的一段弧。2)抛物线从到的一段弧。3)沿从经到的折线段。对坐标的曲线积分的计算法可直接推广到空间曲线的情形.例4、计算，为：，t从0变到1的一段弧。例5、计算，为：()，的交线。解：，三、两类积分之间的联系设参数方程，起点和终点所对应的参数分别为和，、在为端点的区间上具有连续导数且，且、在上连续，则：又有向曲线的切向量的方向余弦为：，于是从而有例1、把化为对弧长的曲线积分，其中为沿抛物线从到的一段弧。解：，起点为，终点为，原式。§4格林公式一、格林公式1、 单连通区域：设为平面区域，若内任一条闭曲线所围的区域都属于，则称为单连通区域，否则为复连通区域。2、 区域边界正向：设区域

8、的边界曲线为，规定的正向为：当人行走时，区域靠近边界部分在其左侧，则该方向为的边界曲线的正向。3、 设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数、在上具有连续的偏导数，则：其中为边界的正向。例1、计算，其中是以，为顶点的三角形的边界正向。例2、计算，其中为不过原点的任一光滑的闭曲线的正向。例3、计算，为上半圆周从到。例4、计算，为以，为顶点的三角形。利用曲线积分可求闭曲线所围区域的面积。例5、求由及所围图形的面积(第一象限部分)。二、平面曲线积分与路径无关的条件1、 曲线积分与路径无关设为开的单连通域，、在内具有一阶连续的偏导数，、是内的任意两点， 、是内从到的任两条有向曲线，若恒有：则称曲线积分在内与

9、路径无关。结论：曲线积分在内与路径无关在内沿任一条闭曲线积分为0。设为开的单连通域，、在内具有一阶连续的偏导数，则沿内任一条闭曲线积分为0的充要条件是例1、计算，其中为过，的圆弧。例2、计算，其中为沿从到。三、二元函数的全微分求积对式子：，若存在某个函数使即，则称是某个函数的全微分。、要满足什么条件时才是某个函数的全微分？定理：设为开的单连通域，、在内具有一阶连续的偏导数，则在内为某个函数的全微分的充要条件是在内恒成立。由定理知：在内为某个函数的全微分，与路径无关，当起点固定，是终点的函数，记为这时也称是的一个原函数。求原函数的一个方法：例1、验证在平面上是某个函数的全微分并求其一个原函数。例

10、2、计算为开的单连通域，、在内具有一阶连续的偏导数，则下列四个命题等价：1、在内与路径无关。2、沿内任一条闭曲线。3、在内为某个函数的全微分。4、在内恒成立。§5对坐标的曲面积分一、概念与性质1、 双侧曲面，有向曲面能区分出曲面的侧的曲面叫做双侧曲面，通常遇到的曲面都是双侧曲面，例如由方程表示的曲面有上下侧之分，由方程表示的曲面有前后侧之分，由方程表示的曲面有左右侧之分，封闭曲面有内外侧之分。一般地：在上任取一点，当该点在上连续运动不经过边界而回到原来位置，其法向量也回到原来位置，这个曲面就叫双侧曲面。对坐标的曲面积分需要对曲面规定方向，也叫做指定曲面的侧，而指定曲面的侧通常是规定曲

11、面上法向量的指向。如：所表示的曲面，如果取它的法向量指向朝上，即与轴正向夹角，这时就认定曲面取上侧，若的指向朝下，就认定曲面取下侧。这种规定了曲面上法向量指向，即选定曲面的侧的曲面叫做有向曲面。2、 有向曲面的投影设为有向曲面，在上取一小块有向曲面，把投影到平面得到一平面区域，其面积为，假定上各点处的法向量与轴正向夹角的余弦保持确定的符号，即都为正或都为负，则规定在平面上的投影为：在面上的投影实质上就是在面上的投影区域的面积再附上一定的符号。类似可定义在、面上的投影。3、 设稳定流动不可压缩流体的速度场由表示，为场中的一块有向曲面，函数都是是的连续函数，求单位时间内流向指定一侧的流量。因区域不

12、是平面区域而是曲面，流速不是常量，所以不能用初等方法，但是，上面引出各类积分概念一再使用过的方法可用来解决目前的问题；分割：任取上的一小块有向曲面，近似代替：，求和：，取极限4、对坐标曲面积分的定义设为光滑的有向曲面，函数在上有界，把任意地分成个小曲面，在平面的投影为，在每个小曲面上任取一点作乘积，并求和，记的直径，若存在，且极限值与的分法及在上的取法无关，则称极限值为在上对坐标的曲面积分，记为，即。其中称为被积函数，称为积分曲面。同理可定义。应用上出现较多的是：的情形一般上式简记为若是封闭曲面，则在上对坐标的曲面积分记为：对坐标的曲面积分的存在性：若光滑，函数、在上连续，则、在上对坐标的曲面

