浙教版八年级数学下册第1章二次根式知识点总结

1、知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义.【例2】若式子有意义，则x的取值范围是举一反三:1、使代数式 个x2 2x 1有意义的x的取值范围是2、如果代数式 m m -L有意义，那么，直角坐标系中点 p （m n）的位置在（ mnA第一象限B、第二象限C第三象限 D.第四象限例 3若 y=+2009,贝U x+y=解题思路：式子(a>0) , y=2009,贝U x+y=2014举一反三:1、若，则x-y的值为（）A. - 1 B .1 C , 23、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。已知a是

2、 而整数部分，b是 J5的小数部分，求11的值。若17的整数部分为x,小数部分为y,求x2 一的值.b 2y知识点二：二次根式的性质【知识要点】1 .非负性：是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2 . (v'a)2a(a 0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:3. a2 |a|a(aa(a0)0)注意：（1）字母不一定是正数.（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.2-a( a 0)4.公

3、式xa2 |a|与"a)2a(a 0)的区别与联系a(a 0)（1）丁表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.（2） （%5）2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.（3）$丁和（ja）2的运算结果都是非负的.【典型例题】观浪戴箍醺国I国犍【例4】若则举一反三：1、已知直角三角形两边 X、y的长满足|x2-4 +q'y2 5y 6=0，则第三边长为2、若与互为相反数，则。a（a 0）的运用）【例5】 化简：的结果为（A 4 2a B 、0 C 、2a 4 D 、4举一反三：3已知直角三角形的两直角边分别为J2和J5，则斜边长为a(a 0)a(a 0)的应用）

4、【例6】已知x2 ,则化简 辰4X4的结果是A、X 2B、X 2举一反三:2、化简 J4X24x1 V2X3 得(A)2(B) 4x 4(。- 2(D) 4x 43、已知，化简求值:a b1 +的结果等于（）【例7】如果表示a, b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简A . 2b B .2b C . - 2a D . 2a举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：1a 1 J（a 2）2 【例8】化简1 x| vx2 8X 16的结果是2x-5 ,则x的取值范围是（）（A） x 为任意实数（B） 1 <x<4（C） x>1（D） x< 1举一反三：若代数式

5、五 a）2 J（a 4）2的值是常数2，则a的取值范围是（a. a> 4 b. a<2 c. 20a&4 d. a 2或a 4【例9】如果a %：a 2a1 1 ,那么a的取值范围是()A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a举一反三：1、如果a Ja2 6a 9 3成立，那么实数a的取值范围是()A .a 0 B .a 3; C .a 3; D .a 32、若J(X3)2 x 3 0，则x的取值范围是()(A) x 3(B) x 3(C) x 3(D) x 3【例10】化简二次根式aa2的结果是a a2(A)a 2 a 2 (C),a 2 a 21、把根

6、号外的因式移到根号内：当 b>0时，Bf1x=； （a 1） 1=x.： 1 a知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（D最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式.2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】【例11】下列根式中能与J3是合并的是（）举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）A、/3口 18 B、石和 A C、&2b和 Jab2 D、Va_1 和 Va12、如果最简二次根式 73a

7、 8与，：17 2a能够合并为一个二次根式，则a=知识点四：二次根式计算一一分母有理化【知识要点】1 .分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2 .有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:单项二次根式：利用 石指a来确定，如：指与国 "b与向石，jaF与等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a /与a0a近 炉,ax b/与a" b/分别互为有理化因式。3 .分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分

8、母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例12】 把下列各式分母有理化1)叵娓底b2、a5、5 . 3举一反三：1、已知x 29,y 2_9,求下列各式的值：(1)-一y(2) x2 3Xyy2232 x.3x y知识点五：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法0,b 0时，如果a b ,则立而；如果则 Va Vb a2、平方法0,b 0时，如果a2 b2,则a b;如果a2b2，则 a b。3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行

