高考特训重难点专题突破——不等式

1、实用标准高考重难点专题突破之不等式一、综述（内容、地位、作用） ：在苏教版高中数学教科书必修系列中，直接涉及“不等式”内容的部分为必修5第三章不等式 。另外，在实际教学过程中，在学到必修5不等式之前的某些章节（如集合、函数的值域等），无论文理科班，基于教学内容的关联性和完整性，老师们基本上都要对选修 4-5中的部分基础性内容进行选讲。所以“不等式”的内容主要来自必修 5 第三章不等式以及选修系列4-5 不等式选讲 。综合来看，不等式的内容主要可分为不等式的求解、证明和应用三部分，它们又分别以一元二次不等式的求解、均值不等式相关的证明、不等式在应用题以及线性规划中的应用为主。不等式是中学数学的主

2、干内容之一，它不仅是中学数学的基础知识，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用，对学生们步入大学之后的数学学习也具有基础性的铺垫作用。在历年的高考中，不等式虽很少单独命题（理科附加卷除外），但无论从它所涉及到的知识点或是题量来看，有关不等式的试题分布范围极广（甚至有些题目很难界定其中对不等式的考查所占到的比重，所以我们也很难准确给出高考中不等式所占分值），试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养。在高考命题趋势上，不等式的考查极其突出工具性，淡化独立性、突出解，是不等式命题的总体取向。高考中不等式试题的落脚点

3、主要有：一，不等式的性质，常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来，考查不等式的性质、函数的单调性、最值等；二，不等式的证明，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高；三，解不等式，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起，考查学生的等价转化能力和分类讨论能力；四，不等式的应用，以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题是高考的热点，主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。二、考试要求与教学建议：（一）必修 5 部分新课标在对“必修5”不等式一章的说明中指出：“不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容

4、掌握求解一元二次不等式的基文档实用标准本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。 ”由此，我们大致可以看出教材对于本部分的基本要求以及高考的考查要点。本部分的课标建议课时为大约16 课时。相应的说明与建议主要有：1、 一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。2、 不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要

5、工具。刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。3、 线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，不必引入很多名词。（二）不等式选讲部分此部分文理科考生的对待方式见的异同我们已在“综述”部分有所讲解，次不赘述。本专题主要介绍几个数学中重要的不等式以及数学归纳法。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。从文理科学习之间的异同的角度，我们可以将本专题内容分为两部分：前半部分，文理科同等要

6、求，且均在必修过程中已基本讲解到位；后半部分，只对理科生做简单要求，即高考时所考题目难度不大，基本上可直接套用公式，或只需经简单并行即可套用公式，同时，也不是必做题。下面，我们把新课标中的内容与要求重点性的摘录于此，以供诸位师生探讨，同时也作为本部分内容的一个基本总结，后文将不再详细展开。1、 理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明三角不等式等。2、 认识柯西不等式的几种不同形式。3、 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。4、 会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。文档实用标准5、 通过一些简单问题

7、了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。三、考点归纳与题型讲解之“不等式的求解”（一）、不等式的性质1、不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。2、两个实数的大小：ab0ab ； ab0ab ； a b 0ab3、不等式的基本性质：(1) 不等式的两边都加上 ( 或减去 ) 同一个数或同一个整式 不等号的方向不变如果 ab ，那么 a c b c .(2) 不等式的两边都乘以 ( 或除以 ) 同一个正数，不等号的方向不变如果 a b, c0 ，那么 acbc （或 ab ） .

