加强数形结合

1、加强数形结合，提高解题能力. 蒋集九年制学校 陈业龙数和形是数学中最基本的概念，是整个数学发展中的两大基石。在数学的解题过程中，数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在内容上互相联系，方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。正如数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”。一、 数形结合的意义 2XVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

2、VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV5例1，化简:x-2+x-5的值。分析：x的值未知，可以通过画数轴，分类讨论的方法。当

3、x<2时，原式=-(x-2)-(x-5)=-x+7;xY10当x=2时, 原式=0-x+5=-x+5=3;当2<x5时, 原式=x-2-x+5=3;当5<x时, 原式=x-2+x-5=2x-7; 借助数轴，直观形象，使学生易学易懂。例2：比较x2与x的大小。分析；若用代数方法，学生感到茫然，若结合形来考虑简单得多。设函数Y=x2-x,画出它的图像，如图，通过观其形，可直接得出：当x<0或x>1时Y>0,即x2-x>0,x2>x;当x=0或x=1时，Y=0,即x2-x=0, x2=x ；当0<x<1时，Y<0,即x2-x<0

4、, x2<x.ADCB2.降低解题难度，提供简捷的解体途径0-4cos100的值。分析：此题表达式虽然简单但似乎无从下手，注意到三角形的边角关系，可构造如图所示的三角形ABC，使C=900, A=100,BC=1,D为AC上一点，且使BDC=300,则BD=2, 且ABD=200在0=BD·sin100，AD=BD·sin200/sin100,又AC=ctg100, ctg100-4cos100=AC-AD=CD= 。集合与集合之间的关系，集合中的交、并、补、差运算等问题较抽象，如果利用数形结合，借助图形进行思考，可使各集合之间的关系直观明了，使抽象的集合运算建立在直

5、观的形象思维之上。0xy例如：已知二次函数的图象的开口方向，对称轴位置以及与Y轴的交点如图所示，判断点（ac,-b+c）在第几象限。分析：由图象可知a>0,-b/(2a)<0,c<0,于是可得b>0,ac<0,-b+c<0,因此点（ac,-b+c）在第三象限。4.激发兴趣，提高学习效率利用数形结合思想方法，可以提高学生学习兴趣，降低问题的难度，使学生可以看得到，摸得到，听得到，有图有数，激发学生的形象思维，抽象思维能力，有利于学生的发展。二.数形结合思想，在初中数学中的应用 数形结合思想是指数（量）与形（图）结合起来分析、研究、解决问题的一种思想策略。著名数

6、学家华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依，怎能分作两边分，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。数形结合思想，可以使抽象复杂的数量关系，通过几何图形直观地表现出来；也可以使图形的性质，通过数量间的计算、分析，达到更加完整、严密、准确。因此我们在研究解决数学问题时要善于由形思数，由数思形，数形结合。EABCDFVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

7、VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV例如：如图ABC中（AB>AC），AD平分ABC,AD的中垂线和BC的延长线交于点E，设CE=a, DE=b,BE=c,试证：关于x一元二次方程ax2-2bx+

8、c=0有两个相等的实数根。分析：本题以几何图形为背景，讨论一元二次方程根的情况，是初中数学中常见题型，从方程的角度思想要证明方程有两个相等的实数根，既要证明=4b2-4ac=0,即要证明b2=ac。另外从题设考虑图形相关性质，即要证明DE2=CE*BE这里要考虑相似三角形,于是连接AE,可证AECBEA从而使命题获证.解:连接AE,EF是AD的中垂线,AE=DE, EAD=EDA而EAC=EAD-CAD, EBA=EAD-BAD,又,AD平分BAC , CAD=BAD, EAC=EBA, AECBEA,得=,由AE=DE,从而得DE2=CE*BE,即b2=ac, =(-2b)2-4ac=0,则

