数字信号处理4课件

1、第第4章章 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计n 数字滤波器数字滤波器能够有选择性地让输入信号中某些频率分量通过，而使能够有选择性地让输入信号中某些频率分量通过，而使其他频率分量衰减的离散系统。其他频率分量衰减的离散系统。n 理想数字滤波器理想数字滤波器在通带的幅度响应为在通带的幅度响应为1，在阻带的幅度响应为，在阻带的幅度响应为0理想低通数字滤波器理想低通数字滤波器W Ws: : 阻带截止频率阻带截止频率d d p: : 通带波纹峰值通带波纹峰值d d s: 阻带波纹峰值阻带波纹峰值)1lg(20)(lg20ppdWpjeHA通带通带最大最大衰减衰减(dB)sslg20)(lg20dWs

2、jeHA阻带阻带最小最小衰减衰减(dB)W Wp: : 通带截止频率通带截止频率10通带过渡带阻带)|(Wje|HpWsWsdpd1W 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标 数字滤波器的实现步骤数字滤波器的实现步骤按照任务的需要，确定滤波器的技术指标。按照任务的需要，确定滤波器的技术指标。用一个因果稳定的离散用一个因果稳定的离散LTI系统的系统函数（系统的系统函数（ IIR或或FIR）去逼近滤波器技术指标。去逼近滤波器技术指标。利用有限精度算法来实现这个系统函数，包括选择运算结利用有限精度算法来实现这个系统函数，包括选择运算结构、选择字长以及有效数字的处理方法等。构、选择字长以及有效数字的

3、处理方法等。实际的软硬件实现。实际的软硬件实现。离散离散LTI系统系统01( )1MjjjNiiib zH za z 数字滤波器设计目标：数字滤波器设计目标： 由给定的数字滤波器频率特性的指标由给定的数字滤波器频率特性的指标, 确定确定M和和N及系数及系数ai, bj从而得到数字滤波器从而得到数字滤波器H(z)。 若若ai都为零都为零，则系统为有限脉冲响应，则系统为有限脉冲响应FIR (Finite Impulse Response)数字滤波器。数字滤波器。 若若ai至少有一个非零至少有一个非零，则系统为无限脉冲响应，则系统为无限脉冲响应IIR(Infinite Impulse Respons

4、e) 数字滤波器。数字滤波器。 数字滤波器的系统函数数字滤波器的系统函数(1) 将数字滤波器的设计转换为模拟滤波器的设计。将数字滤波器的设计转换为模拟滤波器的设计。(2) 设计满足技术指标的模拟滤波器。设计满足技术指标的模拟滤波器。(3) 将模拟滤波器转换为数字滤波器。将模拟滤波器转换为数字滤波器。W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)频率频率转换转换设计模拟设计模拟滤波器滤波器脉冲响应脉冲响应不变法不变法双线性变换法双线性变换法 IIR数字滤波器设计的基本思想数字滤波器设计的基本思想W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)频率频率转换转换设计模拟设计模拟滤波器滤波器

5、脉冲响应脉冲响应不变法不变法双线性双线性变换法变换法w wp,w wsH(s)频率频率变换变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器sp,ww)(LsH复频率复频率变换变换 IIR数字滤波器设计的基本思想数字滤波器设计的基本思想本章内容本章内容一、模拟低通滤波器设计一、模拟低通滤波器设计二、模拟滤波器的频率变换二、模拟滤波器的频率变换三、脉冲响应不变法三、脉冲响应不变法四、双线性变换法四、双线性变换法一、模拟低通滤波器设计一、模拟低通滤波器设计nButterworth（巴特沃兹）模拟低通滤波器（巴特沃兹）模拟低通滤波器nChebyshev（切比雪夫）模拟低通滤波器（切比雪夫）模拟低通滤波器（I型

6、、型、II型）型）n椭圆模拟低通滤波器椭圆模拟低通滤波器pw w: : 通带截止频率通带截止频率w ws: : 阻带截止频率阻带截止频率d d p: : 通带波纹峰值通带波纹峰值d d s: 阻带波纹峰值阻带波纹峰值)1lg(20)(lg20pppdwjHA通带最大衰减通带最大衰减(dB)ssslg20)(lg20dwjHA阻带最小衰减阻带最小衰减(dB)|H( jw w)|10通带通带过渡带过渡带阻带阻带pw wsw wsd dpd d 1w w模拟滤波器的技术要求模拟滤波器的技术要求 1. Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器N=3N=1N=100.707|H(jw)|wwc

