历年浙江省高等数学微积分竞赛工科类试题

1、04年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）一.计算题（每小题15分，满分60分）91.计算：limX0T）I ef costdt-x-一 Jo22f e costdt-2x-x2解：原式=lim4d (x-tanx)-x06 2ex cosx-2-2x=lim-2x - tan x -xsec- xo2ex cosx-2-2x=lim-7。x - tan x - x tarr xo%.2e"cosx 2 2x=hm7x 3 x - tan x xtanxx ； ；其中lim.v->0xtan2 Qx - tan x= lim；x-X) X,9 xtarrx-lim；

2、D *-9?9A l-sec-x xtan-x 一tarTx . xtan-x4=lim1lim；=limzInn=d 3尸d x-) 3;rf x3o3 2ex cos x 2 2x ° 3ex cosx - e' sin x 1 原式二hm:=lims4科) x3 广° 1 ex cos x - ex sin x - ex sin x - ex cos x=lim2 52x° -2eA sin x 1=-lim二4x 2HmWl二”在课堂上作为一个典型的例子; D x tan x = x + O(x3)2.7T + COS Xf-dxo厂 一 TTx

3、+ 2004计算乃 + cosx2+ 2004 4dx九一 sin x fz-ax9712-+ 200442 r- -+ 200424sinx f5ax9 TTr+ 2004421t= arctan 2/22004 - 2004- -4 V 421 4=/ 干 arctan 十.,20042004-其他想法：原式=自7+ COSX 八+(7+ COSX dxx2 - 7TX + 2004 X2 - 7UX + 20047,兀、仁*1 7T + COSX八 飞 Y-乃x + 2004入一1=，£乃+ cos(一+ 1)dx = f2=dt。" + ? 一 + 勺 + 2004

4、=fi二独”一dt,看来做不下去了!J。9 £t2 + 200443 .求函数+4y2 +15y 在C = （x,y）|4x2+），2<1上的最大、小值。解：在圆内（开集）f；(x,y) = 2x, /；(x,y) = 8y + 15 ,解得驻点(0,-丁),O但不在圆域内.在圆周上4+)/=1,求/(x,y) = x2 +4y2 +15y的极 值，是条件极值问题./(X,)，)=产 + 4/ +15y + z(4x2 + y2 -1)正；(x, y ) = 2x + 82x = 0F： (x, y) = 8y +15 + 2Ay = 0(x,y) = 4x2+r-l = 0解

5、得：驻点(0,1),(0,1)/(0,l) = 19,/(0,-l) = -ll故最大值为/(0,l) = 19,最小值为/(0,1) = 71.4 .计算：jjmax(A>x3)Jcr,其中DD = (x, >)卜1 <x<l,0<j<lo这题不能用对称、奇偶性等性质来做!1 V二(本题满分20分)设x) = wctan ,求/(0).1 04- X解：/(0二-1二，则(1 +M八x) = -l,1 +厂则两边对X求( -1)阶导数，由莱布尼茨公式得：(1 + X2 )/(W)(X)+ 2( -1讨 5-D(X)+ (九-1)尸 ) = 0,令x = 0

6、,得：f(n)(o)= -n(n-l)f(n-2)(0)，而/(0) = -1 J(0) = 0,0,当为偶数；则广(0) = (-IP/?!,当为奇数；三.（本题满分20分）设椭圆:+卷=1在a1,苧）点的切线交y轴于8点，设/为从A到8的直线段，试计算(sin yh+i反 + cosyln(x + l) + 2Vx 石。9解：方程a9 )广二1两边对x求导得:贝IJ )，'=_412直线段/的方程为：），=一工+ 2追,0«无工1令尸(x,y)=把X + 1Q(x, y) = cosyln(x + l) + 2Kx - 5/3,则空=3一百，义=竺2 + 2百dy x +

