柔性杆柔性铰机器人刚柔耦合动力学_图文

1、南京理工大学硕士学位论文柔性杆柔性铰机器人刚柔耦合动力学 姓名:刘俊申请学位级别:硕士专业:一般力学与力学基础 指导教师:章定国20060531摘 要随着机器人朝着高速化、精密化、轻质化和大跨度化方向发展,部件的柔性 效应交得日益突出。柔性部件在作大范围运动时,柔性变形与其大范围运动的相 互耦合,以及由此而产生的“动力刚化”效应等问题增加了正确分析系统动力学 性态的难度,并成为了机器人工程领域的普遍问题和关键技术。本文在前人研究 的基础上,对柔性杆柔性铰机器人刚柔耦合动力学进行了探讨。同时考虑机器人 杆件和铰的柔性变形,其中,柔性杆件变形不仅包括拉伸变形、弯曲变形,还含 有扭转变形。得到一个较

2、完善的多杆全柔机器人模型。采用4X4的齐次交换矩 阵描述部件的位姿,并程式化地计入了杆件“动力刚化”项和铰的质量带来的影 响,首次建立了多杆全柔机器人的一次刚柔耦合动力学理论模型,推导出矩阵形 式的Lagrange动力学方程。所得到的方程形式优美,结构清晰,便于计算机编 程。在建模过程分析了矩阵间的递推关系,利用这些关系进行矩阵计算,提高计 算效率。本文在最后还对不同情况下的机器人具体算例进行动力学仿真和分析。关键词:柔性杆柔性铰机器人一次刚柔耦合动力学AbstractWith the uend of high speed,high precision,light weight and lar

3、ge scale ofmanipulators,the effects of flexible components become moreimportant than before.While the component is undergomg large overall motion,its elastic deformations couples with the motion,which brings some problems such as'dynamic stiffening" effect to increase the accuracy of dynami

4、c analysis.These problems become the general problems and key tcchnolo#es in the area of manipulator engineering.ne discussing about the manipulators with flexible links and flexible joints is based on the former researches.m flexible effects of links and joints arc both taken into account.To the de

5、formation ofthe links,not only the mnsinn and bending deflection are considered,but also the torsion deflection.Then the model of flexible manipulatorswith more consideration is giVeIL 4x4homogeneous transformation matrices ale used to describe the positions and orientations of components.111e dynam

6、ic stiffeningitem and the mass ofjoints Can be brought into the matric嚣.The first-order rigid-flexible coupling dynamic model of flexible manipulators is built for the first time.劬m which the Lagrange dy砌nic equations in the form of matrices have been deduced.111e equations with a nice form and clea

7、r arrangement are effective for proFamming.During the modeling,the re;cursive relation among thematrices isanalyzed,SO that the matricesCan be calculated in an ef=|icient way. Several examples are simulated and analyzed under different conditions.Key words:flexible link,flexible joi鸸manipulator,firs

8、t-order rigid-flexible coupling dynamics.声 明本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果,尽我所知,在 本学位论文中,除了加以标注和致谢的部分外,不包含其他人已经发 表或公肖过的研究成果,也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历箍使耀过的材料。与我一囝工作的丽事对本学位论文徽离的贡献均 已在论文中作了明确的说明。研究生签名:塑I I塾 刀。z年歹月髟日学位论文使用授权声明南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档,可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容,可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公r布本学位论文的全部或部分内容。对

9、 于保密论文,按保密的有关规定和程序处理。研究生签名:塑l!奎:却年#胃,占日硕士论文 柔性杆柔性铰机器人刚柔耦合动力学1绪论机器人作为近代工业技术发展的一个产物,集成了人类智慧的结晶,在当今社会 发挥着重要的作用。“机器人”一词源于捷克语“Robota”,意思为工作。根据美国机 器人协会的定义,机器人是一种可再编程的多功能操作机,可以用各种编程的动作完 成多种作业,用于搬运材料、工件、工具和专用装置。机器人相对于人类有着许多优 势,例如机器人可以在恶劣危险的环境,甚至是人类无法作业的地方进行高强度、精 密、快速工作。这些优势已经在工业生产中得到充分的体现。同时,机器人也充斥着 其它领域,如地

10、质勘探的探测机器人、医疗领域的微型机器人、军事机器人、太空机 器人等。机器人技术综合了许多领域前沿的理论和技术,它的发展水平可以从侧面反 映一个国家的综合科技水平,我国在这方面投入的比重也比较大.机器人的出现和广泛应用,促进了机器人动力学的产生和发展。机器人动力学主 要是研究机器人机构的动力学,为机器人的机构优化以及机器人的控制提供了理论依 据。要使机器人按照人们的设想,代替人类的工作,就必须对机器人的动作进行控制 和规划。而在此之前,必须了解机器人的动力学特性,对其进行动力学分析,然后根 据设计的动作方式对其控制,从而使机器人按照人类意图完成工作。机器人机构包括 机械机构和驱动装置,是机器人

11、的主体,属于机器人系统中被控制的对象。通过对这 些机构的控制,以实现机器人的各种功能运动和操作。同其它力学分支相比,机器人 动力学与现代控制技术和计算技术更为密切相关。机器人系统一般都是多体系统,动 力学模型比较庞大,而在对机器人实时控制的时候,不可避免地要运用现代计算技术, 并且需要解决一系列新的问题“1。传统机器人动力学是以刚体动力学为理论基础的, 它主要是建立在机器人部件刚性化的基本假设之上的。随着机器人系统向着高速、重 载、高精度方向发展,机器人部件向着轻质、大跨度、大柔度方向发展,必然会引起 部件的柔性变形增大,“柔性效应”已经是一个不可再被忽略的因素了。因此产生了 柔性机器人的概念

