建筑力学_第三章(全)课件

1、建筑力学建筑力学第三章第三章 平面一般力系平面一般力系 3.1 3.1 概述概述平面任意力系：平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫平面任意力系。又不相互平行的力系叫平面任意力系。 对于平面一般力系，讨论两个问题：对于平面一般力系，讨论两个问题： 1、力系的合成；、力系的合成； 2、力系的平衡。、力系的平衡。建筑力学建筑力学3.2 3.2 力对点之矩力对点之矩 合力矩定理合力矩定理v 力对点之矩力对点之矩力矩：力矩：力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。例如扳手旋转

2、螺母。矩。例如扳手旋转螺母。力力F对对O点之矩定义为：点之矩定义为：力的大小力的大小F与力臂与力臂d的乘积。的乘积。记为记为 : Mo（F ）Fd建筑力学建筑力学力力F对对O点之矩也可以用三角形点之矩也可以用三角形OAB的面积的两倍表示，的面积的两倍表示， 即即:Mo（F ）2ABO面积面积 在国际单位制中，力矩的单位是在国际单位制中，力矩的单位是Nm或或kNm。由上述分析可得力矩的性质：由上述分析可得力矩的性质：（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有 关。力矩随矩心的位置变化而变化。关。力矩随矩心的位置变化而变化。（2）力对任

3、一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而 改变，再次说明力是滑移矢量。改变，再次说明力是滑移矢量。（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。建筑力学建筑力学v 合力矩定理合力矩定理定理：定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于各个分平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于各个分)()(ioRoFMFM力对同一点之矩的代数和。即：力对同一点之矩的代数和。即：oxxyyFXAY 利用合力矩定理，可以写出力对利用合力矩定理，可以写出力对坐标原点的矩的解析表达式，如左图坐标原点的

4、矩的解析表达式，如左图所示。即：所示。即：yXxYFMFMFMyoxoo)()()(建筑力学建筑力学3.3 3.3 力偶及其特性力偶及其特性v 力偶力偶力偶：力偶：在力学中把两个大小相等、方向相等，作用线平行但在力学中把两个大小相等、方向相等，作用线平行但不共线的不共线的 两个力称为力偶，用符号两个力称为力偶，用符号 ( F ,F)表示。表示。例如：例如：力偶臂：力偶臂：两个力作用线之间的垂直距离。两个力作用线之间的垂直距离。力偶的作用面：力偶的作用面：两个力作用线所决定的平面。两个力作用线所决定的平面。建筑力学建筑力学v 力偶矩力偶矩力偶矩：力偶矩：力偶对物体转动效应的量度。用力偶对物体转动

5、效应的量度。用M或或M( F ,F)表示。表示。在平面问题中，力偶等于的力在平面问题中，力偶等于的力F的大小和力偶臂的大小和力偶臂d的的乘积，如下图所示。即：乘积，如下图所示。即：M(F)Fd=2ABC面积面积在国际单位制中，力偶矩的单位在国际单位制中，力偶矩的单位是是Nm或或kNm。通常规定：力偶使物体逆时针方向通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。转动时，力偶矩为正，反之为负。建筑力学建筑力学v 力偶的性质力偶的性质 力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的性质：性质：（1）力偶没有合力，即力偶不能用一个力等

6、效替代。因此）力偶没有合力，即力偶不能用一个力等效替代。因此 力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。（2）力偶在任一轴上的投影等于零。）力偶在任一轴上的投影等于零。（3）力偶对其作在平面内任一点之矩恒等于力偶矩，与矩心）力偶对其作在平面内任一点之矩恒等于力偶矩，与矩心 位置无关。位置无关。 平面力偶的等效条件平面力偶的等效条件: 在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶矩大小相在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。等、转向相同，则这两个力偶是等效的。建筑力学建筑力学根据力偶的等效性，根据力偶的等效性，

7、可得出下面两个推论：可得出下面两个推论：推论推论1力偶的可移性：力偶的可移性：力偶可在其作用面内任意移动和转力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改变它对物体的作用效果。动，而不会改变它对物体的作用效果。推论推论2力偶的可改装性：力偶的可改装性：在保持力偶矩不变的条件下，可以在保持力偶矩不变的条件下，可以任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它对物体的作用效果。变它对物体的作用效果。v 力偶的作用效果取决于三个因素：构力偶的作用效果取决于三个因素：构成力偶的力、力偶臂的大小、力偶的转向。成力偶的力、力偶臂的大小、力偶的转向。故在平面问题