7、N：滤波器阶数：滤波器阶数c：滤波器的：滤波器的3dB截止频率截止频率NH2c2)/(11)j (www（1）BW LP模拟滤波器的幅度响应特性模拟滤波器的幅度响应特性| |H(j0)|1|1， |H(j )|=0 ， 20lg|H(jw wc)| 3dB，故故w wc称称3dB 截频截频。 若若w wc =1 ，则称为归一化的，则称为归一化的BW LP模模拟滤波器拟滤波器 幅度响应随着幅度响应随着w w的增加单调下降。的增加单调下降。 |H(jw w)|2在在ww0 0点，从点，从1到到2N 1阶导数为阶导数为0，称为，称为最大平坦性最大平坦性 。（2）BW LP滤波器的设计步骤滤波器的设计

8、步骤 确定滤波器的确定滤波器的阶数阶数N )/lg(2)110110lg(ps1.01.0pswwAAN 确定滤波器的确定滤波器的3dB截频截频 w wc NANA211 . 0sc211 . 0p) 110() 110(spwww 确定滤波器的确定滤波器的极点极点 确定模拟低通滤波器的确定模拟低通滤波器的系统函数系统函数H(s) NksNkk, 2, 1;e)21221(jcwNkkNcNkkkssssssH11)()(wn由滤波器设计指标由滤波器设计指标w wp、w ws、Ap、As确定确定N和和w wcn确定滤波器的确定滤波器的极点极点n确定模拟低通滤波器确定模拟低通滤波器的的系统函数系

9、统函数H(s)例例4-1：设计一个满足下列指标：设计一个满足下列指标BW型模拟低通滤波型模拟低通滤波器器2rad/swp，4rad/sws，dBAp1，dBAs100123456-25-20-15-10-505w (rad/s)G(w) (dB)常用归一化常用归一化(w wc =1) Butterworth模拟滤波器的系统函数模拟滤波器的系统函数 11)(0LssH121)(20LsssH1221)(230LssssH16131. 24142. 36131. 21)(2340LsssssH一阶：一阶： 二阶：二阶： 三阶：三阶： 四阶：四阶： )/()(c0LwsHsH2. 切比雪夫切比雪夫I

10、（CB I）型模拟低通滤波器）型模拟低通滤波器)/(11)j (222cNCHwww : 通带波纹通带波纹cw w：通带截频：通带截频 N ：滤波器阶数：滤波器阶数通带等波纹，阻带单调下降通带等波纹，阻带单调下降w|H(jw)|1wcN=2N=3N=72111 )(harccoscosh1 )arccos(cos)(xxNxxNxCNN阶Chebyshev多项式)/(1)/()/(111)j (c22c22c222wwwwwwwNNNCCCH通带单调下降，阻带等波纹通带单调下降，阻带等波纹3. 切比雪夫切比雪夫II(CB II)型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器)/(11)j (c222wwwN

11、RH4.椭圆低通滤波器椭圆低通滤波器()H jw1pd1sdcwwRN(x)是N阶Jacobi（雅可比）椭圆函数通带和阻带都是等波纹的通带和阻带都是等波纹的BW型、型、CB型和椭圆滤波器的比较型和椭圆滤波器的比较l BW型的幅度响应在通带和阻带内都是单调的，而CB型和椭圆滤波器具有等波纹特性等波纹特性。在相同的设计指标下，一般来说， BW型滤波器的阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低。l 在滤波器的实现过程中， BW型滤波器最容易实现，而椭圆滤波器不易实现。二、模拟滤波器的频率变换二、模拟滤波器的频率变换如何设计模拟如何设计模拟 高通高通 、带通带通、带阻、带阻滤波器滤波器? ?w wp,w wsH

