数学物理方程期末试卷

1、实用标准2012 学年第二学期数学与物理方程期末试卷出卷人：欧峥、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为Asin t 的力的作用，右端1系在弹性系数为 k 的弹性支承上面；初始位移为(x), 初始速度为( x).试写出相应的定解问题。 (10 分)2、长为 l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为 0 度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是x(lx) ，试写出其定解问题。 (10 分 )23、试用分离变量法求定解问题(10 分 ) ：u2 u2 ,0x 4, t0txu x 00,u x 40,u t 02x.4、分离变量法求定解问题(10

2、分)utt a2uxxsin2xcos2x,(0x l, t 0)llu(0, t )3, u(l ,t)6u( x,0)3x,ut ( x,0)sin41xll5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10 分) ：2 ua 22 ut2x2uxat0(x)uxat0(x).(0)(0)文案大全实用标准6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10 分）2ua22ucosx,x,t 0t 2x2uu tsin 2x,00t 0t7、用积分变换法求解定解问题（10 分）：2u1, x0, y0x yuux 0 y 0y 1,1,8、用积分变换法求解定解问题(10 分 )

3、 ：2utta uxx , xR,t09、用格林函数法求解定解问题(10 分 ) ：2u2ux2y20,y0,u y 0f ( x) ,x.10、写出格林函数公式（三维）及满足的条件，并解释其物理意义。(10 分)文案大全实用标准考试内容分析 用数理方程研究物理问题的一般步骤；数理方程的建立 ( 导出 ), 包括三类典型方程的建立 ( 导出 ) 推导过程。这里的1,2 两道题就是考察学生在实际物理背景下能否写出定解问题。 这些定解问题并不复杂， 主要就是让学生了解一下。 3,4 两道题主要考察分离变量法的精神、解题步骤和适用范围。第3 题是最基本的分离变量法的运用，分离变量法的主要思想:1 、

4、将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1 个自变量的常微分方程；2、运用线性叠加原理， 将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程； 3、利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解； 4、最后将这些通解“组装”起来。第 4 题是非齐次方程，主要考察学生对非齐次方程的处理能力。 5，6 两道题是考察行波法。第 5 题就是书本中一维波动方程的 D'Alembert 公式的推导，是最最基础的东西，在这里考察学生平时的基础，题目不难但是能很好的考察学生对行波法的理解。 第 6 题考察了 D'Alembert 公式的应用，同时又因为方程

5、式非齐次的，也考察了方程的齐次化。第 7,8 两道题是对积分变换法的考察。第 7 题是对拉普拉斯变换的考察拉普拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换；利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反变换。第 8 题主要考察傅里叶变换的基本定理及其性质。 9,10 两道题是考察格林函数法。第 9 题有些难度，是一道二维拉普拉斯的狄利克雷问题，主要考察对第二格林公式的理解及其应用。 第 10 题看似比较简单，但是也是大家比较容易忽略的问题，不一定能将其完整的解答。这里还要求你写出其物理意义，意图当然不言而喻了，就是想体现数学物理方程这门课的意义 , 将数

6、学与物理结合起来， 了解古典方程的类型， 明白其物理意义和现象。文案大全实用标准答案及分析1、解 :这是弦的自由振动，其位移函数u( x, t) 满足utt a2 uxx ,（2 分）其中 a2T . 由于左端开始时自由，以后受到强度为Asin t 的力的作用，所以ux (0,0)0,Tux (0, t) A sin t 0,t0,因此Asin t（2 分）ux (0, t ), t 0.T又右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面，所以Tux (l ,t )ku(l,t)0, 即 Tux (l , t )ku(l ,t)而初始条件为u t0( x), utt 0( x).因此，相应的定解问题为u

7、tt a2 uxx,0 xl , t0,ux (0, t)Asint , Tux (l ,t )ku (l , t )0,t0.Tu t 0(x), ut t 0(x).2、解：侧面绝热，方程为uta2uxx ,0xl , t0边界条件为u x 00, ux x lq ,t 0k初始条件为ut 0x(l x) ,0x l2因此，相应的定解问题为：ut a2uxx ,0 x l ,t 0u x 00, ux x lq ,t 0ku t 0x(l x) ,0xl20. （2 分）（2 分）（2 分）（3 分）（3 分）（3 分）（1 分）文案大全实用标准3、解令 u( x,t)X ( x)T (t

8、 ) （ 2 分），代入原方程中得到两个常微分方程：T '(t )T (t )0 ， X '' ( x)X ( x)0（2 分），由边界条件得到 X (0)X (4)0 ，22n220 时才有非零解， 令42 为对的情况讨论，只有当，得到X n( x)Bnsin nn22t(1 分) ，再解 T(t) ，得到 Tn (t);16特征值，特征函数4Cn e（2n 2 2 tsin nx ,u( x, t)(Cn e16分），于是n 14（ 1分）再由初始条件得到C n24n161)n142x sinxdx(（ 104n分），所以原定解问题的解为16n 2 2 tu( x,