8、中弧线箭头来表示，箭头表故在平面问题中弧线箭头来表示，箭头表示力偶的转向，如左图所示示力偶的转向，如左图所示，M表表示力偶示力偶矩的大小。矩的大小。M=Fd建筑力学建筑力学v 平面力偶系的合成与平衡条件平面力偶系的合成与平衡条件l 平面力偶系的合成平面力偶系的合成平面力偶系：平面力偶系：在物体的同一平面内作用着两个或两个在物体的同一平面内作用着两个或两个以上的力偶。以上的力偶。MF1d1，M2F2d2，M3F3d3，P1d=F 1d1，P2dF2d2，P3d F3d3FRP1P2P3，FRP1+ +P2P3MFR d（P1P2P3）d F1d1+ + F2d2 F3d3 可得：可得：建筑力学建

9、筑力学综上所述，若作用在同一平面内有个力偶，由上式可得：综上所述，若作用在同一平面内有个力偶，由上式可得：MM1M2MnMi由此可得到如下结论：由此可得到如下结论：平面力偶系可以合成为一个合力偶，此合力偶的力平面力偶系可以合成为一个合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。MM1M2M3因此：因此：建筑力学建筑力学l 平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件 平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，力偶矩等于零，则原力系必定平衡；

10、反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。则合力偶矩必等于零。Mi0 由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件为：由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件为：平面平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。通过这个平衡方程，可以求解未知量。通过这个平衡方程，可以求解未知量。即：即：建筑力学建筑力学30oABlM30oABFAFBM例例如图，梁如图，梁AB受一力偶的作用，此力偶之矩受一力偶的作用，此力偶之矩M=20kNm，梁的跨度，梁的跨度l=5m，倾角，倾角=30，试求，试求A、B处的支座反力（梁重不计）。处的支座反力（梁重不计）。解：取梁解：取梁AB

11、为研究对象，梁在力矩偶为研究对象，梁在力矩偶M和和A、B两处支座反力两处支座反力FA、FB的作用下处于平衡。因为力偶只能由力偶平衡，可知的作用下处于平衡。因为力偶只能由力偶平衡，可知FA与与FB应等值、应等值、反向、平行而构成力偶。又反向、平行而构成力偶。又FB必垂直于支座必垂直于支座B的支承面。由力偶系的支承面。由力偶系的平衡方程可得：的平衡方程可得：0cosMlFBkNkNlMFB62. 430cos520cos从而有：从而有：故：故：kNFFBA26. 4(b)解：解：图图(a)： MA = - 82 = -16 kN m MB = 82 = 16 kN m图图(b)： MA = - 4

12、21 = -8 kN m MB = 421 = 8 kN m(a)建筑力学建筑力学例例求图中荷载对求图中荷载对A、B两点之矩两点之矩.建筑力学建筑力学例例45BAF2m如图，已知如图，已知F=20kN，求力，求力F对点对点A之矩。之矩。解：取杆解：取杆AB为研究对象，将力为研究对象，将力F沿沿x轴方向和轴方向和y轴方向分解为轴方向分解为 两个分力，由合力矩定理可得：两个分力，由合力矩定理可得：BAFyFxyxyyxxAdFdFM由于由于dx=0，所以：，所以：mkNdFMyyA28.2822220建筑力学建筑力学例例如图，已知如图，已知AB=AC=30cm，CD=15cm，F=100N，= =

13、30，求力求力F对对A、B、C三点之矩。三点之矩。解：取杆解：取杆AD为研究对象，将力为研究对象，将力F沿沿x轴方向和轴方向和y轴方向分解为两个分力，由定义可得：轴方向分解为两个分力，由定义可得：yxDCABFdAdCmNCDFFdFMmNADFFdFMCCAA5 . 730sin)(5 .2230sin)(由合力矩定理可得：由合力矩定理可得：ADFABFFMyxB)(mNADFABF 48.4830sin30cos建筑力学建筑力学3.4 3.4 平面一般力系向作用面内一点简化平面一般力系向作用面内一点简化v 力的平移定理力的平移定理力的平移定理：力的平移定理：作用于物体上的力可以平行移动到物

