相似三角形模型讲解-一线三等角问题

1、第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一） A 字型、反A 字型（斜A字型）AADDEEBCBC（平行）（不平行）（二） 8 字型、反8 字型AABBOJCDDC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型AADDBCC（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景1（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC2二、相似三角形判定的变化模型旋转型： 由 A 字型旋转得到。8 字型拓展AAEFGDBCEBC共享性一线三等角的变形一线三直角的变形3第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例 1：如图，梯形ABCD中， AD BC，对角线 A

2、C、 BD交于点 O， BE CD交 CA延长线于 E求证： OC2OA OE 例 2：已知：如图，ABC中，点 E在中线 AD上,DEBABC B求证：（1） DB2DE DA ； （2）DCEDAC DEAC例 3：已知：如图，等腰ABC中， AB AC， AD BC于 D， CGAB， BG分别交 AD、AC于 E、F求证： BE2EFEG相关练习：1、如图，已知AD为 ABC的角平分线， EF为 AD的垂直平分线求证：FD 2FB FC 42、已知： AD是 Rt ABC中 A 的平分线， C=90°， EF 是 AD的垂直平分线交 AD于 M， EF、 BC的延长线交于一点

3、 N。求证： (1) AME NMD;(2)ND2 =NC· NB3、已知：如图，在ABC中， ACB=90°， CD AB于 D， E是 AC上一点， CF BE于 F。求证： EB·DF=AE· DB4. 在ABC 中， AB=AC，高 AD与 BE交于 H， EF BC ，垂足为 F，延长 AD到 G，使 DG=EF，M是 AH的中点。求证：GBM90AMEHBDFCG5（本题满分14 分，第（ 1）小题满分4 分，第（ 2）、（ 3）小题满分各5 分）已知：如图，在Rt ABC中， C=90°， BC=2， AC=4， P 是斜边 AB

4、 上的一个动点，PD AB，交边 AC于点 D（点 D与点 A、C都不重合），E 是射线 DC上一点，且 EPD= A设BA、 P 两点的距离为 x， BEP的面积为 y（ 1）求证： AE=2PE；P（ 2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（ 3）当ADEC与相似时，求的面积BEPABCBEP（第 25题图）5双垂型1、如图，在 ABC中， A=60°， BD、 CE分别是 AC、 AB上的高求证：（ 1） ABD ACE；（2） ADE ABC；(3)BC=2EDAED2、如图，已知锐角 ABC，AD、CE分别是 BC、AB边上的高， ABC和 BDE的面积分别

5、是27 和 3，DE=62 ，求：点 B 到直线 AC的距离。BCAEBDC共享型相似三角形1、 ABC是等边三角形 ,D 、 B、 C、 E 在一条直线上120，已知 BD=1，CE=3， , 求等边三角形的边, DAE=长 .ADBCE2、已知：如图，在 Rt 中，= ，=45°ABCAB ACDAE求证：（ 1） ABE ACD；（2） BC22BE CD A一线三等角型相似三角形AC例 1：如图，等边中，边长为6，D是上动点，=60°BDEABCBCEDF6EF（ 1）求证： BDE CFD（ 2）当 BD=1， FC=3 时，求 BE例 2：（ 1）在ABC 中，

6、 ABAC 5， BC8，点 P、Q分别在射线 CB、 AC 上（点 P不与点 C、点 B 重合），且保持 APQABC .若点 P 在线段 CB 上（如图），且 BP6 ，求线段 CQ 的长；若 BPx ， CQy ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；AAAQBPCBCBC备用图备用图（ 2）正方形ABCD 的边长为 5 （如下图），点 P 、 Q 分别在直线 CB 、 DC 上（点 P 不与点 C 、点 B 重合），且保持APQ90 . 当 CQ1 时，求出线段BP 的长 .ADADADBCBCBC例 3：已知在梯形ABCD中， AD BC，AD BC，且 AD 5，