9、 t)( 1) n 1 e 16n 1nsin n x ,4 （1 分）4、解：令 u( x, t) V (x,t ) W (x)（1 分）将其代入定解问题可以得到：Vtta2Vxx ,(0xl ,t0)V (0, t)0,V (l ,t )0.(1)V ( x,0)3 1xW ( x),Vt ( x,0)sin 4xlla2W (x) sin 2x cos 2x0ll(2)W (0)3,W (l )6l2sin 4 x 3 1x(2) 的解为： W( x)2232all对于 (1)，由分离变量法可得一般解为（1 分）（1 分）（2 分）V ( x,t)an cos n atbnsin n a

10、tsin n x（2 分）n 1lll由初始条件可求得：V ( x,t)l 24al4 at4 x分)322a2 costsinsin(2l4 all文案大全实用标准所以，原定解问题的解为：l22 cos 4a tlsin 4 atsin 4 xl2sin 4 x 3 1xu( x, t)2a2a232l4 all32ll(1分)5、解： u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)（2 分）令 x-at=0得(x) =F（0）+G（ 2x）（2 分）令 x+at=0得(x) =F（2x） +G(0)（2 分）所以 F(x)=( x ) -G(0). G（x）=( x ) -F(0).（2 分

11、）22且 F（ 0） +G(0)= (0)(0).（1 分）所以 u(x,t)=(x at ) +( xat ) -(0).（1分）22即为古尔沙问题的解。6、解令 u( x, t )v(x, t )w( x) (1分 ) ，代入原方程中，将方程齐次化，因此2 va22 vw''( x)cos xa2' '( x)cos x0w( x)1cos xt22wa2(2 分) ，再求x2 va22 v0t2x2,tvsin 2x12cos xw(x),v0,定解问题t 0att 0(2分) 由达朗贝尔公式得到以上问题的解为v( x, t)1 sin 2( xat )1

12、2 cos(aat )sin 2( xat )12 cos(xat )02aasin x cos at1cos xcos ata 2(4 分)故u( x, t)sin x cos at1cos xcos at1cos x.a 2a2(1分 )7、解 对 y 取拉普拉斯变换 Lu(x, y)U ( x, p)(1 分 ) ，对方程和边界条件同时对文案大全实用标准p dU1 ,U x 011y 取拉普拉斯变换得到dxpp 2p (3 分 ) ，解这个微分方程得到U ( x, p)1 x11u(x, y) yx y 1p 2p 2p(3分) ，再取拉普拉斯逆变换有(2分)所以原问题的解为 u( x,

13、 y)yxy 1 .(1分 )8、解：对于初值问题关于x 作 Fourier变换，得：2 ?22?d u( , t)a,t), xR, t 0dt 2u(（2 分）?(,0)0u( ,0)F (sin x), ut该方程变为带参数的常微分方程的初值问题。解得?C1eja tC2eja t（2 分）u( ,t)于是 u?(,0)F (sin x)C1C2 , u?t ( ,0)ja(C1C2 )0（2 分）则由 C1C21?1F (sin x)(ejateja t) 。（2 分）2F (sin x) ，得： u( ,t )2作像函数 u?(,t ) 的 Fourier逆变换u( x, t)F1?

14、, t)11F (sin x)(eja teja t)1sin( x at )sin( x at )u(F22sin x cosat（2 分）9、解：设 M 0 ( x0 , y0 ) 为下半平面中任意一点。已知二维调和函数的积分表达式为u(M 0 )1(u( M )(ln1 )ln 1u) dS(1分)2nrMM 0rMM 0n设 v 为调和函数，则由第二格林公式知(u 2v v 2u)d(u vv u)dS 0（2）nn（ 1）（ 2）可得u(M 0 )u( M )( v1(ln1 ) dS( 1 ln1v) u dS(2分)n 2 nrMM 02rMM 0n若能求得 v 满足文案大全实用

15、标准2 v0, y0v y 01ln1（3）2rMM 0y 0则定义格林函数 G(M , M 0 )1 ln1v ，则有2rMM 0u(M 0 )u(M ) G dSn(2 分)由电象法可知， M 1 ( x0 , y0 ) 为 M 0 ( x0 , y0 ) 的象点，故可取v1ln12rMM 1(1 分)显然其满足（ 3）。从而可得格林函数G(M ,M 0)1 ln11 ln12rMM 02rMM 1GG11ln11( y y0 )( y y0 )(ln)( y y0 ) 2( x x0 ) 2( y y0 ) 2ny2yrMM 0rMM 12(x x0 )2(3分 )故而u(M 0 )u(M )G1y02 f ()d(1分)dS(x0 )2ny010、解：（1）格林函数公式（三维）为：G（M，M0）=1 g （