14、作用于物体上的力可以平行移动到物体上的任意一指定点，但必须同时在该力与指定点所决定体上的任意一指定点，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对指定点之矩。的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对指定点之矩。 建筑力学建筑力学v 平面一般力系向作用面内一点简化平面一般力系向作用面内一点简化iiRFFF平面汇交力系的合成：平面汇交力系的合成：)(iOiOFMMM平面力偶系的合成：平面力偶系的合成：可得：可得：11FF 22FF nnFF ， 11FMMo， 11FMMo 11FMMo， 建筑力学建筑力学平面一般力系向其作用平面内任一点简化得到一个力和一力偶平面一般力系向其

15、作用平面内任一点简化得到一个力和一力偶。 简化的力称为原力系的主矢量，它作用于简化中心，且简化的力称为原力系的主矢量，它作用于简化中心，且等于原力系中各力的矢量和；简化的力偶之矩称为原力系的等于原力系中各力的矢量和；简化的力偶之矩称为原力系的主矩，它作用于原力系的平面内，并等于原力系中各力对简主矩，它作用于原力系的平面内，并等于原力系中各力对简化中心的力矩的代数和。化中心的力矩的代数和。 平面一般力系平面一般力系 力力+ +力偶力偶向一点简化向一点简化(1) 当FR=0，Mo0时，原力系向点时，原力系向点O简化后得到合力偶简化后得到合力偶Mo;(2) 当FR 0，Mo=0时，原力系向点时，原力

16、系向点O简化后得到力简化后得到力FR;(3) 当FR=0，Mo=0时，原力系是平衡力系。时，原力系是平衡力系。u 几种特殊情况：几种特殊情况：建筑力学建筑力学3.5 3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程平面一般力系平衡条件和平衡方程 众所周知，当主矢众所周知，当主矢 时，为力平衡；当主矩时，为力平衡；当主矩 时，为力偶平衡。时，为力偶平衡。0RF0OM 故平面任意力系平衡的充要条件为故平面任意力系平衡的充要条件为：RFOM力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 都等于零。都等于零。0)()(22yxRFFF0)(iooFMM上述平衡条件可表示为上述平衡条件可表示为建筑力学建筑力学0 xF0yF0

17、)(iOFM平衡方程基本形式平衡方程基本形式二矩式平衡方程二矩式平衡方程其中：所选的其中：所选的x 轴不能与轴不能与 A、 B两点连线垂直两点连线垂直三矩式平衡方程三矩式平衡方程其中：其中：A、B、C三点不三点不 在同一直线上在同一直线上0 xF0)(iAFM0)(iBFM0)(iCFM0)(iAFM0)(iBFM 这样，平面一般力系的平衡方程可以有三种不同形式，这样，平面一般力系的平衡方程可以有三种不同形式，每种形式都是由三个独立的平衡方程组成，因而可以求解三每种形式都是由三个独立的平衡方程组成，因而可以求解三种三个未知量。种三个未知量。运用平面一般力系平衡方程求解未知力的步骤为：运用平面一

18、般力系平衡方程求解未知力的步骤为： 1 1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力图；、合理确定研究对象并画该研究对象的受力图； 2 2、由平衡条件建立平衡方程；、由平衡条件建立平衡方程； 3 3、由平衡方程求解未知力。、由平衡方程求解未知力。 实际计算时，规定力偶矩的方向为：逆时针为正，顺实际计算时，规定力偶矩的方向为：逆时针为正，顺时针为负。时针为负。建筑力学建筑力学建筑力学建筑力学例例如图，图为一悬梁臂如图，图为一悬梁臂AB。其上面作用有均布载荷。其上面作用有均布载荷q，集中载荷，集中载荷F和一和一力偶，其力偶矩为力偶，其力偶矩为M，梁长，梁长l。试求固定端。试求固定端A处的约束反力。处的

19、约束反力。yxABFMqFAxMAFAylqABFMl解：取悬梁臂解：取悬梁臂AB为研究对象，其受力图如图所示。取直角坐标系为研究对象，其受力图如图所示。取直角坐标系x-y，列平衡方程为：列平衡方程为：所以得：所以得：0AxFFqlFAy221qlFlMMA 0 xF 0yF 0FMA0AxF0FqlFAy02lqlFlMMA（二）力系的平衡示例：图示三角支架。求A、C处的支反力。0120,sin3006AAYYQQSYkNCAB30cm30cm600Q1=12kNQ2=7kNABQ1=12kNQ2=7kNSXAYA30000,cos30022.5AAXXSXkN 0120,60 sin303

