电动力学教程 第7章导行电磁波

1、第第7 7章章 导行电磁波导行电磁波 导波系统 导行波(Guided Waves) 常见的导波系统光纤平面光波导边值问题，即在给定导波系统边界条件下求解波动方程，得到导波系统中的场分布和波的传播特点 。导波系统中电磁波的传播问题属于电磁场7.1 导行电磁波概论 讨论讨论“均匀均匀”导波系统导波系统。所谓。所谓“均匀均匀”是指在垂直于波是指在垂直于波的传播方向上，导波系统的横截面一样。令电磁波的传播的传播方向上，导波系统的横截面一样。令电磁波的传播方向为方向为z方向方向( (导波系统的纵向导波系统的纵向) )，则波导内的电场和磁场分，则波导内的电场和磁场分布只和横向坐标布只和横向坐标x、y有关，

2、与纵向坐标有关，与纵向坐标z无关，即无关，即 zex,yErE zex,yHrH（ 复传播常数） 因此只要求出横截面横截面上场的分布E(x,y)、H(x,y)和传播常数，就可以得到波导内的场分布。 波导内一般无源，则其场分布满足麦氏方程HjEEjH解之可得波导内场的横向分量和纵向分量之间的关系：xEjyHkHyEjxHkHzzcyzzcx1122xHjyEkEyHjxEkEzzcyzzcx1122- 纵横关系222ckk其中222200zzzzEk EHk H 导行电磁波的纵向场分量Ez和Hz可由亥姆霍兹方程 及边界条件确定。u 导行波波型的分类导行波波型的分类 1. 横电磁波横电磁波(TEM

3、波波) 0 0zzH,E2. 横电波横电波(TE波波) 0 0zzH,E3. 横磁波横磁波(TM波波) 0 0zzH,E7.1.1 横电磁波横电磁波(TEM(TEM波波) )根据纵横关系，横向场分量不为0的条件是022TEMk即jjkTEM 定义 ：导行波的波阻抗 Z导波系统中，沿波的传播方向构成右手螺旋关系的横向电场和横向磁场之比，即xyyxHEHEZyxzTEM波的波阻抗jHEZyxTEM（利用教材中式7.1.4b或7.1.4d式）电场与磁场的关系（式7.1.4d、7.1.4e）EeZHzTEM1 导波系统中TEM波的传播特性和无界空间中均匀平面波的传播特性相同。7.1.2 横磁波横磁波(

4、TM(TM波波) )jHEZyxTMEeZHzTM17.1.3 横电波横电波(TE(TE波波) )jHEZyxTMHeZEzTE均可由纵横关系得到思考：思考：横电波或横磁波的波横电波或横磁波的波阻抗等于介质的本征阻抗？阻抗等于介质的本征阻抗？E、H与与波传播方向彼此正交且构成右手关系？7.1.4 截止波长与传输条件截止波长与传输条件 导行波的场量都有因子e-z(沿+z轴方向传输)，=+j 为传播常数。由前面的推导可知 222kkc 对于理想导波系统， 为实数，而kc是由导波系统横截面的边界条件决定的，也是实数。这样随着工作频率的不同，2 可能有下述三种情况： k)()ztje(x,yEE(1)

5、 20，即=。此时导行波的场为 tjaeeEEz)y, x(3) =0。这是介于传输与截止之间的一种状态，称其为临临界状态界状态， 它是决定电磁波能否在导波系统中传输的分水岭。这时由 所决定的频率 ( fc ) 和波长(c)分别称为截止截止频率和截止波长频率和截止波长，并且 22kkcccccckfkf2 ,2显然这不是传输波，而是沿z轴以指数规律衰减的，称其为截止状态截止状态。其中 为无限大介质中电磁波的相速，而kc称为截止波数，并有 /1vcck2这样导波系统传输TE波和TM波的条件为 ccff或截止条件为 ccff或对于TEM波，由于kc=0，即fc=0，c=，因此在任何频率下，TEM都

6、能满足f fc=0的传输条件，均是传输状态。也就是说TEM波不存在截止频率。 7.1.5 波导波长波导波长 g22gg或在传输状态下，=j，22221kkkkkcc将 kc=2/c，k=2/=2/0 代入上式得 rr22121cck所以可得 21gc对于TEM波，c=， rrg0rr0其中是无限大介质中无限大介质中的电磁波的电磁波波长波长。7.2 矩形波导 矩形波导的结构如图所示，假定其内的填充介质为理想介质。矩形波导内只能传播矩形波导内只能传播TE波或波或TM波而不能传播波而不能传播TEM波波。7.2.1 矩形波导中的TM波022222zczzEkyExE)()(),(yYxXyxEzXYk

7、dyYdXdxXdYc22222上式两边除以XY，得 22222ckYdyYdXdxXd这里的x和y是互不相关的独立变量。欲使上式对任意x和y值都成立，只有等式左边的两项分别等于常数。因此，可令 2y222221 ,1kdyYdYkdxXdXx且 222cyxkkkykcykcYxkcxkcXyyxxsincossincos4321其解 )sincos)(sincos(4321ykcykcxkcxkcEyyxxz于是Ez的通解是 利用边界面上电场的切向分量连续的边界条件可以确定c1c4以及kx、ky。(1) 当x=0时，Ez=0 (理想导体表面切向场为零) 0)sincos(431ykcykc

