(完整版)变化率与导数、导数的计算知识点与题型归纳

1、高考明方向1.了解导数概念的实际背景 2.理解导数的几何意义 3.能根据导数定义求函数yc(c 为常数 )， yx，yx2， y x3 ，y1x的导数 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 .备考知考情由近几年高考试题统计分析可知， 单独考查导数运算的题目很少 出现，主要是 以导数运算为工具，考查导数的几何意义为主 ，最常见的问题就是 求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题 考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如 2014 广东理科 10、文科 11.20

2、14 广东理科 10曲线 ye 5 x2在点 0,3处的切线方程为；2014 广东文科 11曲线 y5ex3在点 0,2 处的切线方程为；1一、知识梳理 名师一号 P39知识点一导数的概念(1)函数 yf(x)在 x x0处的导数称函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率 limyf x0x f x0 limxx0xx0为函数 y f(x)在 x x0 处的导数，记作f (x0)或 y |x x0.(2)称函数 f (x) limf xx f xx为 f(x)的导函数 .x0注意 :名师一号 P40 问题探究问题 1f (x)与 f (x0)有什么区别？f (x)是一个函数， f (x0)

3、是常数，f (x0)是函数 f (x)在点 x0 处的函数值例. 名师一号 P39 对点自测 1 1.判一判(1)f (x0)是函数 yf(x)在 xx0 附近的平均变化率()(2)f (x0)与f(x0) 表示的意义相同 ()(3)f (x0)是导函数 f (x)在 xx0 处的函数值 ()答案(1)×(2)×(3)2知识点二导数的运算公式及法则1. 基本初等函数的导数公式公式 1.若 f ( x )公式 2.若 f ( x )公式 3.若 f ( x )公式 4.若 f ( x )公式 5.若 f ( x )公式 6.若 f ( x )公式 7.若 f ( x )公式

4、8.若 f ( x )c, 则 f '( x )0;x n ,则 f '( x )nx n 1;sin x ,则 f'( x)cos x;cos x ,则 f'( x )sin x;a x ,则 f '( x ) a x ln a(a 0);e x ,则 f '( x )ex ;log a x, 则 f '( x )1且 a 1);(a 0,x ln aln x , 则 f '( x )1;x注意：（补充） 常量函数的导数为零32. 导数的运算法则1.( f ( x)g(x )'f '(x)g '(x)2.

5、( f ( x ) g( x)'f '(x) g(x )f ( x) g '(x )'3. f (x ) g(x )4.(cf (x)'5.1 ' g( x)f '(x)g( x)f (x) g(x)'g2 (x )cf '(x)g '(x)2g ( x)注意：（补充）复合函数的导数yf (u( x ) ， y'f ' (u( x )gu' (x)注意 :名师一号 P40 问题探究问题 3对函数求导时，其基本原则是什么？求函数的导数时，要准确地把函数分割 为基本函数的和、差、积、商及其复合运

6、算的形式，再利用运算法则求导数对于不具备求导法则结构形式 的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数， 如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合4理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误知识点三导数的几何意义切线的概念yy=f(x)割Q线T切线Pox我们发现 , 当点 Q沿着曲线无限接近点 P即 x0时,割线 PQ如果有一个极限位置 PT.则我们把直线 PT称为曲线在点 P处的切线 .设切线的倾斜角为 , 那么当x0 时 , 割线PQ的斜率 ,称为曲线在点P 处的切线的斜率.k切线f'(x )yf (x0x)

7、f (x0 )即:limlim0x 0 xx 0x5导数的几何意义函数在 x=x0 处的导数 曲线 y=f(x) 在点（ x0,f(x 0)处切线的斜率 .导数的物理意义 瞬时速度例 . 周练 13-1一个物体的运动方程为s 1 t t2，其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在3 秒末的瞬时速度是()A7 米/秒B5米/秒C6 米 /秒D4 米/秒注意 :名师一号 P40 问题探究问题 2过点 P 的切线与在点 P 处的切线有什么区别？在点 P 处的切线， P 是切点，而过点 P 的切线， P 不一定是切点，后者包括前者注意 :名师一号 P40 问题探究问题 2过点 P 的切线与在

8、点 P 处的切线有什么区别？在点 P 处的切线， P 是切点，而过点 P 的切线， P 不一定是切点，后者包括前者6二、例题分析：( 一)导数的计算例 1. （补充）1用导数定义求函数f ( x )的导数。x注意：(补充)（ 1）能用导数定义求几个常用函数的导数（参看选修 1-1 课本）yc, yx, yx 2 , y1 , yxx（2）求函数y = f (x)的导数的一般方法1）求函数的改变量ff ( x0x) f ( x0 );2）求平均变化率ff ( x0x)f ( x0 ) ;xf .x3）求值 f ( x)limx0x例 2. 名师一号 P40 高频考点 例 1 求下列函数的导数：7