20、060026AmSQQSkN基本方法二力矩方程：去掉Y=0方程10, 60300BAmYQ三力矩方程：再去掉X=0方程0120,603030600CAmXtgQQ（二）力系的平衡2020220,2 2 (1)0cos 30cos 302.5CAAmYYkN 示例：斜梁。求支座反力示例：斜梁。求支座反力2kN/mAB2m3002kN/mBARBYAXA0000,sin3000,cos302 2020,2 2 10cos30ABABABXXRYYRmR 1.73,0.87,2.5BAARkN XkN YkNC0020,2 2 10cos30 sin300.87DAAmXXkN D300300例例如

21、图，一水平托架承受重如图，一水平托架承受重P=20kN的重物，的重物，A、B、C各处均为铰链连各处均为铰链连接，各干自重不计，试求托架接，各干自重不计，试求托架A、B两处的约束反力。两处的约束反力。P解：取托架水平杆解：取托架水平杆AD作为研究对象，其受力图如图所示。取直角坐标作为研究对象，其受力图如图所示。取直角坐标系系x-y，列平衡方程为：，列平衡方程为： 0 xF 0yF 0FMAPFBFAxFAy03245sinPFB045cosBAxFF045sinPFFBAy所以得：所以得：kNFB43.42kNFAy10kNFAx30例例如图，图为一钢架，已知如图，图为一钢架，已知q=4kN/m

22、，P=10kN，M=2kNm，W=20kN，试求支座试求支座A、B的约束反力。的约束反力。WMqWMqFAyFAxFB解：取钢架作为研究对象，其受力图如图所示。取直角坐标系解：取钢架作为研究对象，其受力图如图所示。取直角坐标系x-y，列，列平衡方程为：平衡方程为： 0 xF 0yF 0FMA042qPFAx03423433qMWPFB0WFFBA所以得：所以得：kNFB29kNFAy9kNFAx34建筑力学建筑力学3.6 3.6 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程平面平行力系平面平行力系: :各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。F1F2

23、F3F4xy设设F1、F2、F3、F4为四个平行于为四个平行于y轴的平轴的平行力系，则各力在行力系，则各力在x轴上的投影均为零，轴上的投影均为零，故平面平行力系的平衡方程为：故平面平行力系的平衡方程为：0yF0)(ioFM 同理可得，平面平行力系的平衡方程的二矩式平衡方程：同理可得，平面平行力系的平衡方程的二矩式平衡方程：0)(iAFM0)(iBFMFyMO（二）力系的平衡平面平行力系xOy0,00,0yOABYmmmAB或连线不与 平行。可以解出二个未知力可以解出二个未知力示例：外伸梁。求支座反力示例：外伸梁。求支座反力6kNmBA例例塔式起重机如下图所示，机身所受的重力为塔式起重机如下图所

24、示，机身所受的重力为W1，其，其作用线作用线 距右轨距右轨B为为e，载重的重力，载重的重力W2距右轨的最大距右轨的最大距离为距离为l，轨距，轨距AB=b，又平衡物的重力，又平衡物的重力W3距左轨距左轨A为为a。求起重机满载和空载均不至翻到时，平衡物的重。求起重机满载和空载均不至翻到时，平衡物的重量量W3应满足的条件应满足的条件。FBFAW2W1W3解：起重机不翻到时其所受的主动力解：起重机不翻到时其所受的主动力W1、W2、W3和约束反力和约束反力FA、FB组成一平面平行力系。有平衡方程组成一平面平行力系。有平衡方程 得：得： 0FMB0312bFbaWeWlWAaWelWbaWFA23 满载时

25、载重满载时载重W2距右轨最远，这时起重机若翻到则必绕点距右轨最远，这时起重机若翻到则必绕点B往右翻到，往右翻到，因而因而FA不存在。故不翻到的条件是：不存在。故不翻到的条件是：0AF 其中等号对应于起重机处于不翻到的临界状态。由以上两式可得其中等号对应于起重机处于不翻到的临界状态。由以上两式可得满载且平衡时满载且平衡时W3应满足的条件为：应满足的条件为：baWelWW23空载时空载时W2=0，由平衡方程，由平衡方程 得：得： 0FMA031bFaWebWBbaWebWFB31这时起重机若翻到则必绕点这时起重机若翻到则必绕点A往左翻到，因而往左翻到，因而FB不存在。故不翻到的条件是：不存在。故不