12、,并为之引入了新的机器人动力学理论。硕士论文 柔性杆柔性铰机器人剐柔耦合动力学年代初逐步形成了连杆机构弹性动力学,文献。1在总结之前工作时,将其称为 “KinetoElastodynamics(KED”,即“运动弹性动力学”。该方法不考虑构件弹性 变形对其大范围运动的影响,而是通过多刚体系统动力学分析得到构件运动性态,加 上构件的惯量特性,以惯性力的形式加到构件上,然后根据惯性力和系统的外力对构 件进行弹性变形和强度分析。实质上这种方法是将柔性多体系统动力学问题转变为多 刚体系统动力学与结构动力学的简单叠加,忽略了二者的耦合作用。这种方法在处理 随后日益复杂的柔性机器人系统时,逐渐暴露出其局限

13、性旧。为了考虑构件弹性变形 对其空间大范围运动的影响,研究者们认为构件的位形是构件在随着自身刚体坐标系 大范围运动与构件在连体坐标系中的柔性变形相互叠加,提出了用大范围浮动坐标系 的刚体坐标与柔性体的节点坐标或模态坐标建立动力学模型。这种方法本质上属于一 种零次近似的刚柔耦合动力学。此时,对机器人动力学的研究逐渐从原来简单的多刚 体系统动力学与结构动力学简单叠加的动力学分析慢慢转向日趋完善的多柔体系统 动力学分析上来.这种方法一般情况下可以很好地接近工程实际嘲.然而,1987年 Kane州等人对固结于运动基座上的悬臂梁模型进行动力学分析时,发现当悬臂梁高速 旋转时,按零次近似建模理论计算出的悬

14、臂梁挠度趋于发散,变形将无限增大,这与 实际情况相违背。随后,Kane对弹性梁的变形作了比较精确的描述(包括弯曲变形、 剪切变形和扭曲变形,并首次提出了“动力刚化”的概念。这一问题的提出,引起 了各国研究者的关注,并将多柔体系统动力学的研究引向深入,鉴于柔性机器人动力 学发展强烈地依赖于多体系统动力学的理论发展,故在下面多体系统动力学的发展概 况作一简单的介绍。多体系统动力学主要研究的是由可变形体以及刚体所组成的系统在经历大范围 空间运动时的动力学行为。研究物体变形与其整体刚体运动的相互作用或耦合,以及 这种耦合所导致的独特的动力学效应,是柔性多体系统动力学区别于其他动力学的显 著特征.对于多

15、体系统动力学的研究可以追溯到上世纪60年代初,在航天、车辆、机械 等领域,一些学者开始了多体系统动力学的探索和研究,从而产生了将部件视为刚体 进行分析的多刚体系统动力学,并且得到了迅猛的发展。到70年代末80年代初,多 刚体系统动力学的计算机辅助分析软件系统在国外已经达到了商业化水平,标志着多 刚体系统动力学在理论研究、计算方法以及软件开发应用都已日趋成熟。与此同时, 柔性多体系统动力学的相关研究也已经展开。随着部件尺寸增大、结构轻质化,削弱 了部件的刚度,部件运行速度却在不断提高,给工作者们提出了新的要求。而在工程 应用中碰到的实际问题则更凸现了柔性多体系统建模的必要。早在在1958年,美国

16、 发射的第一颗人造卫星“探险者l号”,由于卫星控制系统是按照刚性卫星设计的, 没有考虑四根鞭状天线的弹性变形,最终天线的振动耗散了能量,从而导致卫星的翻 2滚。而“国际通讯卫星V号”的柔性太阳帆板的较高阶频率的扭转振动与驱动系统发 生谐振而导致帆板停转和打滑。在机械方面,特别是机械臂的运动学、动力学、逆运 动学和逆动力学以及控制问题,一直为众人关注,随着高效、精密机器人运作的需要, 轻型、高速、重复精度高的机械臂的研究已经被列入机器人学的五大专题之一.如激 光切割机械臂要求末端运动加速度达3.59,而轨迹跟踪误差却只允许在±0.2mm左 右,这些都需要在机械臂动力学和控制中采用柔性体

17、模型。这些问题促使人们愈来愈 重视柔性多体系统动力学建模在动力学分析中的作用,对多体动力学建模和研究都提 出了更迫切的需求。有关柔性多体系统动力学的理论工作由此展开了。80年代以来, 航天、机器人和车辆工程等领域的学者开展了广泛的交流与合作,使得柔性多体系统 动力学的理论研究不断深化与完善,也使许多以多体理论为核心的大型通用软件不断 涌现,其中包括著名的ADAMS,DADS,MEDYNA等。经过几十年的努力,到目前为止, 多体系统动力学有了很大进展,取得了许多研究成果,主要有:建模的基本原理和方 法;对所建立的数学模型进行有效的检验,如数值仿真以及实物模型实验的效验等; 建立可以完成计算策略与