12、(s)模拟频率模拟频率变换变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器sp,ww)(LsH复频率复频率变换变换复频率变换应满足两个条件：复频率变换应满足两个条件：（1）变换后的模拟滤波器仍是有理函数。）变换后的模拟滤波器仍是有理函数。即要求从即要求从 到到s的变换函数是有理函数。的变换函数是有理函数。（2）变换后的模拟滤波器仍是稳定的。）变换后的模拟滤波器仍是稳定的。即要求即要求 的左半平面映射到的左半平面映射到s的左半平面，的的左半平面，的右半平面映射到右半平面映射到s的右半平面，虚轴的右半平面，虚轴 映射到映射到虚轴虚轴 。sssjwjw1. 模拟高通滤波器的设计模拟高通滤波器的设计（1）原型

13、）原型低通低通到到高通高通的模拟频率变换的模拟频率变换www/00为一正参数，通常取为一正参数，通常取1ss/0w代入得将jsjs/,/wwwww/0由于物理可实现滤波器的幅度响应具有偶对称特性，故低由于物理可实现滤波器的幅度响应具有偶对称特性，故低通到高通变换的频率对应关系可表示为通到高通变换的频率对应关系可表示为 由高通滤波器的频率指标确定原型低通滤波器由高通滤波器的频率指标确定原型低通滤波器的频率指标，取的频率指标，取0 = 1pp/1wwss/1ww由复频率变换由复频率变换将原型低通转换为高通将原型低通转换为高通HHP(s)sssHsH1LHP)()()(,LspspsHAA的原型低通

14、滤波器设计满足指标ww（2）模拟高通滤波器的设计步骤）模拟高通滤波器的设计步骤例：例： 设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, Ap 1dB, As 40dB。解：解：(1) 将高通指标转换为原型低通滤波器技术指标将高通指标转换为原型低通滤波器技术指标, Ap1dB, As 40dB(2) 设计设计BW型原型低通滤波器型原型低通滤波器28. 3)/lg(2)110110lg(ps1 . 01 . 0pswwAAN取取N=4rad/s 10033. 5) 110(5)2/(11 . 0scsNAwwrad/s100021,ra

15、d/s500021spww(2) 设计设计BW型原型低通滤波器型原型低通滤波器N=4，w wc=5.033 10 5rad/sBW型原型低通滤波器的系统函数为型原型低通滤波器的系统函数为1)/(6131. 2)/(4142. 3)/(6131. 2)/(1)(c2c3c4cLwwwwsssssH(3) 由变换由变换HHP(s)=HL (1/s)获得高通滤波器获得高通滤波器1713293444HP105585. 1100497. 2103478. 110192. 5)(ssssssH18132934418104166. 6103315. 3106485. 8103152. 1104166. 6s

16、sss解：解：例：例： 设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, Ap 1dB, As 40dB。As= 40.0000 Ap= 0.10980100020003000400050006000-70-60-50-40-30-20-100Frequency in HzGain in dB例：例： 设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, Ap 1dB, As 40dB。（1）原型）原型低通低通到到带通带通的模拟频率变换的模拟频率变换2.模拟带通滤波器的设计模拟带

17、通滤波器的设计wwwwB2021p2p wwB通带宽度其中：2p1p20 www中心频率BssssHsH202)()(LBPw中得代入将wwwwwwBjsjs202/,/Bsss202w 由带通滤波器的通带上下截频确定变换式中的由带通滤波器的通带上下截频确定变换式中的参数参数1p2pwwB2p1p20www 确定原型低通滤波器的通、阻带截频确定原型低通滤波器的通、阻带截频（2）模拟带通滤波器的设计步骤）模拟带通滤波器的设计步骤wwwwB2021)(1p1p2p2p1p2p11pwwwwwww1)(2p1p2p2p1p2p22pwwwwwww1s1p2p2p1p2s11s)(wwwwwww2s1

18、p2p2p1p2s22s)(wwwwwwwss1s2nmi,wwwwwwwB202 将原型低通滤波器转换为带通滤波器将原型低通滤波器转换为带通滤波器HBP(s) BssssHsH202)()(LBPw 设计通带截频为设计通带截频为1 (rad/s)、阻带截频为、阻带截频为 、通带衰减为通带衰减为Ap dB、阻带衰减为、阻带衰减为AsdB的原型的原型低通滤波器低通滤波器sw 试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器型带通滤波器 w wp1=6 rad/s, w wp2=8 rad/s, w ws1=4 rad/s, w ws2=11 rad/s, Ap 1 dB, As