13、积分都存在。5、 性质：与对坐标的曲线积分类似。1)若,则2)设的反侧曲面记为，则：其他几个积分类似。上述的性质说明：对坐标的曲面积分不仅与被积函数有关，与积分曲面有关，还与曲面的方向有关。二、对坐标曲面积分的计算：首先注意：1)被积函数定义在上，点在上变动，要满足的方程。2)是有向小曲面在面上的投影的象征，同理，是有向小曲面在坐标面的投影元素，由正负之分。设：取上侧，在面上的投影区域为上，在上有连续的偏导数，在上连续，则：若取下侧，则同理：设：，在面上的投影区域为，则：其中取前侧取+，取后侧取。设：，在面上的投影区域为，则：其中取右侧取+，取左侧取。例1、计算，其中为球面，的外侧。原式例2、

14、计算，其中是，及三坐标面围成的第一卦限立体曲面的外侧。三、两类曲面积分之间的联系设的方程为，在平面上的投影区域为，在上连续，在上连续，则有：由于取上侧，与轴正向夹角：，若取下侧，则有：，而此时， 所以有：同理：从而得两类曲面积分之间的联系：其中：，是上任一点的法向量。例3、计算，为：在平面上方部分的上侧。解：的方向余弦为：，原式。§6高斯公式、通量散度一、高斯公式格林公式揭示了平面区域上的二重积分与区域边界正向曲线上对坐标的曲线积分之间的关系，在空间区域上的三重积分与边界上 对坐标的曲面积分之间有类似的关系。定理：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面围成，函数、在上具有一阶连续的偏导数，

15、则有：其中为的边界曲面的外侧。例1、 计算，其中是，及三坐标面围成的第一卦限立体曲面的外侧。例2、计算，其中为的内侧。例3、计算，其中为绕轴旋转一周所成的曲面的外侧。例4、计算，其中为：，围成的区域边界的外侧。应用高斯公式计算对坐标的曲面积分有三点优点：1、对坐标的曲面积分化为三重积分时，曲面取外侧，省去直接计算时化为二重积分时确定符号的麻烦。2、一般比、简单，故积分也简单。3、三重积分计算方法比较灵活，可采用不同的坐标系计算积分。应用高斯公式计算对坐标的曲面积分有注意：1、是闭曲面。若不是闭曲面，可采用补上若干块曲面后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面构成外侧或内侧。2、也可用高斯公式。二

16、、沿任意闭曲面积分为零的条件定理：设是空间二维单连通区域，、在内具有一阶连续偏导数，则曲面积分：在内沿任一闭曲面的曲面积分为零或在内与所取曲面无关而只取决于的边界曲线的充要条件是：在内恒成立。例5、计算，其中为曲线绕轴旋转一周所成的曲面的外侧。三、通量与散度高斯公式的物理意义：设稳定流动不可压缩的流体的速度场由确定，场中的有向光滑曲面上点的单位法向量，则在单位时间内流过指定一侧的流体的总质量（流量）为： 若是闭域的边界的外侧，则：公式左边是流体在单位时间内离开区域的流体的总质量，由于假定流体是不可压缩三，因此在流体离开的同时，内部必须有产生流体的源头产生同样多流体补充，所以高斯公式的右端不是分

17、布在内的源头在单位时间内所产生流体的总质量。高斯公式两边同除以的体积左边利用中值定理，令缩向一点，取极限得：左边的表达式叫做在的散度，记为，即有散度高斯公式可改写为：例、，求§7斯托克斯公式、环流与旋度一、Stokes公式：定理：设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界曲线的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手法则，函数P、Q、R在包含在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有若是xOy面上 得到有向闭曲线，则上式就是格林公式。例1、计算，其中为，的交线从x轴正向看去为逆时针方向。例2、计算，其中：()从x轴正向看去为逆时针方向。三、环流与旋度设，分别是曲面上的单位法向量及曲面

18、的边界曲线上的单位切向量，则Stokes公式可化为：设，则上式可改写为：上式表示与有关系：设，若存在向量使之在坐标轴的投影分别为：，则称为的旋度，记为即有了旋度，Stokes公式可改写为：其中叫做向量场沿的环流。旋度的计算公式：例2、 设，求。曲线积分与曲面积分补充例题1、 计算，其中：，围成的第一象限区域的边界。 ()2、，是摆线: ,的一拱。，。3、，为与的交线。交线，4、，是双纽线：一周。由对称性，只要计算第一象限的积分。，5、计算，为半球面：。由对称性知：，：，。6、计算，为被所割下的部分。在面的投影为：，。对坐标的曲线积分1、，其中是摆线: ,按顺时针方向。解：。2、计算，为与，的交线沿正向。：，起点，终点，原式。3、计算，是从到的直线段。解：积分曲线，于是在上原式。4、，为，围成区域边