18、数值算法的软、硬件系统。在国际交流方面,1977年在德 国举办了IUTAM“多体动力学研讨会”,1983年NATO-NSF-ARD“机械系统动力学计算 机分析与优化讲习会”(依阿华,美国,1985年IUTAM/IFTOMM“多体系统动力学研 讨会”(尤迪尼,意大利,这三次会议为以后多体系统动力学发展奠定了基础,并且 先后出现了一些多体系统动力学通用程序。引起了国际上对多体系统动力学的空前关 注。我国从1986年多刚体系统动力学研讨会(北京及1988年首次召开“柔性多体 系统动力学讨论班”(长春以来,在该领域也取得了长足的进步。在1992年的全国 多体系统动力学理论、计算方法、应用学术会议和19

19、96年的全国多体系统动力学与 控制学术会议上,集中展示了近年来我国在该领域的理论研究和应用方面所取得的丰 硕成果陬町.同时国内在动力学建模“”、符号推导“”、优化计算“”等方面都得到了 深入探索和研究,并且在多体系统碰撞动力学“”1与变拓扑的多体系统动力学溉别 方面作了大量的工作,同时在实际工程中得到了广泛的应用。在不长的时间内,国内 在理论研究和实际应用两个方面都取得显著的进展。1987年,Kane提出了弹性梁大范围运动时。动力刚化”问题,揭示了传统零次近 似方法在描述对象的数学模型的准确上存在很大的局限性,从而揭开了刚柔耦合问题 研究的序幕。“动力刚化”问题实质上是一个非惯性系下的结构动力

20、学问题,只是刚 柔耦合动力学的一种特例情况”1,但对这个问题的研究也揭示出了刚柔耦合动力学的 一些机理。国内外的许多学者开始对一些简单结构(如旋转梁或板的动力学特性进行 研究,他们在研究过程中不断提出了诸多方法,Banerjee和Kane。”根据薄板中面不可 伸展的几何约束条件对大范围运动下的弹性薄板的动力学特性进行研究;Haering, Ryan嘲类似采用了扩展的几何约束,得NT大范围平面运动梁的刚柔耦合效应;而Boutaghou,Erdlan”则是选择了Hamilton原理,建立了一般柔性体的刚柔耦合动力 学模型。洪嘉振、杨辉咖利用有限元方法,推导出梁在变形位移场耦合作用的情况下 的动力学

21、模型;刘又午、王建明嘲在有限元方法中,引入了单元耦合形函数,利用几 何非线性的应变位移关系,建立了含有动力刚度项的矩形板动力学模型;洪嘉振和杨 辉等渊又用单轴气浮台动力学实验平台对旋转的柔性梁大范围运动下的刚柔耦合效 应进行了实验研究。都不同地捕捉和观察到了刚柔耦合效应。但是,这些方法出发点 各不相同、研究形式各异,对柔性多体系统动力学的刚柔耦合问题的实质也不相同, 较难形成统一公认的结论。这表明对柔性多体系统刚柔耦合动力学机理的认识上以及 所描述对象数学模型的准确性上有待深入和统一。目前,对柔性多体系统刚柔耦合动 力学研究的大致任务主要有:一、从力学基本原理出发研究物体大范围运动与弹性变 形

22、耦合的力学机理,建立比较精确的耦合动力学模型,提出存在大范围运动状态下构 件的离散方法。在这一研究工作的基础上,考虑一般构件在大范围运动已知和未知的 情况下的离散方法;二、研究刚柔混合多体系统的全物理仿真探测技术,充分揭示刚 柔耦合的特征。深入观察与发现各种动载条件下柔性多体的动力学性态和力学本质。 在此基础上验证刚柔耦合动力学模型和数值计算方法的正确性;三、提出复杂柔性多 体系统耦合动力学程式化的建模方法,以解决工程中的复杂系统动力学与控制性态的 分析为最终目标,在上两项研究的基础上导出适合计算机编程且具有良好数值计算性 态的程式化的建模方法。四、确定零次近似建模方法的应用范围。考虑到零次近

23、似建 模方法及其软件系统对解决某些柔性多体系统具有足够的精度,与刚柔耦合模型相比 又有计算工作量较小的特点,为此从较精确的刚柔耦合动力学模型出发,研究比较两 种模型仿真结果的差异,研究零次近似建模方法失效的原因,提出该模型的适用范围 的判据.柔性多体系统动力学问题属力学问题范畴,其控制方程推导的基本原理和方法自 然是采用一般力学问题推导的原理和方法。总的来说,柔性多体系统动力学方程的建 立方法主要有三类:一类为牛顿一欧拉(Newton-Euler向量力学法,简称N-E法。另 一类为以拉格朗日(Lagrange方程为代表的分析力学方法。拉格朗日方法在力学中运 用非常广泛,尽管其推导公式比较繁琐,

24、但在柔性多体系统动力学的重要应用是不可 小视的,属于分析力学的方法还有哈密顿(Hamilton原理、虚位移原理和虚速度原理 等,以及基于达朗贝尔(dAlembeft原理,引入了偏速度、偏角速度,导出动力学 方程的Kane法。第三类方法是基于高斯(Gauss原理等具有极小值性质的极值原理。 这类方法开辟了一个不必建立系统运动微分方程的新途径,可直接应用于优化计算进 行动力学分析。还有其他方法,不过都可以看成是在这三类原理和方法基础之上的变 型和拓展。而对于多体系统运动和变形的描述按照选取的参照系的不同,可分为绝对描述和 4相对描述。Shabana等用绝对坐标方法建立了柔性多体系统的动力学模型,该