8、cEyyz欲使上式对所有y值都成立，则c应等于零。 )sincos(sin432ykcykcxkcEyyxz (2) 当y=0时，Ez=0， 0sin32xkccExz欲使上式对所有x值都成立，则c3应为零。此时c2不能为零， 因为若c2等于零，则Ez在非边界处也恒为零，这与TM波的情况不符，因此只能取c3等于零。 24sinsinsinsinzxymxyEc ck xk yEk xk y(3) 当x=a时，Ez=00sinsinmykakEEyxz欲使上式对所有y值都成立，kx必须满足下面关系： ,.)3 , 2 , 1( mamkx这里m不能等于零，否则kx=0，则Ez恒等于零，这不符合T

9、M波的定义。 ykxamEEyzsinsinm (4) 当y=b时，Ez=0， msinsin0zymEExk ba欲使上式对所有x值都成立，ky必须满足下面关系： ,.)3 , 2 , 1( nbnky这样Ez的表示式为 ybnxamEEzsinsinmm2m2mm2cossinsincossinsinsincoszj tzj tzj tzj txcyczxceeeemmnEExykaabnmnEExykbabmnEExyabnmnHjExeeeykbabHe m2cossinyczj tmmnjExykeaeab 波导横截面上的场分布形成驻波场模指数(m,n)的物理意义？m 矩形波导宽边矩

10、形波导宽边上的半波数目；上的半波数目；n 窄边上的半波数窄边上的半波数目。目。式中截止波数： 2222bnamkkkyxc在矩形波导中TM波的传输常数为 22222222bnamkkkkkyxcl 当传输常数=0所对应的频率为截止频率fc，且截止频率为 22212bnamkfcc(m,n 均不为0 )22222bnamkkcl 当工作频率高于截止频率时，即当工作频率高于截止频率时，即f fc， 为纯虚数，为纯虚数，=j，电磁波才可能在波导中沿，电磁波才可能在波导中沿+ +z z方向传输。这时相位常数方向传输。这时相位常数为为 l 当工作频率低于截止频率时，即当工作频率低于截止频率时，即 f f

11、c，为正实数为正实数，此此时时e- z表示衰减因子，电磁波衰减很快，不可能在波导中传输。表示衰减因子，电磁波衰减很快，不可能在波导中传输。222bnamfcc截止波长式中 为无限大介质中的电磁波的波速。/1v截止状态截止状态导通状态导通状态电磁波在矩形波导中的相速度波导中的相速度vp为 2211pccvvvvff或写成 )(12kffkc波导波长g为 22112ccpgfffvfv 其中 是无限大介质空间中的波长。zyxzyekxkHHcoscosmzm2cossinyekxkHkkHyxxcxzm2sincosyekxkHkkHyxycyzm2sincosyekxkHkkjEyxycxzm2

12、cossinyekxkHkkjEyxxcy7.2.2 矩形波导中的TE波其中： ,., ,m,nbnkamky210 , ,x截止波数kc为 2222bnamkkkyxc在矩形波导中TE波的传输常数为 22222222bnamkkkkkyxc(m,n不同时为0 )截止频率为 22212bnamkfcc截止波长为 222bnamfvccTE波在波导中的相速vp为 2211ccpvffvvTE波的波导波长g为 22112ccpgfffv2211ffjHEZccyxTE波阻抗2211ffjHEZccyxTM 结论 矩形波导中TE和TM模式的kx、ky、kc、fc、c、vp和g的表达式完全一样，但要注

13、意m、n的取值。 从场的表达式看出， m、n取不同的值代表一种可能的场分布也即传播模式： TMmn或TEmn，称为TMmn模式或TEmn模式，(m,n)称为模指数。 链接 由于TM波的 m、n均不为0，故不存在TM00、 TMm0 、TM0n 模式，最低阶的TM波模式为TM11；而TE波的m、n可以为0，但不能同时为0，故不存在TE00模式。 相同的(m,n)组合， TMmn模式和TEmn模式的截止波数kcmn相同。- - 模式的简并模式的简并( (截止波数相同的模称为截止波数相同的模称为简并模简并模) )频率10GHz。计算: (1) TM11波型的截止波长、波导波长、相位常数、相速度、群速

14、度以及波阻抗；(2) TM11的模场瞬时值。例题： 矩形波导的尺寸ab=6 4 cm2，信号解：波频率 f=10 GHz，波导是空气填充，故无界空气介质中的电磁波长cmfc3101010398截止波长 7cm. 6222bnamccmbcm,a,nm4 6 1波导波长4cm. 312cg相位常数m/rad 1802g相速度823 5 10 pfv. m/sc群速度ddvg222bnamfcvddg2 200c.vg 10628波阻抗112TM01, 377337 cZ7.2.3 单模传输 一般情况下，矩形波导中可以同时传输多个TE模或者TM模式，而且TE模或TM模也可以共同存在，例如简并模TM