8、cc（ 3) 不等式的两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向改变如果 ab , c0 , 那么 acbc （或 ab ）cc由上面三条可以衍生出如下的性质：（ 1） abba （对称性）（ 2） ab, bcac （传递性）（ 3） abac bc （加法单调性）（ 4） ab, cdacbd （同向不等式相加）（ 5） ab, cdacbd （异向不等式相减）（ 6） ab, c0acbc（ 7） ab, c0acbc （乘法单调性）（ 8） ab 0, cd0acbd （同向不等式相乘）文档实用标准(9) ab0,0cdabc d （异向不等式相除）11(10) ab, ab0

9、a b （倒数关系）（ 11） ab0a nbn (nZ ,且 n1) （平方法则）（ 12） ab0n an b (nZ , 且 n1) （开方法则）4例题：（ 1）已知1xy1， 1xy3 ，则 3x y 的取值范围是 _（答： 13xy7 ）；c（ 2）已知 abc ，且 abc0, 则 a 的取值范围是 _2,1（答：2）（二）解一元一次不等式（组）1一元一次不等式1.1 定义： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1系数不等于0 的不等式叫做一元一次不等式注：一元一次不等式的一般形式是ax+bO 或 ax+bb）不等式组图示解集xaxaxbba（同大取大）xabxbxba（同小取小）x

10、abx axbba（大小交叉取中间）xab无解xba（大小分离解为空）2 4. 解一元一次不等式组的步骤(1) 分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2) 利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集3例题讲解x2( x1) 32x5x【例 1】 解不等式组3，并把它的解集在数轴上表示出来.解 : 解不等式得 x1，解不等式得x 5 ，不等式和的解集在数轴上表示如下：-112345原不等式组的解集是1x5.0（三）解一元二次不等式（组）1：一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式。文档实用标准比如：. 任意的一元二次不等式，总可以化

11、为一般形式：或.2：一般的一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集 .设一元二次方程的两根为且，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：(a0) 的图象有两相异实根有两相等实根无实根 x | xx1或 xx2 注：表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，可先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；3：规律方法指导3.1 解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正； 若为负， 则将其变为正数；3.2 若相应方程有实数根，求根时注意灵活

12、运用因式分解和配方法；3.3 写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应文档实用标准分类讨论；3.4 根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；3.5 若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数（四）解分式不等式1.形如 f(x)/g(x)0或 f(x)/g(x)0（其中 f(x)、g(x) 为整式且g(x) 不为）的不等式称为分式不等式。通俗的说就是分母中含未知数的不等式称之为分式不等式。2. 归纳分式不等式的解法： （不知道分母正负的时候）化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f

13、( x)g (x)的形式将分式不等式进行形如以下四类的等价变形：f (x)0（ 1） g( x)f ( x)g ( x)0f (x)0（ 2） g( x)f ( x) g (x) 0f (x)0f ( x)g ( x)0（ 3） g( x)g(x)0f (x)f ( x)g ( x) 00g(x)0（ 4） g( x)x30x73. 例题讲解：解不等式：.解法 1：化为两个不等式组来解：x3x3 0x 3 00或x 7x 7 0 x 7 0x 或7 x37 x3 ，原不等式的解集是x |7x 3 .文档实用标准解法 2：化为二次不等式来解：x30(x3)( x7)0 x77x 3， 原不等式的

14、解集是 x | 7x3点评：提倡用解法 2，避免分类讨论，提高解题速率。x30变式 1：解不等式 x7x30( x 3)( x 7) 0且x7解：x 77 x 3原不等式的解集是 x| -70” , 则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“ 0” , 则找“线”在x 轴下方的区间 .文档实用标准+-x2-xn-1-x1x3xn说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；3. 例题讲解：例 1. 解不等式： x 23x20 .x 22x3x 23x20( x23x2)( x22x 3) 0解： x 22x3x 22x3 0( x1)( x2)(x3)( x 1)0( x3)(

15、 x1)0，用穿根法（零点分段法）画图如下：+-1-12-3原不等式的解集为x| -1x1 或 2x3.例 2 解不等式： ( x2)2 ( x3) 3 ( x 1)0 .解：检查各因式中x 的符号均正；求得相应方程的根为：-1 ， 2，3（注意： 2 是二重根， 3 是三重根）；在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：原不等式的解集为：x|-1x2或 2x3.说明： 3 是三重根，在C 处穿三次， 2 是二重根，在B 处穿两次，结果相当于没穿 . 由此看出，当左侧 f(x) 有相同因式 (x-x1)n 时， n 为奇数时，曲线在 x1 点处穿过数轴； n 为偶数时，曲线