25、方法 用一致质量有限元方法对柔性体进行离散,而对于柔性体的大范围转动则采用Euler 四元数来描述。采用绝对坐标方法具有程式化好、比较直观、编程方便等优点,但该 方法的广义坐标和约束方程较多,重复循环计算较多,计算量较大,尤其对大型复杂 系统,计算效率较差。Haugt3町在用铰相对坐标建立多刚体系统动力学模型的基础上, 根据矢量变分方法(Variational-Vector Calculus Method和虚功原理,采用铰相对 坐标加模态坐标的方法,建立了开环及含闭环的柔性多体系统的动力学模型。而 Book则将相对齐次坐标写成传递矩阵形式,得出采用齐次坐标形式的相对坐标矩阵 之间的单向递推转换

26、关系,并给计算机数值计算提供了一条捷径。采用相对坐标方法 可以减少动力学方程广义坐标和约束方程个数、提高计算效率。潘振宽、洪嘉振和刘延柱等根据Jourdain变分原理,建立了绝对坐标下单柔体 的动力学模型,利用递推关系,提出了相对坐标形式的树形柔性多体系统动力学的单 向递推组集建模方法,并将其发展到含闭环的柔性多体系统中“”。该方法充分利用了 绝对坐标方法建模的程式形式,以单向递推组集方法建立系统的动力学方程,具有较 高的计算效率。对于闭环系统,该方法建立了绝对坐标下的切断铰约束库,利用递推 关系将其转换到铰相对坐标和模态坐标上,得到了微分一代数形式的闭环柔性多体系 统动力学方程。对于刚柔耦合

27、动力学的建模方法,概括起来主要有:附加初始应力几何刚度法、 非线性有限元法、子结构法以及有限段法蚴.附加初始应力几何刚度法方法认为动力 刚度项是由于大范围运动所产生的惯性力作用在变形柔性体上产生的初始应力而产 生的,并将其产生的动力刚度称为大范围诱发刚度(motion-induced stiffness。该 方法将大范围刚体运动所产生的惯性力分为3个平移运动产生的惯性力、3个科氏惯性 力、3个法向离心惯性力和3个切向惯性力以及由它们所组成的9个惯性力偶,然后采 用结构力学中的单位力法形成动力刚度阵,加到零次耦合模型形成新的系统动力学方 程。在将该方法推广到柔性多体系统中时,用类似的方法形成由约

28、束反力及外力所产 生的初始应力几何刚度阵;非线性有限元法则认为动力刚度项是由于柔性体大挠度所 引起的应变与位移之间的几何非线性关系所引起,并将其得到的刚度称为几何刚度 (geometric stiffness。该方法在求系统的应变能时引入了应变与位移的几何非线 性关系,然后再将系统动力学方程中的非线性项作一近似变换。其中有两种近似变换 方法:其一是将非线性表示为与大范围运动有关的动力刚度阵;其二是将非线性项表 示成与节点位移有关的几何刚度矩阵。与大范围运动有关的动力刚度阵和与节点位移 有关的几何刚度阵都具有与动力刚度项相同的性质;子结构法认为柔性体大变形所产 生的几何非线性是产生动力刚度项相同

29、影响的主要原因。该方法把柔性体分为若干个 子结构,用假设模态法或线性有限元处理子结构的内部变形,对子结构边界公共节点定义其位移约束方程,表示相邻子结构之间的位移协调性,相当于把柔性体的位移用 广义坐标的分段函数表示,各段内部为线性,但整个函数却为非线性;有限段法类似 于子结构法。该方法将柔性体分为有限个刚体段,用刚体段表示柔性体的惯性参数, 将每段的刚度和阻尼向节点等效移植,外力向刚体段质心移植,把柔性体表示成用弹 簧(包括拉压、弯曲、扭转和阻尼器相连的多个刚体段。每段的变形位移用线性弹 簧的弹性位移表示,对于整个柔性体来说却是非线性,因此与子结构方法一样,可以 使系统动力学性质包含了几何非线

30、性的影响。本文的内容具体安排如下:第一章为绪论,介绍了本文的研究背景和意义,柔性机器人及其动力学理论的发 展,刚柔耦合动力学的概况,以及针对柔性机器人动力学仿真的现状。第二章主要针对刚柔耦合动力学,以单杆全柔机器人为切入点进行刚柔耦合动力 学建模,以此为下一章的多柔性杆全柔机器人的动力学分析奠定基础。并对一个具体 的单杆柔性机器人实例进行动力学仿真,通过和零次耦合模型的机器人动力学的比 较,揭示采用机器人刚柔耦合动力学的必要性和方法的可行性。第三章对多杆全柔机器人的刚柔耦合动力学进行了建模,全面介绍了将“动力刚 化”项程式化嵌入柔性机器人动力学方程,从而形成一次刚柔耦合动力学模型的过程。 本章

31、所得的柔性机器人动力学方程考虑了柔性杆的弯、扭、拉组合变形、考虑了铰的 柔性效应,计及了“动力刚化”效应。在建模过程中为提高计算效率,大量地采用了 运动学递推算法,所得的方程特别适合于计算机程式化计算。第四章研究了柔性机器人动力学仿真,基于第三章所得的多杆柔性机器人动力学 理论,采用C+语言编制了通用的多杆全柔机器人动力学仿真软件,给出了数个柔性 机器人动力学的仿真算例,验证了理论和软件的正确性和先进性第五章为全文总结。对本文研究的内容、特点以及缺陷作了概括,确定以后研究 的方向。本论文的创新和特色将体现在;建立了全柔机器人(柔性杆柔性铰机器人的动 力学模型,对于柔性杆的变形,不仅考虑拉伸、弯