7、 1 dx x + 1AB0XsinyN+ cos y In (x +1) + 243 x - a/3 J c/y= 3>dcy- -JBC CA=3频百修MDsin V32x + 1-V3-V3 dx2/9 34-2ln2-sin 任+ ? = 2".四.（本题满分20分）设函数/连续，ab,且/（工）、= 0, 试证明：f（x） = 0, xea,b0证明：口犬=吟£|/（。）4 'Z=1由于av于 故.>0,无论a,b怎么分、.4/七怎么取,limf存在旦相等，即lim£|/©）4 =0,上>° .尤>0

8、,j=1/=1由于/连续，故/（X）三0, xea,b；（理由说的不够充分） 假设存在/wa,可,使得/）00,不妨设/）>0, 贝归 b > 0, Vx g x0- B, X。+ 加,都药（x）> 0,由于函数/连续，故在%-2/+5内存在最大、最小值分别 为Mo，%,显然A/。>0,?（）>0,而口/（x）W' - J：匕（X）松-2Mo > 0 与 J：, （x）网=0矛盾，故假设错误，即“X）三0, xea,bo001五.（本题满分15分）判别级数Z7的敛散性。心 0（2）2 / n e_解：斯特林公式：! = J2n兀 -e12n,0<

9、;<l1.极限形式：lim 一 8什 J2乃 n -OC1OC1Z-<zn痂1证明：lim= = 0njn/ 、n即-<n!1)2)3)显然成立;加；假设时也成立，即当 + 1时,、+in + +1 nn 3)、+i、+1n n.3、+i,ri!一 =3( + 1)!- 3( +1)n(n + 1)!是单调递增数列，而且有界(证明两个重要极限里第2个).33二，而lim二=0,由夹逼定理得：lim128 Q8j，而士二收敛，由比较判别法得：£也收敛. =1 =1六.（本题满分15分）设函数“X）在0,1上连续，证明:、2 dx(r >0) o证明：什（J。广+

10、厂J J。厂+厂 J。厂+厂_1,卜 1 P/2（X）»Y f'/V）,tt10厂+厂 2t 厂+厂许瓦兹不等式:/ n2有限项情况：£岫i=l）/、3=1)（乘积和的平方小于等于平方和的乘积）/ oc2 / OC 、（ 8可推广到可数情况：；3=17 /=! J 3=1 ）均值的形式：£（切）成4）£0）;积分的形式：(j：/(x)g(x)x) <£ f (x)dx- g(xylx2005年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试一、计算题（每小题12分满分散60分）1.计算 公2.设/5) =中,X>°可导，求常数

11、，力的值 ax + b,x<03.计算扃地拽“T82 j4.计算fdxJ 3cosx + 4sinx5.求函数/（x）=lxl + lx ll + lx 3l 的值。二、（本题满分20分）设/（x）在x =。点二阶可导，且lim “'）=1, D 1 _ cos X求/（0）J'（0）和"（0）的值。三、（本题满分20分）证明：当0cx巳时，tanx>x + -x3 23四、（本题满分20分）设- (1-sinx) r- sin xr- 10(1+sin x)> -，8 力-C = J i_dx，- 1 + sin* x J-jt+cos-jv4x+

12、/r 试比较A, B, C的大小,五、(本题满分15分)设=工+ _+ + k k2 k2+ k2+2占 I/ .（1）求 lim %：（2） 证明数列出单调减少。六、（本题满分15分）对下列/"）,分别说明是否存在一个区间小句,（。>0）,使/（x）lxe凡以 = xIxe团向,并说明理由。I 2小)=9羽/二2005年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题解答r-= J1(2x-l)Jx + J2i(l-2x)dx2IF1 c 5 =-+2=-£2 .解:lim/(x)= limln(l + x)x =1,lim f (x) = lim (cix + b) = b ,

13、因为/(x)在x = 0处连续，所以 =1,£(o)=m“。)=他L鸳5=lim=lim - =-zo+ 2x2(l + x)2由 f (x)在x = 0处可导,/二(。)=/;(。)，于是4 二 一一.”3二疝23 .解：lim>oc4.解：Jsinx fdx, 3cosx + 4sinx sin x = A (4sin x + 3 cos x) + B(4cos x - 3sin x)=(4 A - 33) si n x + (3 A + 43) cos x,4A-3B = 03A + 43 = 0'A = , B = -, 2525sinx , c( 43 4co