26、翻到的条件是：0BF于是空载且平衡时于是空载且平衡时W3应满足的条件为：应满足的条件为：aebWW13 由此可见，起重机满载和空载均不致翻到时，平衡物的重量由此可见，起重机满载和空载均不致翻到时，平衡物的重量W3应满足应满足的条件为：的条件为：abaWWbaeWlW1312建筑力学建筑力学3.7 3.7 物体系统的平衡物体系统的平衡 静定和超静定问题的概念静定和超静定问题的概念物体系统：由若干个物体通过约束所组成的系统，简称物系物体系统：由若干个物体通过约束所组成的系统，简称物系。 物系平衡的特点：物系平衡的特点：物系静止；物系静止；物系中每个单体也是平物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列衡

27、的。每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列个平衡方程，整个系统可列3n个方程个方程（设物系中有（设物系中有n个物体）个物体） 当物体系统平衡时，系统内的每一部分物体也处于当物体系统平衡时，系统内的每一部分物体也处于平衡。因此，解决物体系统的平衡问题的一般方法为：平衡。因此，解决物体系统的平衡问题的一般方法为：由整体由整体 局部，但也可由局部局部，但也可由局部 整体。整体。（三）物体系的平衡0,0,0.5BCBmRqaYRqa求解方法应由物体系的组成情况求解方法应由物体系的组成情况决定决定。1）有主次之分的结构主要部分：不需要依赖其他部分可以维持其平衡次要部分：需要依赖其他部分才能维持其平衡。求

28、解时，先从次要部分开始。2、解法示例：多跨静定梁DABCa2aa0.5qaq平面平行力系：一个物体可以列出2个独立的平衡方程，由n个物体组成的物体系可以列出2n个独立的平衡方程，解出2n个未知力。以BCD为研究对象DBCqaRCRBABRBRAMA20,1.50,AAAYRqamMqa以AB为研究对象（三）物体系的平衡示例：图示多跨静定梁。求A、B、C处的反力。1、以DC为研究对象0,6( )0,6( )DCDmRkNYRkN12kNm8kNm2kN/m2m2m1mABDC12kNmRDRC2、以ABD为研究对象2kN/m8kNmRDRARB2kNm120,2 2 32 20233.67( )

29、10,22 2020.33( )ABBABAmRRkNYRRRkN （三）物体系的平衡示例：三铰刚架。q=2kN/m,l=2mllCABql2）三铰架以整体为研究对象XAYAXBYB0,3( )0,1( )BABmYkNYYkNBCXBYBXCYC以CB为研究对象0,1()CBmXkN 以整体为研究对象0,1()AXXkN注意：注意： 选取研究对象前，先做组成选取研究对象前，先做组成分析分析 所选取的研究对象，要确保所选取的研究对象，要确保能求出全部或部分未知力能求出全部或部分未知力 尽量避免未知力联立尽量避免未知力联立1. 不需求的未知力尽量避开不需求的未知力尽量避开（三）物体系的平衡30,

30、210,2BABmRqaYRqaqaaaafABCD3）拉力拱示例：求图示结构CD杆的受力。RARB1、以整体为研究对象2、以EBD为研究对象DRBEXEYESCDE20,20ECDBCDmSfRaqaSf（三）物体系的平衡示例：图示刚架，不计自重。15m10m10m15m10kN/m100kN150kNmEABCD求A、B、C、D和E处的约束反力XAYARB以整体为研究对象0,121.67( )0,178.33( )0,100()BABAmYkNYRkNXXkN 以DE为研究对象0,5( )0,5( )DEDmYkNYYkN思考：列方程150kNmEDYEXDYDXE思考：列方程（三）物体系

31、的平衡10kN/mEBC178.33kN5kNXEYCXC以BEC为研究对象0,162.5()0,33.33( )0,162.5()CECCmXkNYYkNXXkN思考：列方程建筑力学建筑力学例例如图，如图，图为铅垂面的人字梯图为铅垂面的人字梯ACB。置于光滑水平面上，且。置于光滑水平面上，且处于平衡状态，已知处于平衡状态，已知F =60kN，l=3m，= 45。试求铰链。试求铰链C的约束力。的约束力。ABCFDE3/l3/l3/lABCFDEFAFB解：（解：（1）取整体为研究对象，其受力图如图所示，列平衡方程可得：）取整体为研究对象，其受力图如图所示，列平衡方程可得：0(F)MA0(F)MB02sin322sin2lFlFBkNFFB20302sin32s