32、曲,而且还考虑了扭转。这是目前 所能见到的考虑变形最完善的机器人动力学模型;首次建立了多杆全柔机器人的一次 耦合动力学理论模型,并实现了程式化计算,从而为机器人动力学提供了全新的刚柔 耦合模型;所得的动力学方程形式优美,由标量矩阵相乘或相加而得,特别适合于计 算机编程。在建模过程中,大量采用了运动学递推算法,大大提高了计算效率.6硕士论文 柔性杆柔性铰机器人刚柔祸合动力学2单杆全柔机器人刚柔耦合动力学机器人的柔性主要集中在臂杆和铰两个部分,对于柔性臂杆刚性铰机器人和刚性 臂杆柔性铰机器人的动力学研究已经较丰富删,然而对于同时具有柔性臂杆和柔性 铰的全柔机器人的动力学研究还处在起步阶段,尚少见计

33、及动力刚化效应的一次耦合 模型的出现明。本章将对由一柔杆和一柔铰组成的单杆全柔机器人的一次刚柔耦合 动力学进行研究,建立其新型的动力学模型,揭示刚柔耦合模型的必要性,并为下一 章的多杆全柔机器人的刚柔耦合动力学可行性预研。本文中的柔性梁主要基于下列假设:(1材料各向同性,本构关系满足Hooke 定律;(2梁在变形前垂直于轴线的截面变形后仍为平面,且垂直于该轴线。剪切效 应不计;(3均匀材料,各横截面的面积相等,偏心矩为零;(4小变形和小应变假 设。由于传统的零次近似模型的不足,因此关于杆件变形在这里采用二次耦合的变形 位移形式。对于一个三维的细长伯努利一欧拉梁来说,其上任意一点P(x,Y,:在

34、连体 坐标系下OXrlz满足下列形式“町:7硕士论文 柔性杆柔性铰机器人刚柔耦合动力学p=苫+“一胪砂三r川2始rI=1,一矽+J, (2.2.1 Iz=w+州+z,【其中u(x,r是中性轴上的轴向变形,v似0和w(x,f分别是在P和方向上的弯 曲变形,而矿(z,则是杆的截面绕着中性轴所转过的角度,即杆件的扭转。在中性轴 处,Y和z都为零,可以得到的杆件上点的位置形式如下:I=一圭r(Vf2.-Wt2鸳P=v (2.2.2 【ZI=w我们注意到在x方向上,多了一项一告r(v'24.W'2df项。我们将上面的位移场的公式运用到单杆全柔机器人中来。杆上x处一点在轴向上 的位移场上的

35、位移可以表示为:其中埘xl(X,f为式(2.2.2中的“(x,f,而心2(暑f有:心:(x,=一告r(v。+.,。df (2.2.4 因为单杆全柔机器人是绕着铰的转动轴在一个平面内作旋转运动,故我们在这里 考虑的是平面运动的情况。对于杆上未变形时,点P(x在变形后的位置矢量为:硕士论文 柔性杆柔性铰机器人刚柔耦合动力学尹=(x+(工,ff。+V(工,ty (2.2.5 对式(2.2.5进行求导,即得到该点的速度为:尹=(如+或2一V吼f+(苫+lh+虬2口2+t】7 (2.2.6 于是系统的动能为:r=告f舢砖+2/iX。也2+jlx2-t-V2+爵(,+2XUzl 4"2XUx:+

36、砖+2Uxl虬2+心+V2+2蟊(也1V-/ix2v+x帚+tJxlv+也2v】&(2.2.7 +寺J,n2rt2t其中ql为柔性铰上靠近转子端的转轴的角位移,即传动装置输出到铰上的角位 移。n为转子传动系中变速齿轮的变速比,吼为铰上的靠近杆端的角位移,可以看作 杆相对于初始状态绕z轴所转过的角度。正为转子绕z轴方向的转动惯量。P是杆 的密度,4为杆横截面面积。则pA为杆的线密度,由杆的假设可以得出线密度为一 个常数。系统的势能主要是由杆的变形势能和铰的变形势能两部分组成,通过材料力学的知识,可以求得如下的势能:V=三f尉(半2出+扣(等卜i1Kt(2亿z 上式中的第1项表示的是柔性杆

37、的拉压势能,第2项为柔性杆的弯曲势能,第3项为柔性铰的扭转势能。点×为杆的抗拉刚度,日为杆的抗弯刚度,髓为铰的扭转 刚度系数。采用模态假设法对柔性杆进行离散:%伉f=(抛(f (2.2.9 肼v(x,f=艺屯E(f (2.2.10 J-I则有:铲一要兰量白(xBs(tBj(tlIll-1其中:删=r(警2出 这样,以吼,q2,4,E,(f=1,2,啪为广义坐标,(2.2。11将系统动能和势能代入 9!生竺塞一差竺堑墨丝簦垫量叁!墨塑鱼垫垄兰Lagrange动力学方程,经过必要的推导和运算,可以得到如下形式的动力学方程组;Z 00000Jo巩p呵R啊 %】l打0l可月l羁咿j;i.;i