14、sx-3sinx fax = dx 3cosx + 4sinx J25 25 4sinx + 3cosx)4x253-ln|4sinx + 3 cos x| + C.5.解：/(x) = N+ x 1 + x 3当xW0时，f(x) = _jv_(x l)_(x_3)= 3x + 4:当0vxK 1 时，f(x) = x + l x + x 3 = x 2：当 1 vxK3时，/(x) = x + (x 1) + 3 x = x + 2：当x> 3 时，f(x) = x + (x l) + (x 3) = 3x 4.二.解：/ (O)= lim / (x) = lim.(1-cosx)

15、=0：' '。1-cosx ') r(0)= lim"=0：D X 5 1-cosx X1. /(x) r /(x) 1-cosx hm / =lim ： D 1 ? D 1 cos X1 ?x) = "0) + /(0)x + 力(0)一 +。(丁)=；/(0*+°(巧, 所以/(0) = 1.(1 、三.证明：令/(x) = tanx x + -x3 , /(0) = 0：(3 /因为尸（力二1cos2x-（1+C，r（o）=o：(x) =2sinxcos3 x-2x，l + 2sin2x cos4x二2-1z71 + 2sin x -

16、 (1 - sin" x)cos4x所以/"(x)>。，进而/(x)>0,I兀、即得 tanx>x + -x， 0 < x < .32)rg (1-sinx)2四.解：A= 74 dxJ-y 1 + siirx MB行 l-2sinx + sinx f=I 7：-4J-彳 1 + sin x= 2pdx；JoJ-y 厂 + COS- X J。JC + COS" X由于一、sin_:<,得3vA, JC + COS- X10(l + sin2x) 2 J04 厂 + 7Tr 2 10(l + sin2x)<1,10 t7T-

17、2 sinx 利用一 <TV XC嗔$# = 210(1 +sin2 x)得一 4jC + 7T于是。> A, 故.B v A<C.2 1五、设7， = 1,2,. Tn+k（1）求 limx” ；解：（1）显然2n +1（2）证明数列当单调减少.< / <rT + 2n2n +1JI-故有 limxn =0. /T82(+1)(2)4+1 = Z 二二2n=Z&=()*=()n +k1-1，(7? + 1)" +k + 2 + 1+2n + 2昌 2 + 111x x =' +"n+l *=0 (一 + A)(+ 1)2+&a

18、mp;) n + 4/? + 2 -+4+ 3) ,(2 + 1乂2 + 1)( ,1-1+2)(2+4 + 1) n2 + 2n n +4/? + 1 ；=2(-1)之 0+2)(2 +4 + 1)于是数列,%单调减少.12六.解：（1）y（x） = -x2+-,在（。,+冷）上严格单调递增, 欲使/句,必有/=4, f（b） = b.17考虑/(工)=§工2 + =%»x2 - 3x + 2 = 0 ,3) x2)nV6 JX = 1, x2 = 2,所以存在区间1,2,使/1,2 = 1,2.(3) /(x)在(0,+8)上严格单调减少，欲使/,5| = ,，,必有/

19、(a) = b, f(b) = u.,(0<c/<1)» 使得/ a, a =bf = a， a b所以存在区间a,- a(4) /(X)在(0,+8)上严格递增,欲使 =必须/,) = a, f(b) = b./(x) = l- = x, x2 -x = -i,（if 3x-此方程无实数解，I 4故不存在区间a,。, （a>0）,使得/a, = U,.2006浙江省高等数学（微积分）竞赛试题计算题（每小题12分，满分60分）fl X)，1 + - -e=lim nex < 1 + - -1 =“一>8 “gL=x，lim -=lin“T8X，Tn1 ；