19、32dB。(1) 由带通滤波器的上下截频确定变换式中的参数由带通滤波器的上下截频确定变换式中的参数21p2pwwB482p1p20www(2) 确定原型低通滤波器的阻带截频确定原型低通滤波器的阻带截频4)(1s1p2p2p1p2s11swwwwwww3182. 3)(s21p2p2p1p2s2s2wwwwwww3182. 3,mins2s1swww故故 试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器型带通滤波器 w wp1=6 rad/s, w wp2=8 rad/s, w ws1=4 rad/s, w ws2=11 rad/s, Ap 1 dB, As 32dB。(3) 设

20、计满足下列指标的原型低通滤波器设计满足下列指标的原型低通滤波器dB32,rad/s 3182. 3,dB1,rad/s 1ssppAAww6346. 3)/lg(2)110110lg(ps1 . 01 . 0pswwAAN取取N=4rad/s 3211. 1) 110()2/(11 . 0scsNAww例例: 试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器型带通滤波器 w wp1=6 rad/s, w wp2=8 rad/s, w ws1=4 rad/s, w ws2=11 rad/s, Ap 1 dB, As 32dB。解：解：(3) 设计设计BW型原型低通滤波器型原型低通

21、滤波器N=4，w wc=1.3211(4) 将原型低通滤波器转换为带通滤波器将原型低通滤波器转换为带通滤波器HBP(s) BssssHsH202)()(LBPw)10304. 2100971. 010103. 02(7372.483323344sssss)10304. 2102343. 010103. 0100049. 0(13323334ssss1)/(6131. 2)/(4142. 3)/(6131. 2)/(1)(c2c3c4cLwwwwsssssH 试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器型带通滤波器 w wp1=6 rad/s, w wp2=8 rad/s,

22、w ws1=4 rad/s, w ws2=11 rad/s, Ap 1 dB, As 32dB。A A( (w wp1) )=0.4445 dB, A A( (w wp2) )=0.4445 dB, A A( (w ws1) )=38.4905 dB A A( (w ws2) )=32 dB,46811-80-70-60-50-40-30-20-10010Frequency in rad/sGain in dB（1）原型）原型低通低通到到带阻带阻的模拟频率变换的模拟频率变换202)()(LBSwsBsssHsH中得代入将202/,/wwwwwwBjsjs202wwwwB3. 模拟带阻滤波器的设

23、计模拟带阻滤波器的设计202wsBss21ssBww其中：阻带宽度其中：阻带宽度2012ssww w中心频率中心频率 由带阻滤波器通带的上下截频确定变换式中的参数由带阻滤波器通带的上下截频确定变换式中的参数1s2swwB2s1s20www 确定原型低通滤波器的通、阻带截频确定原型低通滤波器的通、阻带截频202wwwwB1)(s2s12s1s1s1s2s2wwwwwww1)(s2s12s2s2s1s2s1wwwwwwws2s12p1p1s1s2p2)(wwwwwwws2s12p2p2s1s2p1)(wwwwwwwpp1p2xma,www（2）模拟带阻滤波器的设计步骤）模拟带阻滤波器的设计步骤 将

24、低通滤波器转换为带阻滤波器将低通滤波器转换为带阻滤波器HBS(s) 202)()(LBSwsBsssHsH 设计通带截频为设计通带截频为 、阻带截频为、阻带截频为1 (rad/s)、通带、通带衰减为衰减为Ap dB、通带衰减为、通带衰减为As dB的低通滤波器的低通滤波器pw(1) 由带阻滤波器通带的上下截频确定变换式中的参数由带阻滤波器通带的上下截频确定变换式中的参数21s2swwB992s1s20www(2) 确定原型低通滤波器的通带截频确定原型低通滤波器的通带截频3714.0)(s2s12p2p2s1s2p1wwwwwww1905.0)(s2s12p1p1s1s2p2wwwwwww故故3

25、714.0,maxp2p1pwww试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器型带阻滤波器 Ap=1dB;As=10dB;w wp1=6;w wp2=13;w ws1=9;w ws2=11。(3) 设计满足下列指标的设计满足下列指标的BW原型低通滤波器原型低通滤波器dB10,rad/s 1,dB1,rad/s 3714. 0ssppAAww7913. 1)/lg(2)110110lg(ps1 . 01 . 0pswwAAN取取N=2rad/s 5774. 0) 110()2/(11 . 0scsNAww试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器型带阻滤