38、 . ;0%彬螂1M 昂mdyl4IPA,IlE咿MlPNJ"fMIl盱 iMl叮l啊M叭M啊其中:I里 坚苎!L塑w孵晰以=PAl+2善&4+芝%44+芝芝皿马一羔芝%置目lEll-l J=l拉Ij。-l。坚监研1啊斟研N,乏厶4骂盈+主芝芝芝芝占k点名忍届 一m-IJ-lk-I#11,-l k一1fl。,pt=二艺m唰BiJ-l竖磷Nl 、硅l M只=&+4+芝芝&哆尾一告羔芝岛毋,IJ-lk-1JIltIl肼嘲=马J-I监NlNl、埘研M=s+4+芝芝啄马盈一去芝芝日反J-lJIlk-1J-II-l坞=%+盈马咿M91=f一地+Ktq2竖 .翌监.酵醒

39、研群乌:=-2香:(艺&五+艺钿丑4+芝芝直巧一芝芝%宣马llll-Ij=l坪11=1IIlj-I一三萋兰兰厶她忍一善Icf咿Nf埘驰+导兰兰兰兰她俐 一言厶五E忍一厶4匆尾+芝芝芝兰zo宣占,忍E -扣l J-Ik-Il-l J-Ik-II.1,。lti百。晰晰晰一艺%宣声盈+Ktq,一魄踟办幽;踟踟;踟磊 玩 互 ; 劫 茸 ; 。 %善 § 硕士论文 柔性杆柔性铰机器人刚柔耦合动力学QI=霹(&+开%4一厶目&+2吼(,l聊鸟J。1,。1。1j*l(2.2.22 +靠鸟宝一%41-1k=l J-I槲 晰 研研 1吲埘蝌瓯=篚(芝聊坤岛一%目一艺矗易4+寺

40、%目忍马J-l 1=1,-l k=l -j=l置11=1斟碰,Vf,Vf M+2q:(芝艺鸟巨一%马反一%4 (2.2.23 J-l k-I j=lttl J=l一%易摩骞一%岛J-lk=l l=l J=l上面所得到的方程,即是单杆全柔机器人的刚柔耦合动力学方程,方程中计及了 动力刚化效应,是一次耦合模型下的动力学方程,它可以方便地退化到原来的零次耦 合模型下的动力学方程。从下面的例子中是自己编制的单杆全柔机器人动力学仿真软 件仿真结果,显示一次耦合模型和零次模型的重大差别。柔性杆的基本参数:杆长1m,单位长度质量pA=0.202kg/m,E1=566.71Mf2, EA=5.0325x106

41、N。在不考虑重力影响的情况下对下面两种情况进行仿真。第一种运动情形是柔性杆转动的角速度CO=70rad/s,第二种运动情形为 国=200rad/a.选取积分时间长度为0.15s,步长选取0.00005s,得到下面的结果:O咖 n删删2n n姒删5嘲 d时辩O舯 眦 O*Om nm O竹 n佗 4¨O俘 t曲硕士论文 柔性杆黍性铰机器人刚柔耦合动力学蜥O.OaO nO屿n'4'0.110q1怡m。n岱n1 t n000020.04哪 ooa nlo n伫 014O碡 t舯通过观察图2.3.1和图2.3.2,可以看出在低速转动时(国=70rad/s,传统零 次近似模型和一

42、次近似刚柔耦合模型杆末端的相对变形比较接近,但考虑了动力刚化 效应后的模型横向振动频率变大,周期交小,但基本上来说对系统影响不大。而在高 速转动(国=200rad/s情况下,没有考虑动力刚化效应的传统零次近似模型在轴向上 的变形越来越大,趋于发敏。而在横向的变形变化更大,显然这是与实际情况不相符 的。而考虑动力刚化效应的刚柔耦合模型得到的结果还是稳定的,接近实际情况。由 此可见,对柔性机器人进行刚柔耦合动力学建模是有必要的。硕士论文 柔性杆柔性铰机器人刚柔耦合动力学3柔性机器人动力学建模随着机器人在各个领域内的广泛应用,机器人技术得到了很大的发展,并且不断 推陈出新.目前机器人的部件朝着大跨度

43、化、轻质化发展,而机器人的运行速度也越 来快、对它的工作要求也更加精细化。这使得机器人部件的固有的柔性效应的影响越 来越突出,并成为机器人工程领域普遍问题和关键技术。此外,柔性杆在作大范围运 动时,大范围运动与其弹性变形之间耦合,并导致“动力刚化”效应,使机器人动力 学变得更为复杂。传统的柔性机器人动力学理论中采用的是零次耦合的模型(即未计及动力刚化 项,未见柔性机器人的一次刚柔耦合模型的出现”,本章将对多杆全柔机器人的 刚柔耦合动力学进行研究,将“动力刚化”项程式化地引入动力学模型中,从而建立 起多杆全柔机器人的一次刚柔耦合动力学模型。柔性机器人的结构比较复杂,一个柔性机器人的主要结构视为柔

44、性杆通过柔性铰 相互联结起来的链式拓扑结构,因此,要对机器人进行建模,就必须对这两种部件进 行数学描述。铰部分可以看成下列结构:铰i直流发动机驱动转子高速转动,经由传动装置的齿轮变速,输出到柔性铰上,由 于铰上的弹性力矩作用而带动下一根杆件的运动。在小变形的情况下,传动装置到杆 端的铰部分可以看成是一个扭转刚度系数为K的线性扭簧。另外传动装置的转子是 转子转动轴轴对称的,如图3.2.1所示。图3.2.2为铰的局部示意图,图中m,为传 动装置输出到铰上的角位移,勉为铰输出到杆i上的角位移,相当于杆i杆端转过硕士论文 柔性杆柔性铰机嚣人刚柔耦合动力学的转角嘲.而对于杆件部分,杆的模型假设基于伯努利