20、 ln(l + r)J(1+%且J2 t-1 =xe lim/» 12 v r /-(l + 01n(l + r)=x e lim；T)(1 +。广2 v i- ，-(1+ /)ln(l+ r)=x e lim；T)f29 2 “ l-l-hi(l + r)=x e liinD2t= -x2ex/2 or 1 + x4 + .vs2、求；dx .J a(1-x8).n r 1 + X” +.1 f 1 + x, +f解： ax = - -dxJ x(l-x8)2J x2(l-x8)1 r 1 + X2 + X4 f)1 rl + x + x2=-="厂= <4J x2

21、(l-x4)4J x(l-x2)/1 A B C A .1 f=-+ dax = 4Jx-l x x + 1 J 4J x131=-ln(x-l) + lnx- ln(x + l)4L 22311=-ln(x-1) + Inx-ln(x +1) +/ , X x1 + - -elim nex -xT8e(1+f)； -ei°t1 r 1 + X2 + X4 .=-2J x(l-x4)Jx3_j_、2+，+ _dx-1 A X+z+cc.3、求 J；")', -dx.解：£闻2 a可：2小1网?”=f1 dxf - dy-CdyCey'dxJo Jo

22、 X Jo jv=(：e' tZv-£(l- y)ev* dy = £ xes dx = -y!-.4、求过(1,2,3)且与曲面z = x + (y-1)，的所有切平面皆垂直的平面方程.解:令尸(x,y,Z)= x + (y-Z)3-Z则 F；« X z) = 1, F：(x, y, z) = 3(y - z) £'(乂 X z) = -3(y-z)2-l令所求平面方程为：A(x-l) + B(y-2) + C(z-3) = 0,在曲而z = x + (y z)3上取一点(1,1/)，则切平面的法向量为1,0,1, 则AC=0在曲面2

23、=工+。=2)3上取一点(0,2,1),则切平面的法向量为1,3,-4,则 A + 38-4C = 0.解得：A=B=C即所求平面方程为：x+y + z = 6.二、(15分)设/(幻=/一丁，问/(x) = 0有几个实根?并说明理由.OX3解：当x<0,>0> 6当x>0, e°>0且e'的增长速度要比二来得快!所以/*)=。无实根.6( 83三、(满分20分)求2/ 中的系数. n-1/解:当小叫故夕】3中420的系数为177四、（20分）计算xyds，其中C是球而/ + y2 + " = R?与平而x +，+ z = 0的交线.解

24、： Jr(X + y + z)26=(X2 +)，+ Z2 )ds + 2J( (w + yz + zx)ds 而 L(x+)' + Z)2"s =。.J( (Y + y2 + 2)ds = R2ds = 24R3,£.冲"s = )'Zds = cZXds ,故（孙杰= 五、（20分）设生，,凡为非负实数，试证：Zsin"引sin的充分必要条件为证明：必要性由于 Z& sin kx < |sin x,则 Z%sin履丹一。sin Axx二的吃呼卜充分性；要证明Z/sin日引sinx|,只需证明:£-1若卜in.

25、=0,不等式显然成立;n 。沁 by即只需证明：sin x<1,攵】Zq sin kx_£-l|sinx|W1,这里卜inx|wO,sinx故只要说明:sinkxsinxsin kxsinx攵，即 |sinkx<k|sinx,当左=1时，显然成立;假设当表=时,也成立，即卜in同卜in;当 k = " +1 时，|sin(/? + l)x| = |sin(/ir+x)| = |sinxcosx+sinxcos7ir|sin /7J-| </?|sin x|< |sin nx + |sin x| < ( +1) |sin .六、(15分)求最小的

26、实数c ,使得满足口/(幻|公=1的连续函数/3)都有 f(y/x)dx<c.解:£ f(«)dx < W(G)辰=tf(t)dx < 2a (f)/ = 2,取)，=2x,显然j*('|/(x)|dx = 1,而J；/(«)公=J：2&x = 2- = -,取 y = ( + l)xn，显然 jj/(x)Wx = 1,而£ 于(6)dx = J：( + D(F) dx = 2- : > 2, >s ,故最小的实数c = 2.2007浙江省高等数学（微积分）竞赛试题（解答）一.计算题（每小题12分,满分60分

