“数列的求和”例题解析

1、“数列的求和”例题解析例 1 求下列数列的前n 项和 Sn：(1)112131 ( n1n) 248212121212(2)3234562 n 12 n3333333(3)1111111121241242n1(1)Sn111(n1= 1232n)2483n)1111=(1 2(2482n)11n(n +1)2 (12n)=2112n(n 1)1= 122n(2)Sn=121212332333432 n132 n11+122+2= ( +33+ 32n-1) + (2+4+ 32n)3331121=3(132n)32(132 n)11113232518(132n)（3）先对通项求和an= 111

2、121242n 12n 1 Sn= (22 2)(11+112+ +2n-1)4学习好资料欢迎下载= 2n (11112+ +2n-1)41= 2n22n 1例 2 求和：(1)1+1+1+123n(n1)123 4(2)1111579(2n1)(2n3)135(3)111125 588(3n1)( 3n2)11(1)111n(n + 1)nn1 Sn(11)(11)(11)(11)12233 4nn111n1nn 1(2)1111)(2n1)(2n + 3)4(12n2n3 Sn=11111111537592n341112n12n 12n31 1111=32n12n43n( 4n5)3(2n

3、1)( 2n3)(3)111)(3n1)(3n + 2)3(13n3n21 111111)11 Sn= () () (11(13n)3255883n2=111)(3n322n6n4学习好资料欢迎下载例 3求下面数列的前n 项和：11111a4a27 an 1(3n2) 分析：将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以1为公比的等比数列，另一个数a组成以 3n 2 为通项的等差数列，分别求和后再合并。解设数列的通项为an，前 n 项和为 Snan=1(3n2)n 1a Sn= (11117 (3n2)aa2an1)141(3n2) n3n2na = 1Sn= n2211(13n 2)nan1(3n

4、1) nana 1Sn=112anan 12a说明等比数列的求和问题，分q=1 与 q 1 两种情况讨论。【例例4】4设 ak=12 22 k2(k N*) ，则数列3，5，7，的前 n 项之和是a1（6n3nC6(n 1)6( nA1B1nDn解设数列3，5，7， ，的通项为 bna1a2a32n1则 bn=an1 n(n1)(2n1) an= 1222 n2=6bn=611= 6()n(n + 1)nn + 1数列 bn 的前 n 项和 Sn=b1 b2 bn学习好资料欢迎下载1 111111= 6(13) (23n)2nn 11)= 6(1n16n选(A) n + 1例 5求在区间 a，

5、 b（ b a， a， b N ）上分母是 3 的不可约分数之和。解法一区间 a，b上分母为 3 的所有分数是3a，3a 1，3a 2，33 ，3a4，3a 5， ， ， ，3b2，3b1a 13a 2b 13333a为首项，以1为公差的等差数列331项数为 3b 3a 1，其和 S =(3b 3a 1)(a b)其中，可约分数是a， a 1，a 2， ， b1其和 S =(b a 1)(a b)故不可约分数之和为1S S =(a b)(3b 3a 1) (b a1)2=b2 a2解法二S =3a +1+3a + 2+3a + 4+3a + 5+3b 2+3b 1333333S=(a1)(a2

6、) (a4) (a5) (b2)(b1)333333而又有1 (b2)(b4)(b5)2)S=(b)333(a33 1)(a3两式相加： 2S=（ ab）（ a b） （ ab）其个数为以3 为分母的分数个数减去可约分数个数。即 3（ b a） 1（ b a 1） =2（ ba）2S=2（b a）（a b）学习好资料欢迎下载S=b2a26nSn1a2a23a3 nana0 1214 9 n2313x 5x22n1xn-1x 1123nn24821Sn=a2a23a3 nana 0234nn +1aSn=a2a3an 1anaSnaSn=aa2a3 annan+1a 1 ()a(1an)n 11

7、 a Sn1 anaSna(1an)nan 1(1 a)21 a2Sn=14 9 n2a13a3=3a23a12313=3 123 1133232 132 =3 233233 143 =3 3n3n13=3n123n11n13n3=3n23n1n1313=31222 n2312 nn= 3(122232 n2)3n(n1)n2122232 n2=1(n1)313n(n1)n32=1n33n23n3n(n1)n32学习好资料欢迎下载16n(2n23n1)1n(n1)(2n1)63）Sn=1 3x 5x2 7x3 （ 2n1） xn-1xSn=x 3x2 5x3 （ 2n 3） xn-1（ 2n 1） xn两式相减，得1 x） Sn=12x（ 1 x x2 xn-2）（ 2n 1） xn= 1(2n1)xn2x (xn11)x1=(2n1)xn+1(2n1) xn(1 x)1x Sn(2n1)xn+1(2n 1) xn(1x)=(1x)2(4) Sn123n=22232n21123n2Sn2223242n 1两式相减，得11111n2Sn222232n