复数知识点精心总结

1、复数知识点考试内容：复数得概念.复数得加法与减法.复数得乘法与除法.数系得扩充.考试要求：(1) 了解复数得有关概念及复数得代数表示与几何意义.(2)掌握复数代数形式得运算法则，能进行复数代数形式得加法、减法、乘法、除法运算.(3) 了解从自然数系到复数系得关系及扩充得基本思想.1、复数得单位为复数及其相关概念：i，它得平方等于一1,即i2复数一形如 a+实数一当b = 0虚数一当b 0时得复数 a+bi;纯虚数一当 a= 0且b 0时得复数 a+bi，即 复数a+bi得实部与虚部一 a 叫做复数得实部，bi得数(其中a，b R)； 时得复数 a+bi，即 a；bi、b 叫做虚部(注意 a,

2、b 都就是实数)复数集C全体复数得集合，一般用字母C表示、两个复数相等得定义：a bi c di a c且b d(其中，a,b,c,d,R)特别地a bi 0两个复数，如果不全就是实数，就不能比较大小、注：若Z1, Z2为复数，则1若Z1Z20,则Z1Z2、(X) Z1,Z2为复数，而不就是实2若Z1Z2，贝U Z1若a,b,c C，则(a b)2(b c)2(c a)20 就是a b c得必要不充分条件、(当(ab)2i2(b2 2c) 1, (c a)0 时，上式成立)2、复平面内得两点间距离公式：d |z1Z2I、其中Z1,Z2就是复平面内得两点Z1和Z2所对应得复数，d表示Z1和Z2间

3、得距离、由上可得：复平面内以Z0为圆心，r 为半径得圆得复数方程：|z z0r(r 0)、曲线方程得复数形式:|ZZ0Ir表示以Z0为圆心，r为半径得圆得方程、|ZZ1I|ZZ2I表示线段Z1Z2得垂直平分线得方程、|zz1|z Z2I2a（a 0且2a卜心|）表示以Z1,Z?为焦点，长半轴长为a 得椭圆得方程（若 2aZ1Z2|，此方程表示线段 Zi,Z2）、（若 2aziZ2|，此方程表示两条射线）绝对值不等式：设Zi,Z2就是不等于零得复数，则4复数得乘方：znZ Z z.z（nNn对任何 Z ,z1, z2C及m, n N有ZmZnZm n,(Zm)nZmn,(Z1Z2)n丄1i2（i

4、4） 121 就会得到 11 得错误结论、|Z Z1Z Z22a（0 2a卜忆？p,表示以Z1,Z2为焦点，实半轴长为 a 得双曲线方程 Iz4 Iz2|IZ1zd 1Z1 lz21左边取等Z2Z1（号得条件就是Z20）、Z1(R,且0）,右边取等号得条件R, |Z1 |Z2| lziz2 lz1 lzd、左边取等Z1（Z2号得条件就是z2R,0）、Z1(R,0),右边取等号得条件注:A1A2A2A3A3A4An 1AnA1An3、 共轭复数得性质:Z1Z2Z1Z2z z 2a，Z Z 2bi( za+bi)2 - 2Z Z |z|ZlZ2Z1Z2Z1Z2Z1Z2Z1Z1Z2z2(Z20)n/

5、 nZ (Z)注：两个共轭复数之差就是纯虚数、(X)之差可能为零，此时两个复数就是相等得注：以上结论不能拓展到分数指数幕得形式,否则会得到荒谬得结果，如 i21,i41 若由znzn在实数集成立得 I X I X2、当 x 为虚数时,|x| x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法、 常 用 得 结论:i2八 4n 11,i 4n 2i,i1,i4n 3-4 n “i,i 1ininin0,(nZ)(1i)22i,1i1 i.1 ii,i则5、1z2若31,是i,120,nn 1 n 20(nZ)1 2 2、頌訛聾樂餼飭废。复数 z 就是实数及纯虚数得充要条件:R z z、z 0, z 就是

6、纯虚数模相等且方向相同得向量,同一复数、z z 0、不管它得起点在哪里,都认为就是相等得， 而相等得向量表示特例：零向量得方向就是任意得，其模为零、貫櫪鷲撫缯鄴諗。注：|z| |z|、6、 复数得三角形式：z r（cos i sin ）、 辐角主值： 适合于0W0,则有二不等实数根Xl,2b J;若=0,则有二相等实数根2aXl,2当2a；若 0，则有二相等复数根 x12-a,b,c不全为实数时，不能用方程根得情况、b2aW （ X1,2为共轭复数）、不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立、8、复数得三角形式运算：r1(cos1isin2)2(cos2i sin2) r1r2cos(1