27、）x9dx.22-=一二M+c155o 3 o 1黄，+1尸-«+1)2+(7。2、求帚"-（心）1 jo sin x解：.。+ #-。+ 2/=帚心）二。+ 2、2-0 sin xJ。xln(l + 2x)一2?-0. Z1 J 1ln( 1 + a?)1=吧"在 E一二 (,+2x)而后ilinJ(l + v-(A-rl)ln(l + .v)l +± f 2-仙(山)2x -(2x+l)ln(l + 2x)2x2(2x + 1)1。x2(x + l)2x2(2x + )Z1x (x +l)ln(l+ x). Z1 与 xy-= lim(l + x)A

28、 -hm(l + 2x)2r3。 L X (x+l) J 3 x-(x+ l)ln(l + x) . 2x-(2x + l)ln(l + 2x)=e li m； - ehm10厂人32尸° . -ln(l + x) . -21n(l + 2x)=e lim - e limd 2x j。 4xe e =+e=223、求p的值，使f *+)项701戊=0.解：广（x+ 严六及？"产J小J。Ja+p被积函数是奇函数，要积分为零，当且仅当积分区间对称，即: a + p = -b-p ,解得：p = 一 .4、计算心£/.花口内,仅（“>0/>0）.A解：6m内

29、心,="*«心2小.、6其中O如右图=JJ 6皿'.勿 + JJ 6m3fMda4%=JJ ea'y' do+JJ ebxl da=j： dy ea ' dx + J； e" ' dy，广)，Q%+并x，认 Jo ,， Jo1 fb fl-v21 b2x2 i/f=e 4(心广)+ e "(/?*)2ab J。lab 打二;(-1).ab5、计算Jj(x2 + y)dS，其中S为圆柱面x2 + y2 = 4,解：Jf(X2 + y)dS =1JJ(A-2 + y2 )dS + jjyJS s2 ss被积函数关于y是

30、奇函数,积分区域关于z对称,_ i八3 12112112.、(20 分)设U = 1H I1 + +1“2 3 4 5 63/7-2 3-1 3vn =一+ ! + +一,求：(D 如；(2) lim un.n + + 2 3nvI0 f解：u =y京3攵-2i+l+-22 3 4 5 63“-2 3“-1 3n"岸+3.，+，+，+_L/+_L+)2 3 4 5 6 n 3/2-2 3n-l 3n)2 nii. 一 v.1 =白 134-2 3J 3k)V(2) lim u = lim v = limF+ + T81 +1 + 2 3n=lind -L- +-L + 1 (图来说明

31、积分上下) 一 11 1 2、 k 、 2/71 + - 1 + -1 + 1 + n n n n 71 21= lim-Y-n=dx = In 3 .Jo 1 + x三、（满分20分）有一张边长为44的正方形纸（如图），。、。分别为A4'、83'的中点，E 为08'的中点，现将纸卷成圆柱形，使A与A'重合，B与B'重合,并将圆柱垂直放在宜下 平面上，且8与原点O重合，。若在y轴正向上，求：（1）通过c, E两点的直线绕z轴旋转所得的旋转曲而方程：解：（2）此旋转曲而、xOy平面和过A点垂直于z轴的平面所围成的立体体积.化简得：所求的旋转曲面方程为：/

32、+）,2 一二 =8,27V（2） A（0,0,4/r）,故过A（0,0,4乃）垂直z轴的平面方程为：z=4万令x = 0,解得在坐标而），,z上的曲线方程为：/一二 =8,图中所求的旋转体的体枳为:四、（20 分）求函数 /（x, y,z）=二、，在 £） = （工,+Z?44的最大r+ ）广+ Z：值、最小值.解:/；(x,y,z) =2x(x2 + y2 +z2)- 2x(x2 +)忆)_ 2xy2 + 2xz,2 - 2xyz(x2 + y2 + z2)2- (x2 + y2 + z2)2/：(x,y,z) =z(F + 丁 + z?) 2)"2 + ”)(r+ &