26、波器 Ap=1dB;As=10dB;w wp1=6;w wp2=13;w ws1=9;w ws2=11。(3) 设计设计BW型原型低通滤波器型原型低通滤波器N=2，w wc=0.57741/2)/(1)(c2cLwwsssH(4) 将原型低通滤波器转换为带阻滤波器将原型低通滤波器转换为带阻滤波器HBS(s) 3333. 08165. 03333. 02ss202)()(LBSwsBsssHsH322234322410801. 91085. 4101 . 2899. 410801. 91098. 1ssssss试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器型带阻滤波器 Ap=1

27、dB;As=10dB;w wp1=6;w wp2=13;w ws1=9;w ws2=11。试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器型带阻滤波器 Ap=1dB;As=10dB;w wp1=6;w wp2=13;w ws1=9;w ws2=11。A A( (w ws1) )=10 dB, A A( (w ws2) )=10 dB, A A( (w wp1) )=0.0511 dB A A( (w wp2) )=0.6867 dB,691113-120-100-80-60-40-200w (rad/s)G(w) (dB)表表4-1 模拟频率变换模拟频率变换变换类型变换类型 频

28、率变换频率变换 复频率变换复频率变换注释注释原型低通原型低通高通高通原型低通原型低通带通带通 原型低通原型低通带阻带阻 www/0ss/0wwwwwB202Bsss202w202wwwwB202wsBssp2p120wwws2s120www0wp1p2wwBs1s2wwB是一正参数，通常取1如何将如何将模拟模拟滤波器转变为滤波器转变为数字数字滤波器滤波器? 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 双线性变换法双线性变换法W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)频率频率变换变换设计模拟设计模拟滤波器滤波器AF到到DF的转换的转换三、脉冲响应不变法三、脉冲响应不变法n模拟滤波器转变为数字滤波器的

29、基本条件：模拟滤波器转变为数字滤波器的基本条件：变换后的滤波器仍是稳定的变换后的滤波器仍是稳定的即即s左半平面必须映射到左半平面必须映射到z平面的单位圆内。平面的单位圆内。两者频率响应的基本特性不变两者频率响应的基本特性不变即即s平面的虚轴平面的虚轴j必须映射到必须映射到z平面的单位圆上。平面的单位圆上。 变换思路：变换思路： 对模拟滤波器的单位冲激响应对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样等间隔抽样来获得数字滤波器的单位脉冲响应来获得数字滤波器的单位脉冲响应hk ( )()t kTh kh th kT1.脉冲响应不变法的基本原理脉冲响应不变法的基本原理 脉冲响应不变法由脉冲响应不变法由

30、H(s)获得获得H(z)步骤步骤: :H(s)h(t)hkH(z)拉氏反变换拉氏反变换抽样抽样t=kTZ变换变换1111elp Tlspz 对对H(s)进行进行Laplace反变换获得反变换获得h(t)。 对对h(t)等间隔抽样得到等间隔抽样得到hk。 计算计算hk的的z变换得到变换得到H(z)。 频率响应间的变换关系频率响应间的变换关系()WnnsTnHTnHTH)2j(1)j(1)e (jwww数字滤波器频率响应无混叠：数字滤波器频率响应无混叠：),j (1)e (jWWwHTH 数字滤波器在数字滤波器在W W点的频率响应和模拟滤波器在点的频率响应和模拟滤波器在w w 点的点的频率响应只差

31、一个常数因子频率响应只差一个常数因子1/T 如果模拟滤波器的频率响应是带限的，即如果模拟滤波器的频率响应是带限的，即(j )0,/THww 数字频率数字频率W W与模拟频率与模拟频率w w之间是之间是线性线性关系：关系：W W w wT为了消除为了消除1/T对数字滤波器频率响应的影响，实际对数字滤波器频率响应的影响，实际设计中多采用以下的变换关系：设计中多采用以下的变换关系： 即将即将H(s)乘以常数因子乘以常数因子T ，然后再将，然后再将TH(s)转化成转化成H(z) 。 ()Th kh kT 脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的优缺点 缺点：缺点：存在频谱混叠，故存在频谱混叠，故脉冲响应