45、一欧拉梁的假设。材料均匀,各向同 性,本构关系满足Hooke定律;横截面的面积相等,偏心矩为零;杆的变形满足小变 形和小应变假设;杆在变形前垂直于中性轴的截面和变形后保持为平面,且始终垂直 于中性轴。考虑到齐次变换矩阵的优势,本文在笛卡尔坐标系采用了增广矢量【l X-component y-component z-componentT (3.3.1 相应的齐次变换矩阵为一4X4的矩阵,形式如下:JW=0TR其中xj,.,zjr是坐标系Ix,J,=L的原点在坐标系瞳,Y,z】,中的坐标列阵,相应的 位置矢量,R。为坐标系J到坐标系i的旋转变换矩阵。7W即为坐标系陋,Y,刁,到坐 标系Ix,y,=

46、】,的齐次变换矩阵。根据柔性铰结构,角位移是关于铰的转动轴方向的变量,可以将铰在杆i杆端绕 转动轴的角位移叮2,以及传动装置输出到铰上的角位移钆作为其运动学的广义坐标。 对于i杆上某点位置的描述,可以在该杆上建立一连体坐标系Ix,y,:1。来描述其相对 位置,然后通过齐次变换矩阵便可以得到该点相对于机座坐标系的位置。机器人运动学描述的重点是研究手臂的位姿和运动。通常用来描述机器人运动学 的有Denavit-Hartenberg(D_H法、Duff法、牧野洋法等,本文采用D-H坐标系法 描述机器人系统。在D-H坐标系法中,描述机器人结构的参数有4个:杆件i的长度仉,即铰i 和铰i+l的轴线的距离

47、;杆件i的扭歪角%,即铰i和铰i+l的轴线问的夹角;两 相邻杆件的之间的转角只,以及两杆间的距离4,如图3.3.1所示;建立方法主要如 下;第i根杆的坐标系放在铰i+l的轴线上,选取与q相交的交点作为坐标原点。如 果铰i的轴线和铰i+l的轴线平行时,则原点的选择应该根据下一根杆i+l的坐标选 择,使得杆i和i+1之间的杆件距离为零。而轴垂直于z。,与存在的公垂线重合, 并且指向远离铂的方向。14硕士论文 柔性杆柔性铰机器人刚柔辐合动力学为了方便起见,本文的柔性杆在未变形时均为直杆,在杆的近端和远端各建立两 个连体坐标系。近端坐标系xbYbZb,固定在第i杆件的近端(在铰i端,%沿杆i未变 形时

48、的中心轴,这个坐标系作为第i杆件的基础参考系;远端坐标系k儿乃】,固定在 杆件i的远端(在铰i+l端处,矗沿着杆件i的轴线,方向指向远离杆的方向,即毛 的相同方向。在杆件i未变形时,【矗船乃l看作是x。Yd3,沿杆件i的轴线方向平移杆 件i的长度t而成;坐标系【日。日。日。】。是杆件i的Denavit-Hartenberg坐标系,固定 在第i杆件的远端,坐标系k朋白】。与坐标系皿日,皿】。并不一定重合,它们之间的 4X4齐次变换矩阵以是一个常数阵;坐标系【日。上L日:】:固定在杆件i的近端,铰i未 动作时,【以日,皿】:与q日,见l。重合,它们之间的变换矩阵删f-1只是关于铰i的 铰变量如的函

49、数。只日,皿】:与【黾儿毛】。并不重合,它们之间的齐次变换矩阵日现也 是一个常数阵。鉴于传统零次耦合模型的局限性,本文将建立全柔机器人的一次刚柔耦合动力学 模型。在i杆上,杆上一点户(刁,0,0在变形后在i杆连体坐标系XbYbZbl中的位置矢量 h.的齐次坐标形式为:hi(玎=+兰磊 j-1毛(叩%(玎毛07一委兰兰民二JtI k-IO兰耻(,7预士论文 柔性杆柔性铰机器人刚柔耦合动力学其中%,均,乃分别表示i杆在位置玎处的变形线位移的第j阶模态矢量在x,Y,z 三个方向投影.而磊表示的是杆i的第j阶模态坐标,第三项中的兰聃表示的是采用 非线性应变场所产生的耦合项。P点相对于机器人机座坐标系的

50、绝对位置矢量oh。或h。可以通过齐次变换矩阵得 到,令o wl或W为i杆近端连体坐标系嘞%毛】。与机座坐标系B,Y,z】。之间的齐次变 换矩阵,则h。=oW。h,=、lI。h, (3.4.2 从柔性机器人建模方法中,我们可以看到,这个齐次变换矩阵W是从基座坐标 系递推过来的,因此,满足:W 2W.IEj-IAs 2W/-IAj(3.4.3 其中的各个矩阵含义同文献侧定义:A,为铰j的铰变换矩阵,是从杆件j-1的远端坐标系到杆件j的近端坐标系之 间的变换矩阵。Ej-I称为杆件j-1的变形变换矩阵,它是杆件j-的近端坐标系阮儿气】,-.到杆 件j-1变形后远端坐标系【劫儿乃】,-l之间的变换矩阵。

