初中数学动态动点探究中考压轴

1、动态探究题  这种题型包括有动点问题，动线问题和动圆问题三类。主要是考查学生对几何元素的运动变换的性质，它主要揭示“运动”与“静止”，“一般”与“特殊”的内在联系，以及在一定条件下可以相互转化的唯物辨证关系。 解决此类问题的关键是将运动的几何元素当作静止来加以解答，即“化动为静”的思路；并能在从相对静止的瞬间清晰地发现图形变换前后各种量与量之间的关系，通过归纳得出规律和结论，并加以论证。 中考题中的动态型试题是考查学生创新意识的重要题型之一。（一）动点型动态探究题 例1. 如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形O

2、ABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。 （1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。 （2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与AOC全等，请直接写出点D的坐标。 （3）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。 （4）设从出发起，运动了t秒钟，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如

3、有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。 分析：（1）较简单，利用待定系数法可解决。 （2）要想AOD与OAC全等，且点D也在抛物线上，则易知点D与点C应恰好关于抛物线对称轴对称，从而写出点D的坐标。 （3）应注意点Q在线段OC上和线段CB上两种情形，再根据坐标与线段特征关系，可确定点Q的坐标。 （4）要想准确探求是否存在直线PQ将梯形OABC周长和面积等分，可先从等分周长入手，找出与之相关的时间t（秒）的关系式，再分别计算相应两部分的面积，可获得正确结论。 解：（1）O、C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6） 设OC的解析式为ykx 抛物线过O（0，0），A（18，0），C（8，6

4、）三点 设抛物线解析式为ya（x0）（x18）再将C（8，6）代入6a（80）（818） （2）要使AODAOC，且点D在抛物线上, 则点D与点C关于抛物线对称轴对称 由（1）易知抛物线的对称轴为x9. 由点C（8，6）知点D坐标为（10，6） 依题意有: 当Q在CB上时，点Q所走过的路程为2t OC10 CQ2t10 点Q的横坐标为2t1082t2 Q（2t2，6）（5<t10） （4）由条件知：梯形OABC的周长为44 当Q点在OC上时，P点运动的路程为t，则Q点运动的路程为（22t） 依题意有： 整理得：t222t1400 这样的t不存在 当Q在BC上，Q走过的路程为（22t） 这

5、样的t值也不存在 不存在t值，使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积。 例2. 如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB/CD，AB<CD，AB10，BC3 （1）如果M为AB上一点，且满足DMCA，求AM的长。 （2）如果点M在AB上移动，（点M与A、B不重合）且满足DMNA，MN交BC延长线于N，设AMx，CNy，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围（写取值范围不需推理） 分析：略 解：（1）如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CDAB 12A180°32DMC180°又DMCA 13，BA ADMBMC ，x11，x29； 经检验：x11，x29都为原方程的根

6、AM1或9 （2）如图 同理可证：ADMBMN 例3. 已知，如图，E、F、G、H按照AECG，BFDH，BFnAE（n是正整数）的关系，分别在两邻边长为a，na的矩形ABCD各边上运动，设AEx，四边形EFGH的面积为S （1）当n1，2时，如图，如图，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点 （2）当n3时，如图，求S与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）探索S随x增大而变化的规律，猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置使 （3）当nk（k1）时，你所得到的规律和猜想是否成立？为什么？ 分析：这是一道探索性开放题，图形是不断地变化，解题关键是从特殊情形入手，总结出其中所蕴涵的规律性特征

7、，找出S与x之间的函数关系式，判断出S与x之间变化的规律，从而对nk（k1）的一般情形作出猜想。 解：（1）当n1时，如图，有AEBFCGDH 则E、F、G、H四点应恰好为各对应边的中点 当n2时，如图，AECG，DHBF2AE 矩形ABCD中，有BC2AB 仍必须有E、F、G、H为矩形ABCD各边中点 （2）当n3时，如图 AECG，BFDH3AE 设AEx，则BFDH3x，BEaxDG AHCF3a3x ， a6>0，开口向上 ， 即点E为AB中点 从而点F、G、H也应分别是BC、CD、DA的中点 即当E、F、G、H运动至矩形ABCD各边中点，有 （3）当nk（k1）时，上述规律和猜

8、想是成立的 理由：设AECGx，则BFDHkx （二）线动型动态探究题 例4. 如图，在平行四边形ABCD中，AD4cm，A60°，BDAD，一动点P从A出发以每秒1cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD于点E （1）当点P运动2S时，设直线PM与AD相交于点E，求APE的面积。 （2）当点P运动2S时，另一动点Q也从A出发沿ABC的路线运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动，过Q作直线QN，使QN/PM，设点Q运动的时间为t秒（0t10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2，求S关于t的函数关系式。 分析：（1）较简单 （2）难点在

9、于不能准确把握运动过程中P、Q两点的可能位置，由于P、Q两点运动速度不同，因此P、Q不一定都在AB上，当0x6时，点P、Q都在AB上，相应PM与QN的位置较易探寻。 当6x8时，点P在BC上，而点Q在AB上，围成四边形面积可表示 当8x10时，点P、Q都在BC上运动，相应的垂直围成的四边形形状又发生变化，因此本题关键在于分类讨论。 解：（1）当点P运动2S时，AP2cm，由A60° （2）点P速度为1cm/s，点Q在AB上的速度为1cm/s 又AD4，A60° AB8cm 点P在AB上运动8秒钟，而点Q晚2秒钟开始运动 点Q在AB上运动8秒钟 <1>当0t6时，

