第二十章 曲线积分

1、第二十章 曲线积分§1 第一型曲线积分授课章节：ch20-§1第一型曲线积分（P197-202）教学目的：1）掌握第一型曲线积分的概念和计算方法教学重点：教学难点：1）第一型曲线积分的定义教学方法：讲练结合教学程序：1引导23例题及部分习题练习4作业P201习题1(1、3、5、7)，。 以前讨论的定积分研究的是定义在直线段上函数的积分本章将研究定义在平面或空间曲线段上函数的积分 df 1 (P197) 设为平面上可求长度的曲线段，为定义在上的函数对曲线作分割T，它把分成n个可求长度的小曲线段，的弧长记为，分割T的细度为，在上任取一点(,若存在极限且的值与分割T及点的取法无关

2、，则称此极限为在上的第一型曲线积分，记作 （1）一、 第一型曲线积分的定义1 定义注：1）注意与定积分定义的相似性（上册P201 df1-df3） 2) 称为积分和例（P197第617行） 设某物体的密度函数f（P）是定义在上的连续函数当是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量，现在研究当是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题首先对作分割,把分成n个可求长度的小曲线段（i=1，2，n)，并在每一个上任取一点P由于f（P）为上的连续函数,故当的弧长都很小时，每一小段的质量可近似地等于f（P）,其中为小曲线段上的质量就近似地等于和式 当对的分割越来越细密(即)时,上述和式的极限就应

3、是该物体的质量df 1* (P197)若为空间可求长曲线段，为定义在上的函数，则可类似地定义在空间曲线上的第一型曲线积分为，(此处为的弧长, 为一常数),并且记作 （2）注：1）若上例中的是空间中某一可求长度的曲线段时, 线段上的物体的质量可由第一型曲线积分（2）求得。 2)由上面看到,求具有某种物质的曲线段的质量，与求直线段的质量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的2性质关于第一型曲线积分也和定积分一样具有下述一些重要性质，下面列出平面上第一型曲线积分的的性质. 1)若存在，为常数，则也存在，且 2)若曲线段由曲线首尾相接而成，且都存在，则也存在，且3)若与都存在，且在上则 4)

4、若存在，则也存在，且 5)若存在，的弧长为s，则存在常数c,使得这里注：1）性质5)类似与第一积分中值定理(上册P217 Th9.7)2) 对于空间第一型曲线积分的性质，读者可自行仿此写出。二、第一型曲线积分的计算定理20.1设有光滑曲线：函数为定义在上的连续函数，则（3）证明：由弧长公式（上册P247 Th10.1）知道，上由到的弧长由的连续性与积分中值定理(上册P217 Th9.7)，有所以这里设则有 （4）令则当时，必有现在证明 因为复合函数关于t连续，所以在闭区间上有界，即存在常数M,使对一切都有再由在上连续，所以它在上一致连续，即对任给的必存在使当时（此时，而所以）有从而 所以 再由定积分定义(一般定积分的定义，见上册P202 df3），可得 =因此当在(4)式两边取极限后，即得所要证的(3)式。 注：1）光滑曲线（上册P104)：若曲线满足在上都存在连续的导函数，且，这时称为光滑曲线 2）该定理说明第一型曲线积分的计算可转换为定积分进行计算. *当曲线由方程给出，且在上有连续导函数时， (5)*当曲线由方程给出，且在上有连续导函数时, (6) 例1（P200）设是半圆周试计算第一型曲线积分解: . 例2（P200）设是从到A(1,2)一段(图20-1),试计算第一型曲线积分解: (P200-201) 仿照定理20.1,对于