33、#187;+ z)2x2 + z3-2yx2-y2z(厂+ y- + Z)/；(x,y,z) =y(x2 + y2+z2)-2z(x2 + yz)(r+ » + z)/2 + )，3_2。2_2)，(x2 + y2 + z2)2由于x,y具有轮换对称性,令工=>,x = 0或y = z = 0解得驻点:(0, y9 y)或(x, 0,0)对7W，y)=/ W = ；, /(x,o,o)= -v-y% = i,在圆周/+ V + Z? = 1上，由条件极值得：令尸(x,y,z) = x? +)2 + 4(工2 +)F +Z? 1)z) = 2x + 2Ax = 0'(x，

34、FZ)= z + 22y = 0 7F!(x,y9z) = y + 2Az = 0F； (x, y, z) = x2 + y2 + z2-l = 0= -；, /(l,0,0) = l, /(-l,0,0) = l；在圆周V + y2 + z? =4 ±,由条件极值得：令 F(x. x z) = x2 + yz + 2(x2 + y2 + z2 - 4)F；(x, y, z) = 2x + 2Ax = 0E(x,y,z) = z + 22)，= 0F'(x, y, z) = y+22 z = 0F；(x,y,z) = x2 + y2 +z2 -4 = 0解得：(0,忘,夜)，

35、(0,点,一")，(0,一应，一点)，(0,一无,虎)，(2,0,0),(2,0,0)/(0,V2,>/2) = , /(0,V2,V2) = , /(0,5/2,>/2)=, 乙乙乙/(0,-71伪=-L /(2,。,0) = 1, /(-2,0,0) = 1; 22f(x,yy z) =7，在。=(x,y,z)|<x2+y2+z2 < 4的最大值为 1,最小值为-L2 X五、(15分)设哥级数ZqX7的系数满足“0 = 2, /=勺_1+- 1, " = 123, ，求此事级 数的和函数.xx证明：S(x) = Z d = S M = Z nan

36、X00I = zH-l为_产+£（-1产;r-l=Z + Z= S (%) + Z "n-0n.O“0“U/1-（）/一】“0 “-0=X(l J '即:c(x) = J（17 尸，dx = 1-xJT 】 xex e 1 /_r'；-xe dx =- xe ) dx1-x "一小 73=+1-x-xJ(-e-'"x = % + e-xY故 S'OO-SWn-7的通解为：S(x) =(17厂+ X+C由于S（0） = 0,解得。=一1,故乞见X"的和函数S（x） =n.O(占)=(三)=(I)/=一+"

37、,1-xe1-xY即：S'（x） - S（x） =一阶非齐次线性微分方程-常数变易法, （一厂求 S'(x) S(x) = 0 的通解：SM = cetW： (I)?令 S(x) = c(x)/代入 S'(x) S(x)=(I)?c(x)ex + cf(x)ex -c(x)ex =六、（15分）已知/（刈二阶可导,且/*）0,/（幻/（工）一广"）20, xeR,证明：/（$）/（七）之尸（内十“若/（。）= 1,证明/（x）“八叫xeR.证明：要证明/（石）/（西）之,«X,x?wR,11f 11)只需证明一ln/'(xj + ln/

38、9;(w)Nln/ 玉+ ，PxgeR, 22 22 7也即说明尸(x) = ln/(x)是凹函数,同田符/J豺”丹故尸(x) = ln/(x)是凹函数，即证.(2) F(x) = F(0) + F0)x + I- x22f'(0) =ln f(0) + x +/(0)x)/ *)r(x)2/2(x)x2 > f(0)x,即：f(x)>er(Q) xeR.2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)w:-n计算题/+2/%英"3cosK= lim e.T)计算fJ cos(3 + x)sin(5 + x)解:1Cos(5 + x)-(3 + x)/ cos(3