32、不变法不适合设脉冲响应不变法不适合设 计计高通高通、带阻带阻滤波器。滤波器。 优点：优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性W W w wT（1）将数字滤波器的频率指标）将数字滤波器的频率指标 W Wk 转换为转换为 模拟滤波器的频率指标模拟滤波器的频率指标 w wk （2）由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。（3）利用脉冲响应不变法，将）利用脉冲响应不变法，将TH(s)转换转换H(z)。/kkTwWW Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)w w=W W/T设计模拟设计模拟滤波器滤波器脉冲响脉冲响应

33、不变应不变2. 脉冲响应不变法设计脉冲响应不变法设计DF的步骤的步骤TH(s)T例例4-5 利用利用BW型模拟低通滤波器和脉冲响应不变法设计满型模拟低通滤波器和脉冲响应不变法设计满足指标足指标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器。的数字低通滤波器。ccc1/1)(wwwsssH1cce1)(zTzHTww解：解：在数字滤波器的设计过程中，参数在数字滤波器的设计过程中，参数T可以被抵消。故常取可以被抵消。故常取T=1 s(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标将数字低通指标转换成模拟低通指标w wp=W Wp / T.(2) 设计设计w wp=W Wp/T,Ap=3dB的的

34、一阶一阶BW型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器T/ppcWww(3) 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 13/1ce13/e1cWWzzpp例例4-6 利用利用BW型模拟低通滤波器及脉冲响应不变法设计一数字型模拟低通滤波器及脉冲响应不变法设计一数字低通滤波器，满足低通滤波器，满足W Wp=0.2p p rad, W Ws=0.6p p rad, Ap 2dB, As 15dB。 解：解：(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标将数字低通指标转换成模拟低通指标，取，取 T=1 s.w wp=0.2p p rad/s, w ws=0.6p p rad/s, A

35、p 2dB, As 15dB (2) 设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器 （BW型）型）)/lg(2)110110lg(ps1 . 01 . 0pswwAAN=2)2/(11 . 0pc) 110(pNAww=0.718512)(1)(c2cLwwsssH5162. 00161. 15162. 02ss解：解：(3) 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 极点为极点为利用利用 1e111zssTsii可得可得DF的系统函数为的系统函数为2113620. 00514. 112974. 0)(zzzzH21212L11)(sssssssHcwppww45432

36、1,jcjceses例例4-6 利用利用BW型模拟低通滤波器及脉冲响应不变法设计一数字型模拟低通滤波器及脉冲响应不变法设计一数字低通滤波器，满足低通滤波器，满足W Wp=0.2p p rad, W Ws=0.6p p rad, Ap 2dB, As 15dB。 00.81-45-40-35-30-25-20-15-10-50W/pGain(W)/dBAp = 1.72dBAs = 14.2dB不满足设计指标避免频谱混叠的方法：避免频谱混叠的方法：增加待设计增加待设计DF的阻带衰减，的阻带衰减，例例4-6 利用利用BW型模拟低通滤波器及脉冲响应不变法设计一数字型模拟低通滤波器及

37、脉冲响应不变法设计一数字低通滤波器，满足低通滤波器，满足W Wp=0.2p p rad, W Ws=0.6p p rad, Ap 2dB, As 15dB。 As = 26.56dB避免频谱混叠的方法：避免频谱混叠的方法：增加待设计增加待设计DF的阻带衰减，的阻带衰减，满足设计指标或采用双线性变换法。或采用双线性变换法。例例4-6 利用利用BW型模拟低通滤波器及脉冲响应不变法设计一数字型模拟低通滤波器及脉冲响应不变法设计一数字低通滤波器，满足低通滤波器，满足W Wp=0.2p p rad, W Ws=0.6p p rad, Ap 2dB, As 25dB。 00.81-45-

38、40-35-30-25-20-15-10-50W/pGain(W)/dB1. 双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理四、双线性变换法四、双线性变换法 变换思路：变换思路： 将非带限的模拟滤波器将非带限的模拟滤波器H(s)映射为最高频率为映射为最高频率为p p/T的带限模拟滤波器的带限模拟滤波器H(s) ，再通过脉冲响应不变法将，再通过脉冲响应不变法将s域映射到域映射到z域，即域，即)(sH) (sH)(zHwwW/,/TT)2arctan(2wwTTT wW,)2tan(2WwT模拟频率与数字模拟频率与数字频率的关系为频率的关系为 s域到域到z域的映射关系域的映射关系 )2tan(2Ww

