无界向量函数的第二型曲线积分问题

1、无界向量函数的第二型曲线积分问题徐天棋摘要：根据广义积分的思想方法定义广义的第二型曲线积分；举例说明广义的第二型曲线积分在实际问题中的应用；给出广义的第二型曲线积分的计算方法以及性质关键词：无界向量函数的第二型曲线积分（1） 定义无界向量函数：F =Px,yi+Qx,yj沿有又向曲线Lx的广义第二型曲线积分：定义1.设向量函数F =Px,yi+Qx,yj，Px,y（或Qx,y或）在沿曲线Lx，xa,b上连续, Qx,y（或Px,y）在xa,b上连续，且x=a，是Px,y（或Qx,y）的无界点，或者Px,y ，Qx,y同时在xa,b上连续，在x=a处无界，称a,Lab,LbPx,ydx+Qx,y

2、dy=lim0+a+,La+b,LbPx,ydx+Qx,ydy为F =Px,yi+Qx,yj沿曲线Lx，xa,b上的第二型曲线积分，当极限lim0+a+,La+b,LbPx,ydx+Qx,ydy存在时，称此广义第二型曲面积分收敛，否则称此广义第二型曲面积分发散。定义2.设向量函数F =Px,yi+Qx,yj，Px,y（或Qx,y或）在沿曲线Lx，xa,b上连续, Qx,y（或Px,y）在xa,b上连续，且x=b，是Px,y（或Qx,y）的无界点，或者Px,y ，Qx,y同时在xa,b上连续，在x=b处无界，称a,Lab,LbPx,ydx+Qx,ydy=lim0+a,Lab-,Lb-Px,ydx

3、+Qx,ydy为F =Px,yi+Qx,yj沿曲线Lx，xa,b上的第二型曲线积分，当极限lim0+a+,La+b,LbPx,ydx+Qx,ydy存在时，称此广义第二型曲面积分收敛，否则称此广义第二型曲面积分发散。定义3.设向量函数F =Px,yi+Qx,yj，Px,y（或Qx,y或）在沿曲线Lx，xa,b和b,c上连续, Qx,y（或Px,y）在xa,c上连续，且x=b，是Px,y（或Qx,y）的无界点，或者Px,y ，Qx,y同时在xa,b和b,c上连续，在x=b处无界，称a,Lac,LcPx,ydx+Qx,ydy=a,Lab,LbPx,ydx+Qx,ydy+b,Lbc,LcPx,ydx+

4、Qx,ydy为F =Px,yi+Qx,yj沿曲线Lx，xa,b上的第二型曲线积分，当a,Lab,LbPx,ydx+Qx,ydy和b,Lbc,LcPx,ydx+Qx,ydy存在时，称此广义第二型曲面积分收敛，否则称此广义第二型曲面积分发散。（2）举例讨论L为以原点为起点的有向曲线时I=L-ydx+xdyx2+y2的计算：解：取Lx=0， x0,1 I=L-ydx+xdyx2+y2=lim0+0+,01,0-ydx+xdyx2+y2=lim0+0+,01,00dxx2=0（3）设L为经过原定的光滑闭曲线，在原点的某领域内L的方程y=fx在x=0处二阶可导，试求I的值。 解： Px,y=ydxx2+

5、y2，Qx,y=xdyx2+y2 Py=Qx，所以F =-yx2+y2i+xdyx2+y2j的第二型曲线积分L-ydx+xdyx2+y2与路径无关 如上图所示：做封闭曲线Lo，包含原点，将原点挖去，D为L所包围区域，Do为Lo所包围的区域，使原点在中心。半径为的小圆周Lo取>0充分小，对x,yDo,x2+y2=2,x=cost,y=sint有：L-ydx+xdyx2+y2=L+Lo-Lo=D-Do（Py-Qx）dxdy-Lo-ydx+xdyx2+y2=Lo(2cost2+2sint2)dt2=02(cost2+sint2)dt=2对于L上含有多个无界点的情况可参照上例做出多个封闭曲线包围奇点则有： LPx,ydx+Qx,ydy=C取>0充分小，围绕奇点MMi分别取K个圆周LLo由上可知，沿每一闭路的曲线积分为一循环常数，围绕这K个奇点MMi分别作出n条互不相交且包含各个奇点的闭曲线LLo，所围成的相应的各小闭区域记为Di(i=1，2，n)，在Di上；运用格林公式可得。参考文献：【1】 主编