39、 + x)sin(5 + x) cos2J cos(3 + x)sin(5 + x)1 1cos(5 + x)cos(3 + x) + sin(5 + x)sin(3 + x) K cos 2 Jcos(3 + x)sin(5 + x)1cos» + x)cos(3 + x)cos2cos(3 + x)sin(5 + x)fsin(5 + x)sin(3 + x)八 J cos0 + x)sin(5 + x)1 rcos(5 + x) cos2sin(5 + x)sin(3 + x)dx+ dxJ cos(3 + x)dsin(5 + x) r i/cos(3 + x), dxsii

40、i(5 + x) J cos(3 + x)一：° in|sin(5 + x)| -hi|cos(3 + -v)|1 , sin(5 + x) In cos2 cos(3 + x)法二：fdx = fdxJ cos(3 + x)sin(5 + x)J sin 2(x + 4) + sin22=I dx , 令，=tan(x + 4),x = arc tan/ 一 4J 2tan(x + 4).；-+ sin 21 +tan"(x + 4)217 r 2;2 f 1.-t dt = dt = dt2, 今 1 +广 广 sin2 +2f+ sin2 sin22 , 2r + s

41、in2t +r+ 11+广sin 2sin 2 J 1 cos 2 Y 1 + cos2 t + t +sin 2 人 sin 2-1 f Icos2 J l + cos2 t +sin 2l-cos2 t +sin 2dt八 l + cos2 tan(x + 4) +sin 2八 l-cos2 tan(x + 4) +sin 23、设/(x) = x3arcsinx,求/'"加(0).解：g(x) = arcsinx,则 g'(x)=,yj-X2r = arcsiiix,则/(sinf) = fsinf=& sin 打")=C；(sin ), +

42、C： (sin /片”=0 +屐屈 1=0J(2OO8)/(sinr)-N-= 2008(sin 打 2。刀 /=0=2008 2007 (3,2 cos /产”1/=0=2008-2007-2006-(6/cosf3 -9 sin#)""'被积函数是奇函数，要积分为零，当且仅当积分区间对称，即: a + p = -b-p ,解得：p = 一.4、计算二公工/可必a/内,仅（“>o,>o）.解：，可；6 nmM 2启,=/max也”NW&r,其中。如右图(x2 + y2)dS + ydS= J04"S + JJMS“ s sx=(Z&q

43、uot;2-i). ab5、计算JJ(x2 + y)dS，其中S为圆柱面x2 + y2 = 4,=84+dydzyjl + q- + O2 dydz = 8/r被积函数关于y是奇函数,积分区域关于z对称,二、（20 分）设t 1 2 1 1 21=i -j 1 + +匕=+n+ n+24F ,求:3/2i i+w ；匕。解：un = V白13攵一2 31 3k),12 112=i + + + +2 3 4 5 6T3/? 一 2 3/ 一 1 3lim un.+3“ - 2 3/2-1 3/22ft%=EI1+1+1+1+1+12 3 4 5 61 1 1 1F+ +1 n 3一2 3 - 1

44、 3II. 一 V.1 =白 134-2 3J 3k)=E3k 3k=%=1;V.(2) lim un = lim vtl = lim1+ 3= lim-+ .1Tk+ 1 + 1 + n2n（图来说明枳分上下）1 21白1 +七=f = ln3 .J。1 + x三、（满分20分）有一张边长为4%的正方形纸（如图），。、。分别为A4'、38'的中点，E为06'的中点，现将纸卷成圆柱形，使A与A'重合，8与3'重合，并将圆柱垂直放在xQv平面上，且8与原点O重合，。若在y轴正向上，求:通过C,七两点的直线绕z轴旋转所得的旋转曲面方程;此旋转曲而、xOy平面