16、在 x1 点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿” .（六）解无理不等式1. 基本概念：根号下含有未知数的不等式。2、无理不等式的类型（高考对这方面的要求不太高）文档实用标准(1)f ( x )g ( x )( 2 )f ( x )g ( x )(3 )f ( x )g ( x )( 4 )f ( x )g ( x ) 03. 根式不等式的解法3.1 类型一：f ( x)g ( x)f ( x)0g( x)0f (x)0f (x)g (x)f (x)g( x)例：解不等式3x 4x 3 0解：原不等式可化为3x 4x 3 ，根据根式的意义及不等式的性质，得：3x40x303 x4x 3x |

17、x3解得所以，原不等式的解集为x | x 33.2 类型二：f ( x )g ( x )f ( x)0或 f ( x)0g( x)0f ( x) g ( x) 2g ( x)0注：第一个花括号内的f(x)大于等于0 可以省略 。例 2解不等式x 27 2x 3 0解：原不等式可化为x 27 2x 3根据根式的意义及不等式的性质，得x270或 x2702x30 .(1)3.( 2)x 27( x3) 22x0解这个不等式组（1），得x| x 27 x | x3x | 2 x 9x | 3x 922文档实用标准解这个不等式组（2），得x | x2733x | xx | 27 x22所以，原不等式的

18、解集为x| 27 x 93.3 类型三：f ( x )g ( x)f (x)0g ( x)0f ( x) g( x) 2例 3 解不等式 x 27 2x 3 0解：原不等式可化为x272x3根据根式的意义及不等式的性质，得x2702 x30x27( x 3) 2解这个不等式组，得x |x 93.4类型四：(1)f ( x) g( x) 0f ( x)0g ( x)0(2)f (x)g(x)0f (x)0或f (x)0g(x)0例 4 解不等式 (x 2) x2 2x 3 0解：由原不等式可得：x 2 0或x22x 3 0x2 2x 3 0解得 x | x1或x3文档实用标准解法小结：解无理不等

19、式的主要思路是去根号。但去根号的时候要注意下根号里的数和根号外的数的正负！（七）解绝对值不等式的常用方法解含有绝对值的不等式的关键是想法把它转化为不含绝对值的不等式，常见的解法有以下几种：1、利用绝对值的定义例 1：解不等式 1 2x 1 5.2 x102x10解：原不等式于： （）2x1 5或（）( 2x1) 511由（）得： 1x3 或（）得2x0原不等式的解集为：x2x0或1x3 .例2解不等式 1xx1 .2x2x解：原不等式即：x1x1 ，由绝对值的意义可知x10 ，亦即2x2xx2( x 1)( x 2)0，所以2x 1，即原不等式的解集为(2,1).评注： 利用绝对值的意义求解有

20、些不等式时可另辟蹊径，化繁为简.例3解不等式分析：不等式左边可化掉无理式。解：原不等式等价于或或原不等式的解集为2、利用绝对值的性质例 1：解不等式x23x13 .文档实用标准解：原不等式等价于x23x4 3x 23x1 0x2 3x1 3即 :3xx 22 0由得 1 x 4由得 x2或 x1原不等式的解集为：x1x1或 2x 4 .3、利用平方法例 1：解不等式 3x 2 2x 3 .解：将原不等式两边平方为：9x 212x44x212x9即 x 21原不等式的解集为：x x1或 x1 .例 2、解不等式解：原不等式变为：等价于，即原不等式的解集为4、利用分段讨论法（即零点分段法）例 1：