7、AB DC2（ 1）如图 8， P 为 AD上的一点，满足BPC A求证； ABP DPCAPD求 AP的长BC（ 2）如果点 P 在 AD边上移动（点 P 与点 A、D不重合），且满足 BPE A，PE交直线 BC于点 E，同时交直线 DC于点 Q，那么当点 Q 在线段 DC的延长线上时，设 AP x， CQ y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定7义域；当 CE 1 时，写出 AP的长ADBCADBC例 4：如图，在梯形ABCD 中， AD BC ， ABCD BC 6，AD3 点 M 为边 BC 的中点，以M 为顶点作EMFB，射线 ME 交腰 AB于点 E，射线 MF 交腰

8、 CD 于点 F ，联结 EF （ 1）求证： MEF BEM ；（ 2）若 BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（ 3）若 EFCD ，求 BE 的长相关练习：1、如图，在ABC 中， ABAC8 ， BC10 ， D 是 BC 边上的一个动点，点E 在 AC 边上，且ADEC 8(1) 求证： ABD DCE；(2)如果 BDx ， AEy ，求 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；A(3)当点 D 是 BC 的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由EBDC2、如图，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5， D是 AB 上一点， BD=2， E

9、是 BC 上一动点，联结DE，并作DEFB ，射线 EF交线段 AC于 F（ 1）求证： DBE ECF；（ 2）当 F 是线段 AC中点时，求线段BE的长；（ 3）联结 DF，如果 DEF与 DBE相似，求FC的长AFDBEC3、已知在梯形ABCD中， AD BC， AD BC，且 BC=6 ， AB=DC=4，点 E是 AB的中点（ 1）如图， P 为 BC上的一点，且 BP=2求证： BEP CPD；（ 2）如果点 P 在 BC边上移动（点 P 与点 B、 C不重合），且满足 EPF= C， PF交直线 CD于点 F，同时交直线于点，那么ADMBP= x ，DF= y ，求 y 关于 x

10、 的函数解析式，并写出函数的定义当点 F 在线段 CD的延长线上时，设域；当 S DMF9 S BEP 时，求 BP的长4DAADEEBPCBC（第 25题（备用图）4、如图，已知边长为3 的等边ABC ，点 F 在边 BC 上， CF1 ，点 E 是射线 BA 上一动点， 以线段 EF为边向右侧作等边EFG ，直线 EG, FG 交直线 AC 于点 M , N ，9（ 1）写出图中与 BEF 相似的三角形；（ 2）证明其中一对三角形相似；（ 3）设 BEx, MNy ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（ 4）若 AE1 ，试求GMN 的面积备用图一线三直角型相似

11、三角形例 1、已知矩形 ABCD中，CD=2，AD=3，点 P 是 AD上的一个动点， 且和点 A,D 不重合， 过点 P 作 PECP ，交边 AB 于点 E, 设 PDx, AEy ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。APDEBC例 2、在ABC 中， C 90 o , AC4, BC 3, O 是 AB 上的一点，且AO2 ，点 P 是 AC上的一个动AB5点， PQOP 交线段 BC于点 Q，（不与点 B,C 重合），设 AP x, CQy ，试求 y 关于 x 的函数关系，并写出定义域。CQP10BAO【练习 1】在直角ABC 中，C90 o , AB5, tan

12、 B交射线 AC于点 F（ 1）、求 AC和 BC的长（ 2）、当 EF / BC 时，求 BE 的长。（ 3）、连结 EF, 当 DEF 和 ABC 相似时，求3 ，点 D是 BC的中点， 点 E 是 AB边上的动点，DFDE4ABE 的长。EFCDABEFCBD【练习 2】在直角三角形ABC中， C 90 o , ABBC , D 是 AB边上的一点， E 是在 AC边上的一个动点， （与 A,C 不重合）， DFDE , DF 与射线 BC相交于点 F.(1) 、当点 D 是边 AB的中点时，求证： DE DF(2) 、当 ADm ，求 DE 的值DBDF（ 3）、当 ACBC 6, AD1，设 AE x, BFy , 求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域DB2CCFFEE11BABADD【 练习 4】 如图，在ABC 中， C 90 ， AC 6 ， tan B3，D是 BC边的中点， E为 AB边上4的一个动点，作 DEF90 ，EF交射线 BC于点 F 设 BEx ， BED 的面积为 y （ 1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（ 2）如果以 B 、 E 、 F 为顶点的三角形与BED 相似，求BED 的面积 .【 练习 5】、如图 , 在梯形 ABCD