51、也_l为机座坐标系ky,:】。到杆件j一1上变形后的远端坐标系k儿白】,_l之间的 变换矩阵。通过前面所介绍的肛H方法,根据彳。的定义,它可以由如下式子求出:Aj=dHJ-l删卜1助J (3.4.4 在小变形的假设前提下,杆件i的变形变换矩阵E可以近似表示为:MEl=m+气M9(3.4.5 ,-I其中Hj 2 Mg= l O 0O100O O 1OO O O 1O 0%0yI ezg-e嘲一乞%一%(3.4.6 (3.4.7 16硕士论文 柔性杆柔性铰机墨人刚柔藕合动力学%,%,%分别是杆件i的第J阶变形角位移模态矢量在坐标系k%毛】l的三 个坐标轴上的分量。通过对式(3.4.2求时间导数,可

52、以得到杆上P点的绝对速度:d出h.竺s=矗。=砘飞,+wt上式中的啦可以由式(3.4.3进行递推求得。 W=W-lA,+一-lA,以及 彤=电。AJ+2也。/+啊。五,五,=u2,吼广+u,醌,(3.4.12 ,:当(3. 4. z 3 U .=L (3.4. J aqtlu:,=瓮(3.4.14 已知由和其他变量A,以及它们的时间导数后,便可求出啊和也.从嘭.的 定义来看,是机座坐标系k,z】o与到j-1杆的远端的连体坐标系%,均,乃】H之间的 齐次变换矩阵a我们可以从式(3.4.3中看出,是j一1杆的近端坐标系阮,儿,毛】,。沿着杆变形的方向的一系列转换而成的,可以通过变形变换矩阵得出来:

53、W=一E,从而进一步得到其对时间的导数形式:啊=吨E+啊意,杆变形变换矩阵EI的时间导数形式可以通过对式(3.4.5求时间导数求得:丘J=艺颤M业r. 豆,=艺靠M业 (3.4.19 17硕士论文 柔性杆柔性铰机器人刚柔耦合动力学式(3.4.18和式(3.4.19都是基于小变形假设前提下得出的。通过上面这种循环 递推关系,可以得到每根杆上的点的速度,为柔性机器人Lag'range动力学方程的推 导提供了条件。柔性机器人的动能主要分为三部分,一部分是柔性铰部分的动能,另一部分为柔 性杆线变形引起的动能,最后一部分为杆的扭转变形所贡献出来的动能。对于i铰和 i杆的动能,有:墨=磁+呓+群杆

54、的线变形而引起的动能:础=告rTf铖q因为杆件均匀且横截面保持不变,可以近似得到din,=I&drl,则:磷=三r“Tr(砘fh。+啦。矗,(啦jh,+嘭,7砌=Tr啦B3j、ir+2W,B2。1吼+w:BllP其中 B。;=丢rH。矗。矗砌(3.4.1.4 B21丢rM飞。丘j砌(3.4.1.5 B31丢r肛lh。jh轴(3.4.1.6 对式(3.4.1.4,式(3.4.1.5,式(3.4.1.6进行一系列展开和合并,得到:B“=毒r一矗,茸勿Nt Nt NNI NN。N。N。N。=艺磊瓯D社+屯瓯磊(-一%+艺艺芝芝磊瓦磊屯E舭 产1肛1Z:!:!:! :!:!:!:!B:。=吾r

55、麒fh。矗砌N. Ni Nl Nl N=毛D,+屯艮D品+毛瓦(-E驰+ 18一略 l一2卜 矗 &.o 吩 MM MH 篁乙一硕士论文 柔性杆柔性铰机器人刚柔耦合动力学B3t=1r肛jh。飞砌N NNl NI Nt=D。+艺磊(D,+D;+气&D班+磊民(-圭E耻一E矗+I-I J-II-I J-lt=tN。N。N÷NI NI NI Nt芝芝芝磊艮磊咯%一壬吩+艺艺艺吒瓦磊气(上E啦:!:!生!上生竺U兰2兰一(3.4.L9 其中,式(3.4.1.7,(3.4.1.8,(3.4.1.9中标有下划线的项为计及刚柔耦合 项时所带来的额外附加项。若杆件端部有集中质量的话,

56、就需要考虑集中质量在随杆运动时的由该质量所带 来的额外动能嘲。当集中质量在杆的近端时,集中质量的影响在近端,只需在D。中 加入该集中质量帆的动能项嘲:D:=去%【1'0,0,0T【1,0,0,o】 (3.4.1.10 二如果集中质量在杆件的近端附近,%,z。】j处时,则集中质量的附加项为:D:=:1码【l,%,Yo,毛】T【1,而,%,毛】 (3.4.1.11 则需在D,D#,D壮,E耻,%,E抽中分别加入集中质量项:6。=兰帆【%,o,oT.0,_I,o,o】13=lra,0,o,o】T【o,而q,均辑,乃q】6社=丢%【o,xqq,趵“,毛旺1TO,xo(O,助q,白q】 (3.4.114 虬=三加,似o】T.【o,孙(f1,oo】 (3.4.1.15 如z圭帆【o,而(j1,均(,乃(jI】T【o,如(,o,o】壹渺=三他o,a取“,o,oT【0,a拓辑,o,o】一般的多杆机器人的结构都是三维的,因此,空间运动可能引起杆件的扭转变形, 因此在动力学建模中有必要考虑扭转变形的影响。依然采用假设模态法对杆的扭转变 形进行离散:巳:兰磊%1=1则扭转动能为:19呓=三r圳(掣pM札=艺毛晚%这里厶是杆件i沿着x方向上绕x轴的单位长度转动惯量,气是杆件i的第j 阶扭转变形角位移