21、解不等式 x 2 x 4.解：当 x2时，不等式化为：(x2)x4 x3当2x 0 时，不等式化为：x 2x4 x当 x0时， x 2 x 4 x 1x x3, 或 x1综上所述，不等式的解集为：.例 2. 解不等式分析：如何去掉两个绝对值的符号？首先找出零点，第一个绝对值的式子的零点为5，第二个式子的零点为，两个零点把数轴分成三段，故可分为三段讨论。解：原不等式变为：文档实用标准即原不等式的解集为注：利用此法解题时要注意x 的系数为正。5、利用绝对值的几何意义例 1：解不等式解：不等式x3x25 .x3x25 表示数轴距A（3 ）、 B（ -2 ）两点的距离之和大于 5 的点，方程 x3x2

22、5 表示在数轴上距 A、 B 两点的距离之和等于 5 的点。原不等式的解集为：x x2, 或x3 .6、利用不等式组法（即等价转化法）例 1：已知关于 x 的不等式 x2x1a 有解，求 a 的取值范围。解：令 yx 2x1则 y3， 可将原不等式变为不等式组y3，因原不等式有解， 如图， 易得 a 3 。ya例 2：已知关于 x 的不等式 x4x3a 的解集为 R，求 a 的取值范围。解：令 yx 4x3 ，由上知1y1，故可将原不等式等价变为不等式组1y1ya，如图，易得 a 1.7、利用数形结合法例 1解不等式 x1 2x3解画出 y1x1 和 y22x 3 的图像，如图所示，求出他们的

23、交点文档实用标准2x2x 3 ，所以原不等式的解的横坐标分别是3 和 x 4 因为 x 12x是 y1y2 的交点的横坐标，由图像知：原不等式的解是3 或 x 4 .例 2 若不等式 | x1 | kx 对一切 x R 恒成立， 求实数 k 的取值范围 .解析：在同一坐标系中分别画出函数y| x 1 | 与 ykx 的图象（如下图），显然，要使不等式| x1 |kx 对一切 xR 恒成立，须yykxx1O0k1 ，即 k 的取值范围是 0,1 .例 3 若不等式 | 2xm | 3x 6 | 恒成立，求实数m 的取值范围 .解 析 ： 在 同 一 坐 标 系 中 分 别 画 出 函 数 y|

24、2 x m | 及y | 3x 6 |（如下图），由于不等式 | 2x m | 3x6 |恒成立，所以函数 y| 2xm | 的图象应总在函数y | 3x6 |图象的下方，因此，函数y | 2x m | 的图象也必须经过点( 2,0) ，所以 m4 .评注：运用数形结合的方法求解绝对值不等式问题，既直观形象，又简单易行 .8 利用利用定比分点法yy| 3x6 |y| 2xm |2Ox例 1解不等式 x212ax a0 .解：在数轴上取p12x, px 21, p2 2ax ，其中 xR，使P为p1 , p2p1 p的内分点即可，这就顺利地去掉了绝对值符号，由pp20x2 12axx22ax12

25、002axx1即：解不等式： x22ax1即：.等价于整式不等式：文档实用标准x22ax 1 x22ax 10.x a 1 a2x a1 a2x a 1 a2x a 1 a20.又 x 0a1a2xa1a2 .故不等式的解集为：x | a1a2x a1 a2 .9、利用绝对值不等式注：主要指绝对值的三角不等式| a | b | a b | | a | b |例 1 解不等式： | 2xlog 2 x |2x| log 2 x |.解析：首先应有x0，所以原不等式等价于| 2xlog 2 x | | 2x | log 2x | ，由于在不等式| ab | a | b | 中， 成立的条件是ab0

26、 ，所以原不等式等价于2xlog 2 x0 ，而x 0 ， 所 以 l o g x 0 ， 因 此 得 x 1 ， 故 原 不 等 式 的 解 集 为2x | x1 .评注：要特别注意不等式| a | b | | ab | | a | b |中各部分等号及不等号成立的条件，利用这些条件可以解决一些绝对值不等式或方程问题.例 2 若不等式 | 3x2 | 3x1 | m 恒成立，求实数m 的取值范围 .解析：令 f ( x) | 3x2 | 3x1 | ，则只须求出函数f ( x) 的最小值即可 .由 于f ( x) | 3x 2 | 3x 1 | | (3x 2) (3x 1) | 3 （ 当