39、T)2cos()2sin(2j)2tan(2jjWWWwTTwjsWjez11112zzTssTsTz/2/22j2j2j2jeeee2WWWWTWWjje1e12TWWwjje1e12jT双线性变换双线性变换 稳定性分析稳定性分析sTsTz222222)/2()/2(wwTTz令令s= +jw w，则有，则有1) 1) 0,0,|z| 1S域虚轴映射到域虚轴映射到z域单位圆上域单位圆上S域右半平面映射到域右半平面映射到z域单位圆外域单位圆外稳定的稳定的AF系统映射为稳定的系统映射为稳定的DF系统系统 频率响应间的变换关系频率响应间的变换关系j2tan()2(e)(j ),THHWWwwW数字

40、频率数字频率W W与模拟频率与模拟频率w w之间是之间是非线性非线性关系关系 没有频率混叠现象。没有频率混叠现象。 W W和和w w 的关系的关系)2/tan(2WTwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww)2(tan2Tw双线性变换的频率畸变双线性变换的频率畸变 双线性变换法的优缺点双线性变换法的优缺点 缺点：缺点：数字频率与模拟频率之间是非线性关系。数字频率与模拟频率之间是非线性关系。使得幅度响应不是常数时会产生幅度失真，适于使得幅度响应不是常数时会产生幅度失真，适于设计幅度响应为分段常数的数字滤波器，不适于设计幅度响应为分段常数的数字滤波器，不适于设计如微分器等幅度响应为非常数的

41、数字滤波器。设计如微分器等幅度响应为非常数的数字滤波器。 优点：优点：无频谱混叠无频谱混叠（1）将数字滤波器的频率指标）将数字滤波器的频率指标 W Wk 转换为转换为 模拟滤波器的频率指标模拟滤波器的频率指标 w wk （2）由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。（3）利用双线性变换法，将）利用双线性变换法，将H(s)转换转换H(z)。)2tan(2kkTWw2.双线性变换法设计双线性变换法设计DF的步骤的步骤W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)设计模拟设计模拟滤波器滤波器双线性变换双线性变换频率预畸变频率预畸变)2tan(2WwT111

42、12zzTs11211( )( )zsTzH zH s例例: 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。解：解：设双线性变换中的参数为设双线性变换中的参数为T(1) 将将DF的频率指标转换为的频率指标转换为AF的频率指标的频率指标)2tan(2ppWTw(2) 设计设计3dB截频为截频为w wp的一阶的一阶BW型模拟低通滤波器，即型模拟低通滤波器，即N=1, w wc = w wp1/1)(cwssH

43、1/1pws故故解：解：(3) 用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器 结论：参数结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。的取值和最终的设计结果无关。 为简单起见，一般取为简单起见，一般取T=2 1/1)(pwssH1)2tan(21121)(p11WTzzTzH11112zzTs112697. 01366. 0366. 0zz例例: 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法

44、设计的DF比较。比较。解：解：双线性变换法设计的双线性变换法设计的DF的系统函数为的系统函数为112697. 01366. 0366. 0)(zzzH双脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为的系统函数为1/3e1/3)(zzH脉令令z=ejW W ，可分别获得两者的幅度响应。，可分别获得两者的幅度响应。例例: 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线

45、性变换法双线性变换法 3dB例例: 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。例：例：利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 解：解：(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标，取将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2 Ap2db, As15db (2) 设计模拟低通

46、滤波器设计模拟低通滤波器 （BW型）型）)/lg(2)110110(lgps1 . 01 . 0pswwAAN=2)2/(11 . 0sc) 110(sNAww=0.585 1 12)(1)(c2cLwwsssH9324. 0)2tan(2ppWwT4376. 1)2tan(2ssWwT3342. 05827. 03342. 02ss解：解：(3) 用用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 11112)()(zzTssHzH21213237. 02606. 018157. 05315. 08157. 0zzzz例：例：利用利用AF-BW filt