9、比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：；8、求商比较法它运用如下性质：当 a>0, b>0时，则：； (Z【例13】 比较35与5巧"的大小。【典型例题】的大小。【例14】比较-7=- 与 亍-、3 12 1【例15】比较与的大小【例16】比较与的大小已知：，求的值.次根式和一元二次方程经典练习题1 .把aj 1的根号外的因式移到根号内等于 ，2 .若a b I与jO2b 4互为相反数，则 a b3 .若 2 p a p 3,则 22了 J a 3 2 等于（）a. 5 2a b. 1 2a c. 2a 5 d. 2a 14 .若a 1,则JIJ化简后

10、为（）D.a. a 1a 1 b. 1 a、1 a c.5 .计算：J 2a 1 2 " 1 2a 2的值是（）a. 0 b. 4a 2 c. 2 4a d. 2 4a 或 4a 26 .若4成立，则X、y符合的条件是（）4y2yA. x<0, y，0B. x<0, y 为一切实数C. x<。，y，0D.以上都不对7 .若J2m n 2和J33m 2n 2都是最简二次根式，则 m ,n 8.已知xy f 0 ,化简二次根式xJT的正确结果为（1 x9 .若1p x p 2 ,则J44xx2 422x 1化简的结果是（a. 2x 1 B. 2x 1 C. 3 D. -

11、310 .若，18x 2A xj2 10 ,则x的值等于（）A. 4 B.2 C. 2 D.411 .若 6的整数部分为x，小数部分为y ,则 Mxy的值是（A. 3 、3 3 B. 3 C. 1 D. 3a 1312 .右取间一次根式 J2a5与J3b4a是同类二次根式，则a , b 。右最简 二次根式2 J4a1与2ga2 1是同类二次根式,则 a。3 '13、以-3和7为根且二次项系数为 1的一元二次方程是14、如果x2 2 m 1 x m2 5是一个完全平方式，则 m .22X.3 一15、已知X1, *2是一元二次方程4x (3m 5)x 6m0的两个实数根，且| ,则叶.x

12、22216、已知x1, x2是万程4ax 4ax a 4 0的两实根，是否能适当选取 a的值，使得一 5(x1 2x2)(x2 2x1)的值等于 一-4217、关于x的一次万程mx 2(m 1)x 40(m0)的两根一个比1大，另一个比1小，则m的取值范围是 218、已知一次万程kx (2k 3)x k 10 0的两根都是负数，则k的取值范围是 . 2219、万程x 2(m 1)x m 4 0的两个实根，且这两根的平方和比这两根之积大21,那么m= .20、一元二次方程 x2 5x k 0的两实根之差是3,则k .11一121、已知实数x满足x2 = x 0 ,那么x 的值是()xxx(A)

13、1 或-2 ( B) -1 或 2 (。1 ( D) -22t4 1,、22、关于x的万程2x 2tx t 0的两实根满足(x1 1)( x2 1) 2,则的值是()t 1(A) -5(B) 5 (C) -9(D) -1523、已知a、b、c为 ABC的三边，试判断关于x的方程(b c)x2 2ax b c 0(b c)的根的情况.2 .124、已知x1, x2是关于x的万程x kx - k(k 4)0的两个实根,k取什么值时,2)(x2 2)3742225、已知关于x的方程x kx k n0有两个不相等的实数根 Xix2) 8(2x1 x2) 15 0.(1)求证：n 0.(2)试用k的代数式表示x1 . (3)当n 3时，求k的值.26、已知：xx2是关于x的方程x2 2a 1 x a2 0的两个实数根且 x1 2 x2 2 11,求a的值.27、已知关于x的一元二次方程x24m 1 x 2m 1 0.,、 C ，_ i 111（1）求证：不论 m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根.（2）若方程两根为xx2 ,且满足 -,求m的值.x1 x2221 . 228、已知关于x的万程x （k 1）x -k 1 0的两根是一个矩形两邻边的长.（1） k取何值时，方程在两个实数根；（2）当矩形的对角线长为 J5时，求k的值.29.20002001V32 g