27、(3x2)(3x1)0,即1x2f (x) 的最小值等33 时等号取到），即于 3 ，所以不等式| 3x2 | 3x 1 |m 恒成立时，m 的取值范围是m3.评注：此处用绝对值不等式| a | b | | ab | | a | b |求最值，避免了文档实用标准对函数f (x)| 3x2 | 3x1 | 的分段讨论，显得非常简单 .（八）用数学思想方法解不等式注：再解不等式时，有时充分借用常见数学思想，如整体思想、等价变形思想、补集思想、方程与函数思想等等，进行求解，会起到事半功倍的效果。读者可自行对照相关题型研究、学习，此不详细列举。四、考点归纳与题型讲解之“不等式的证明”（一）比较法证明不

28、等式例 1若 0x 1，证明 log a (1 x)log a (1x)（a0且 a1）分析 1用作差法来证明需分为a1和 0a1两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明解法 1（1）当 a1时，因为01x1,1x1，所 以loga (1x)loga (1x)log a (1x)log a (1x)log a (1x2 )0 （2）当 0a1时，因为01x1,1x1，所以loga (1x)log a (1 x)log a (1x)log a (1x)loga (1 x2 )0综合（ 1）（ 2）知 log a (1x)log a (1 x) 分析 2直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号解法

29、 2作差比较法因为log a (1x)loga (1x)lg(1x)lg(1x)lg alg a1lg(1x)lg(1x)lg a1lg(1x)lg(1x)1lg(1x2 )0 ，lg alg a所以 log a (1x)log a (1x) 说明： 解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治文档实用标准之，其解法自然简捷、明快例 2设 ab 0 ，求证： aabbab ba .分析： 发现作差后变形、判断符号较为困难考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1 的大小关系，从而证明不等式证明： aa bbaab b

30、ba( a )a b ， ab 0 ， a1, a b 0. abb abb( a )a b1 . a a bb1. 又 abba0 ， a abbabba . .ba bb a说明： 本题考查不等式的证明方法比较法( 作商比较法 ). 作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.（二）综合法证明不等式a4b4( a b )4例 1 对于任意实数 a 、b ，求证22（当且仅当 a b 时取等号）分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有 ( a b) 4，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：2a2b22ab 出发， 再恰当地利用不等式

31、的有关性质及“配方” 的技巧可得到证明。证明： a2b22ab （当且仅当 a2b2 时取等号）两边同加 (a4b4 ) : 2(a4b4 )(a2b2 )2 ，即： a4b4( a2b2 )2（ 1）22又：a2b22ab （当且仅当 ab 时取等号）两边同加 (a2b2 ) : 2(a2b2 )(ab)2 a2b2( a b )222 ( a22b2 )2( a b) 4（ 2）2由（ 1）和（ 2）可得 a4b4( a b)4 （当且仅当 ab 时取等号）22文档实用标准说明： 此题参考用综合法证明不等式综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出

32、现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解例2若a、b、c是不全相等的正数，求证：abcblgaclg alg blg clglg222【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。a,b, cRabab02【证法一】（综合法）：，cbcb0a cac022，abcb acabc又 a、 b、 c 是不全相等的正数，有222。lg( ab cbac)lg abc222即lg ablg cblg aclg alg blg c222【证法二】（分析法）要证lg ablg cblg aclg alg blg c222lg( abc bac)lg abc即 证222成立。只需证abcbacabc222成立。abab0cbcb0acac02，2，2。 abcbacabc0222（ * ）又 a、 b、 c 是不全相等的正数，（* ）式等号不成立。原不等式成立