15、11和TE11具有相同的截止波长和传播常数，因而可以同时传播。实际应用时多模工作一般会有很多不利因素(如模间耦合、多模色散)*，因此多采用单模工作。单模传输条件的分析：单模传输条件的分析：截止波长 222bnamc 工作波长 2b ) (m,n) = (0,1) TE01模 ( TM01模 ？)bc2 (m,n) = (1,0) TE10模ac2 (m,n) = (0,2) TE02模bc (m,n) = (2,0) TE20模ac (m,n) = (1,1) TE11和TM11模（简并模）b.bbabc8154112222(a 2b )(m,n)=(0,0) ?将各模式的截止波长按大小次序绘

16、出如下所示图：TE10TE20TE01TE11,TM11TE302b a2a0工作波长 多模区单模区截止区高次模主模（截止波长最大，最后截止）思考题思考题：假如中空矩形波导横截面尺寸6*2 cm2，信号波长=5cm，此时波导中存在几个模式？哪几个？ 截止区： 工作波长a 2 单模区： 工作波长 ，只有主模TE10模能被传播，其他模式截止。aa2 多模区： 工作波长a 0单模条件 （即TE10导通，TE20截止）：u 若给定波导尺寸a和b，则工作波长应该满足aa2u 若给定工作波长，则波导的长边尺寸应该满足.a50(一般取a=0.7)7.2.4 矩形波导中的TE10波 TE10波是矩形波导中的主

17、模，其截止波长最大(截止频率最低)，在矩形波导中大多采用这种模式(单模传输)。截止波长为 ac2波导波长为 221ag波阻抗为 22110aZTE 传播特性参数 TE10波的场分布0sinsincos)(m)(m)(mzxyztjyztjxztjzEEHexaHajEexaHajHexaHH利用m=1、n=0、kx=kc=/a，可得到TE10模的场分量式中相位常数 2g212aTE10模电磁场各分量的瞬时表示式为 0)cos(cos)sin(sin)sin(sinmmmyzxzxyHEEztxaHHztxaHaHztxaHaE显然，波导横截面上（z = 常数）的场分布是驻波场。图(a) ： T

18、E10模的电场分布baOxy图(b) ： TE10模的磁场分布图(c) ： TE10模的电磁场结构立体图 00zxyE, EHxy磁力线 电力线电力线感应的高频传导电流。由于波导内壁是导电率极高的良导体，在微波波段，其趋肤深度在微米数量级。因此波导内壁上的电流可看成表面电流，其面电流密度由下式确定： HeJnS 式中en为波导内壁上的单位法向矢量，它由波导管壁指向波导管内；H是波导管内壁处的磁场。 当波导中有电磁能量传输时，波导内壁处有TE10模在波导管内壁上的感应面电流密度为： 00yxzzxyySHeHeHeJzmm0)sin(sin )cos(coseztxaHaeztxaHJxyS00

19、0)(cos)(cosxSymxaxSymxxSySbySJeztHHeJeztHHeJJJ类似地图(d)： TE10模的管壁电流分布 开槽位置图(e)：波导壁中央开槽用作测量线 研究管壁电流的意义开槽位置图( f )：波导管壁开槽切断管壁电流用作天线 研究管壁电流的意义7.3 圆柱形波导(Cylindrical Waveguide)xyza , 波导半径a，填充介质为理想介质( ,)，管壁是理想导体。 在圆柱坐标系下，波导内电磁场的复数表示： zze,HrHe,ErE( )( )( )( )H rjE rE rjH r 代入麦氏方程波导横截面上的场波导横截面上的场分布分布(横向场分布横向场分

20、布)解之可得波导内场的横向分量和纵向分量之间的关系：221( , )1( , )zzczzcHEHjkHEHj k 222kkc其中221( , )1( , )zzczzcEHEjkEHEj k 柱坐标系下的纵横关系7.3.1 圆柱波导中的模场分布 圆柱形波导内只有TE和TM模，不存在TEM模式。场分布的求解与矩形波导类似，差别在坐标系。 TM模式的场分布Hz=0，Ez 满足下列方程和边界条件 2 01 022azzzEEkE011222222zczzzEkEEE在柱坐标系下展开(1)式)()(),( REz0)(0222222222RmkddRdRdmddc分离变量)(sin )cos()(mmA或)()()(21cmcmkNBkJBR其解（m是分离常数）为了满足场量沿方向具有2周期，m应为整数。Jm是m阶第一类贝塞尔函数，Nm是第二类贝塞尔函数。因Nm(0)=，当 =0时为了使Ez不致无穷大，应取第一类贝塞尔函数。（m阶贝塞尔微分方程）阶贝塞尔微分方程）cos() (3)sinzmmcmE,E Jk m故贝塞尔函数Jn(x)的变化曲线 再利用从横关系可以求出其他场分量。0azE由边界条件，即(2)式，可得TMmn模式的截至波数 (4)mncmnpkapmn代表m阶贝塞尔函数的第n个零点。表1： J