45、和过4点垂直于z轴的平面所围成的立体体积.(4)（2） A（0,0,4R,故过A（0,0,4乃）垂直z轴的平面方程为：z=4万令x=o,解得在坐标面），上的曲线方程为：V-三=8,图中所求的旋转体的体积为:+ 32/T=r32/)128/+ 32/r =四、（20分）求函数/*,），）= 匕三 在。= （x,y,z）|l«f + y2+z2<4的最大值、最小值.解：/：(x,y,z) =2x(x2 + y2 +z2)- 2x(x2 +)忆)2xy2 + 2xv - 2xyz(x2 + y2 + z2)2z 1 1 ? X 0(x2 + y2+z2)2/：(x,y,z) =Z(x

46、2 + y2 + z2) . 2y(J + yz) zx2 + z3 - 2yx2 - y2z(x2 + y2 + z2)2(x-2)2£(x,y,Z)=y(x2 + y2 +z2)-2z(x2 + yz) yx2 + y3 -2zx2 - z2y(x + y + Z>/ 2 2 *> s 9 (r+ A + Z)由于x,y具有轮换对称性,令工=y, x = 0或y = z =。解得驻点:(0, y. >')或(x,0,0)“ r/n 厂+"1-八八、 厂十户 1对°,)= 777T7=5, /a°，°)= 77777

47、 = 1'在圆周V + V +/=1上，由条件极值得:F(x.y.z) = x2 + yz + A(x2 +y2 +z2F：(x, y, z) = 2x + 2Ax = 0E(x,y,z) = z + 2/y = 0耳(x,y,Z)= y + 2/z = 0F； (x, y, z) = x2+y2 + z2-l = 0解得：（0,> (1,0,0), (1,0,0) 44/(O,一/(l,O,O) = l, /(1,0,0) = 1;在圆周犬+ y2 + Z? = 4上，由条件极值得:令 F(x. y, z) = x2 + yz + 2(x2 + y2 + z2 - 4)F：(x

48、, y, z) = 2x + 2Ax = 0E(x，y,z) = z + 22y = 0 rF"(x.y9z) = y + 2Az = 0弓(x,y,z) = M + y2 + 3 -4 = 0解得：(0,0,伪，(0,衣-血)，(0,-VI-夜),(0,-夜,0) ,(2,0,0), (-2,0,0)/(0,72,72) = 1 /(0,V2-V2) = -l, /(0,-V2,-72) = 1 乙乙乙/(0,->/2,V2) = -l /(2,0,0) = l,/(-2,0,0) = l；f(x,yyZ)="二：二，在。=(x,y,Z)<x2+y2+z2 &

49、lt;4)的最大值为 1,最小值 为总X五、(15分)设幕级数Zq/7的系数满足册=2, =勺_1+一 1, “ = 1,2,3,，求此事级 n-0数的和函数.X9088证明：S(x) = anxn = S'(x) = Z4x"-'+工(一1»"”n-0-lzi-l/r-l=Z anxn + Z= S (x) + Z nx'1“0“0Y即：S'(x)-S(x) =一阶非齐次线性微分方程-常数变易法, (17厂求 S'(x)S(x) = O 的通解:SM = ceX令 S(x) = c(x)/ 代入 Sx) - 5(x) =

50、得: (1)2c(x)ex + c(x)ex - c(x)/(If即:+ c一 1,XXP故S'(x) S(x) = 的通解为：S(x)= -一 +1+，产=+(l-x)11一X1-X由于S(0) = 0,解得c = -1,故£>“父的和函数S(x) =一n-01 x法二：naH = a,. + - 1 =-=,同学们自行完成.唯一 1 六、(15 分)已知/(刈二阶可导，且/(x)>0, (x)/(x) - /'(x)NO, xeR,(3)证明：/'(2)/(七)之/2(4)若/(O) = 1,证明 f(x) >Z(0) xeR.证明： 要证明/(石)/(不)之尸, Px1,x?eR,11( 11)只需证明一ln/'(xj + ln/'(w)Nln/ 玉+ ，PxgeR, 22 22 7也即说明尸(x) = ln/(x)是凹函数,故尸（x） = In/*）