9、方程ax2-2bx+c=0有两个不相等的实数根。例如：在数学活动中，小梅为了求的值，设计如图所示的图形。请你利用这个图形求的值为图4请利用图5再设计一个能求的值几何图形。分析：本题难度很大，在初中中等以上学生才能理解，而通过画图，可以使多数学生都能理解，而且形象生动。图5 3.由数思形，数形结合，用形解决数的问题（1）利用数轴理解相反数的概念，便具有了几何意义，互为相反数的两个数在数轴上实质上是它们到原点的距离相等，方向相反。一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。一元一次不等式组的解集是借助数轴找各个不等式解集的公共部分等都充分体现了由数思形思想。例1：已知如图：a、b、c对应点

10、在数轴上， 化简-a+c b0ac例1 分析观察数轴：a>0, c-b>0, a+c>0 原式=a-(c-b)-(a+c) =b-2cABCbca 例2 （2）解直角三角形的应用更是数形结合的典型材料。 例2：已知 a, b, c为Rt ABC 的三边，其中C=900， 化简:a-b-c+ 分析这里 a, b, c是直角三角形三边，具有几何意义，如图, 由三角形三边关系定理：a<b+c, a+b>c, c<a+b, 又C=900，勾股定理：a2+b2=c2. 因此，原式= -（a-b-c) +(a+b-c)+c -(c-a-b) =a+3b（3）平面直角坐标

11、系建立后使有序实数对具有了几何意义，由点可确定点的坐标，由坐标可确定点，一次函数，二次函数，反比例函数只有利用它们的图象，才能更深刻地理解它们的性质。 例3：已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过A(3,0), B(0,-3), C(-2,5) 三点。例3P（1，-4）B12Q3-1-2AO-1-2-3-4（1）求这条抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 P，求 ABP 的面积。 分析（1）过程略，抛物线的解析式为 y=x2-2x-3.（2）画出函数图像，运用图像求解（如图） 顶点P（1，-4），作 PQx 轴， 垂足为 Q。 SABP =SAPQ + S梯形OBPQ - SAOB =

12、3通过以上例子，我们看到了代数问题如何通过几何直觉产生作用；把代数的形式规律用几何图象直观表示，能够加强审美能力及综合应用数学知识的能力。ABP 4.由形思数，形数结合，用数解决形的问题（1）利用数来解决几何的面积问题。 例4：如图所示，已知矩形ABCD 的边BC上一点P, CD边上一点Q，连结AP，PQ，AQ，得SABP =2，SPCQ =3，SADQ =4，求矩形ABCD的面积。 分析由形思数，形数结合，由于四边形ABCD是矩形， 可知 ABP，PCQ，ADQ都为直角三角形，又由SABP =2，SPCQ =3， SADQ =4，可以得到它们的对应式子为AB ·BP =4，PC &

13、#183;CQ =6，DQ · AD =8,这样可利用解方程组的方法来求解。PABCDQyxmn例4 设AB= x，BC= y,BP= m, CQ= n,可列方程组：(1)+(2)+(3), 得xy+ = 18 （4）例5ACEBDFPQR （1）×（3），得xy · m(x-n) = 32 (5) 由（4）代入（5），得xy(18-xy) = 32, 即(xy)2 - 18xy + 32 = 0, 解得：xy=16 或xy = 2(不合题意，舍去) 所以，矩形ABCD的面积是 16 （2）利用数来解决圆的有关求证问题 例5：如图，已知：O 中三弦AB，CD，EF

14、 两两相交于点P，Q，R，并且AP=EQ= RD，CP=QB=RF，求证：RQP 是等边三角形。分析 此题用纯几何法证明难度较大，可从数量关系上来考虑：设AP =EQ= RD = x，CP=QB=RF = y ,PQ= a, QR= b, RP= c,由相交弦定理，得 化简，得 将三式相加，得(a+b+c)x = (a+b+c)y, x = y 可得 a = b = c, RQP是等边三角形。 从以上两例可以看出，形的直觉缺少严格性，形少数时难入微。 总之，数和形是事物的数学特征的两个相互联系的侧面，通常是指数量关系和空间形式之间的辩证统一。数与形的结合使得代数与几何紧密相联，息息相关，使得数