10、点P与点Q都在AB上运动 设PM与AD交于点E，QN与AD交于点F，如图 ， 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为： <2>当6t8时，点P在BC运动，点Q仍在AB上运动，如图 设PM与DC交于点E，QN与AD交于点F ， ， <3>当8t10，点P和点Q都在BC上运动，如图  ， 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为： 例5. 如图在平面直角坐标系内，点A和C的坐标分别为（4，8）（0，5），过点A作ABx轴于点B，过OB上的动点D作直线ykxb平行于AC，与AB相交于点E，连结CD，过点E作EF/CD交AC于点F （1）求经过A、C两点的直线解析式

11、。 （2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、b的值；若不能，请说明理由。 （3）如果将直线AC作上、下平移，交y轴于点C，交AB于点A，连结OC，过点E作EF/DC，交AC于点F，那么能否使四边形CDEF成为正方形？若能请求出此时正方形的面积，若不能，说明理由。 分析：本题难点在于在运动状态下探讨图形是矩形和正方形的可能性问题，可先假设结论成立，利用条件和相关知识探求需要的条件，从而作出恰当判别。 解：（1）设直线AC的解析式为ymxn，由条件得： （2）假设能，则CDE90° 设ODx CDODEB CODDBE 经检验： 点D在OB上 （3）直

12、线AC在直线DE的下方，这时A落在EB上 EF<AEBE<ED 这时不存在正方形CDEF 直线AC在直线DE的上方，这时必有CDDE CDE90° 则RtCODRtDBE ODBE 设ODx，则BEx，BD4x 由（2）知： 经检验： 存在符合条件的点D，此时 正方形CDEF的面积：  （三）圆动型动态探究题 例6. A、B （1）求A、B两点的坐标。 （2）一个圆心在坐标原点，半径为1的圆以0.4个单位/秒的速度向x轴正方向运动，问在什么时刻与直线l相切？ （3）在题（2）中若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以0.5个单位/秒的速度运动，问整

13、个运动过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？ 分析：（1）较简单 （2）可先设想圆运动至与直线l相切的位置后，再借助图形利用相似获得结果，应考虑切点在点A的右侧的情况。 （3）点P在动圆的圆面上运行的路程应是以点A左侧与动圆的切点至A点右侧与动圆的动点之间的线段长，可得结论。 解： 令x0，得y3； 令y0，得x4 A、B两点的坐标分别为A（4，0），B（0，3） （2）如图 若动圆的圆心在C处与直线l相切，切点为D 连CD，则CDAD； CDAAOB90°； 又CADBAO ； 根据对称性，圆C还可能在直线l的右侧，与直线l相切 （3）如图 设在t秒时刻，

14、动圆的圆心在F处，动点在P点处 此时OF0.4t，BP0.5t F点的坐标为（0.4t，0），连PF ； ； 点P的横坐标为0.4 t ； 又点P在直线AB上；P点的纵坐标为0.3t3 可见，当PF1时，点P在动圆上 当0PF<1时，点P在动圆内 当PF1时，由对称性知，有两种情况 当P点在x轴下方时，PF（0.3t3）1 当点P在x轴上方时，PF0.3t31 答： 其他动点例1（2006年福建晋州）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，A=60°，BDAD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD.1当点P运动2秒时，设直

15、线PM与AD相交于点E，求APE的面积；2当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿AB的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QNPM，设点Q运动的时间为t秒（0t8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）. （1）求S关于t的函数关系式；（2）求S的最大值.1.分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特殊位置.由题意知，点P为动点，所走的路线为：ABC速度为1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，进而求出APE的面积.略解

16、：由AP=2 ，A=60°得AE=1，EP= . 因此.2.分析：两点同时运动，点P在前，点Q在后，速度相等，因此两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后，又到BC边上运动.因此PM、QN截平行四边形ABCD所得图形不同.故分两种情况：（1）当P、Q都在AB上运动时，PM、QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此时0t6.当P在BC上运动，而Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时6t8.略解：当P、Q同时在AB边上运动时，0t6.AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函数

17、PG=(t+2),FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S =·(QF+PG)·FG=t+(t+2)·1=t+.当6t8时，S=S平行四边形ABCD-SAQF-SGCP.易求S平行四边形ABCD=16,SAQF=AF·QF=t2.而SCGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得PG=(10-t).SCGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t)2.S=16-t2-(10-t)2=(6t8分析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大

18、值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0t6和6t8时的最大值. 0t6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当 6t8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.略解：由于所以t=6时，S最大；由于S(6t8,所以t=8时，S最大=6.综上所述, 当t=8时，S最大=6.例2（2006年锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).1

19、.求A、B两点的坐标；2.设OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0t6)，试求S与t的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？ 1.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标.解：四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，OA=AB=BC=CO=4.如图，过点A作ADOC于D.AOC=60°，OD=2，AD=. A(2, )，B（6, ）.2.分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之一.直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：0t2时，直线l与OA、OC两边相交(如图). 2t4时，直线l与AB、OC两边相交(如图).4t6时，直线l与AB、BC两边相交(如图).略解：MNOC，ON=t. MN=ONtan60°=.S=ON·MN=t2.S=ON·MN=t·2=t. 方法一：设直线l与x轴交于点H.MN2-(t-4)=6-t, S=MN·OH=(6-t)t=-t2+3t.方法二：设直线l与x轴交于点H.S=SOMH-SONH，S=t·2-