15、学更具有生机和活力。中考中数形结合试题举例例1、（2006长春市）如图，阴影部分的面积是AAxyBxyC4xy D2xy【分析】采用分割或拼补方法计算,如采用分割的方法,得图形得面积可分为两个长方形得面积,得（2x0.5x）··y=3xy0.5xy=xy,故应选A.2.与整式乘法（乘法公式）的验证的有关数形结合问题例2（1）（2006年荆门）.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(ab),再沿虚线剪开,如图(1),然后拼成一个梯形,如图(2),根据这两个图形的面积关系,表明下列式子成立的是( )(A)a-b=(a+b)(a-b). (B)(a+b)=a+2ab+b

16、.(C)(a-b)=a-2ab+b. (D)a-b=(a-b).（2）（2006年天门）如下图a，边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图a的阴影部分拼成了一个矩形，如图b。这一过程可以验证（）A、a2+b2-2ab=(a-b)2; B、a2+b2+2ab=(a+b)2; C、2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b); D、a2-b2=(a+b) (a-b)aabb图a图b(第3题图)【分析】（1）从所给两个图形面积相等的关系着手，图（1）的面积为a-b；图（2）的面积为（2a+2b）·（a-b）=(a+b)(a-b);则a-b=(a+b)(a-b).，则应选A。（2

17、）从两个图形阴影部分得面积着手,得a-b=(a+b)(a-b),应选D.【点评】本题主要考察如何把图形语言转化为符号语言，体现了数形结合的思想，同时也体现了新课标发展符号感的理念。例3第3题图（2006年烟台市）如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片张，边长分别为，的矩形卡片张，边长为的正方形卡片张用这张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为_【分析】本题的关键找到所拼矩形的长和宽,再结合实际进行拼图.从面积角度出发，16张三种卡片的面积和为a6ab9 b,根据拼接前后的面积不变（无重叠），则知所拼正方形的边长为“问题情境建立模型解释应用与拓展”的解决问题的过程.例4.（2006杭州） 三

18、种不同类型的矩形地砖长宽如图所示, 若现有A类4块, B类4块, C类2块, 要拼成一个正方形, 则应多余出1块 _ 型地砖; 这样的地砖拼法表示了一个两数和的平方的几何意义, 这个两数和的平方是 _ . 【分析】：图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，对几何图形作出代数解释和用几何图形的面积表示代数恒等式是互逆的，一般是从面积方面进行考虑。若则应多余出1块 为A 型地砖,则这三类地砖的面积为3m2+4mn+2n2,此式不为完全平方式,即不能拼成一个正方形; 若则应多余出1块 为B 型地砖,则这三类地砖的面积为4m2+3mn+2n2,此式不为完全平方式,即不能

19、拼成一个正方形; 若则应多余出1块 为C 型地砖,则这三类地砖的面积为4m2+4mn+n2,此式为完全平方式,即不能拼成一个边长为（2mn）正方形;故应填写: C ; (2m+n)2=4m2+4mn+n2 (答(2m+n)2或4m2+4mn+n2均可)例5（2005年）.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为_. 分析: 要求a2b+ab2的值,一般有两种思路,一是根据已知条件求出a,b具体的值代入计算,但工具现有的知识,求a,b的值比较困难;二是利用因式分解将a2b+ab2进行变化,然后利用整体思想代入求值.显然利用第二种方法比较简单,从图上可以看出矩形的面积是ab,周长是2(a+b),工具已知条件可得2(a+b)=14, ab=10, 所以a+b=7, ab=10. 解: a2b+ab2=ab(a+b)=7×10=70. 例6（2006年河北）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：（1）请你在和后面的横线上分别写出相对应的等式：4×014×13；4&#