9、(1) yx32x 3；(2) y(x1)(x2)(x3)；(3) y sin x12cos2 x ；24解析：(1) y (x3 2x 3) (x3) (2x) (3)3x22.(2)方法 1： y(x2 3x 2)(x3) x36x211x6，y 3x2 12x11.方法 2：y(x 1)(x 2)(x3)(x 1)(x2)(x 3) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x3)(x 1)(x2) (x2 x 1)(x 3) (x 1)(x2) (2x 3)(x3) (x 1)(x 2) 3x212x11.(3) y sin x 12cos2 x1sinx，242111y 2sinx

10、 2(sinx) 2cosx.注意 :名师一号 P40 高频考点例 1规律方法81. 求函数的导数的具体方法是：遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；遇到复杂分式，先将分式化简，再求导2复合函数的求导，要选择恰当的中间变量，分清复合关系练习：1、设 f 0 xsin x, f1 xf 0'x, f 2 xf1' x ,L ,f n 1 xf n 'x ,n N ,则 f 2015x（）A. sin xB.sin xC. cosxD.cosx【答案】D2、（2009 安徽卷文）设函数f (x)sinx 33cosx 2ta

11、n，其中320,5，则导数f'1的取值范围是 ()129A.B.1011C.D.12【答案】 D解 : f (1)sinx 23cosx x 1sin3cos2sin()313Q0, 5sin()2 ,11232，f(1)2,2选 D.注意：对解析式中含有多个字母的函数求导，明确自变量是关键！例 3.名师一号 P39对点自测 3已知 f(x)x2 3xf (2)，则 f (2)_.解析由题意，得 f (x)2x3f(2)f (2) 2× 23f (2)，f (2) 2.注意：导数 f '( x0 ) 是一个常数，不是变量 .练习：1、周练 13-514已知 f (x)

12、x22x ? f ' (1)，则f ' (0) 等于（）A.- 2B. 2C 1D.- 42、(2009 湖北卷理 ) 已知函数f ( x)f '()cos xsin x, 则 f () 的值为.44解：因为 f'( x )f '() sin xcos x 所以4f '()f'() sincosf '()2 144444故 f ()f'()cossinf ()144444例 4. （补充）（ 1）周练 13-12若 f (x) 3x2 6x，且 f(0) 4，则不等式 f(x)>0 的解集是 _;15答案： x|x&

13、gt; 1，且 x 2由题可设f(x) ax3 bx2cx d，f (x) 3ax2 2bxc，3a 3，a 1，2b 6，b 3，c 0，c0，d 4，d4.f(x) x3 3x2 4 x3 x2 4(x2 1) x2(x 1) 4(x 1)(x 1) (x 1)(x 2)2，f( x)>0 的解为 x> 1，且 x 2.（ 2）周练 13-7定义在(0， )上的可导函数f(x)满足f (x) ·x<f(x)，且f(2) 0，则 f xx>0的解集为()A (0,2)B (0,2) (2， )C (2， )D ?答案： Af xf x ·xf xf

14、 x x x2<0 ， x 为减函数， f(2) 0，f 2f x 2 0. x >0 的解为 0<x<2.16注意：导数计算公式及运算法则的逆向使用 - 务必准确熟练掌握公式及明确其结构特点!（二）导数的几何意义例 1. 名师一号 P40高频考点例 2(1)(2014 新·课标全国卷 )设曲线 y axln( x 1)在点 (0,0)处的切线方程为y2x，则 a(A0B1C2)D3(2)(2014 江·苏卷 )在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 yax2b x(a， b 为常数 )过点 P(2， 5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x 2y3

15、0 平行，则 a b 的值是 _1解析： (1) y axln( x1)， y a x 1. y|x 0 a12，得 a 3.(2)由曲线 y ax2 bx过点 P(2， 5)得 4ab2 5.17b又 y 2axx2，b 7所以当 x2 时， 4a 4 2.a 1，所以 ab 3.由得b 2，例 2. 名师一号 P41特色专题 典例若存在过点O(0,0)的直线 l 与曲线 f(x)x33x2 2x和 yx2a 都相切，则 a 的值是 ()111A 1B.64C1 或64D1 或64【错解】点 O(0,0)在曲线 f(x) x33x22x 上，直线 l 与曲线 yf(x)相切于点 O.则 k

16、f(0)2，直线 l 的方程为 y2x.又直线 l 与曲线 yx2 a 相切，x2 a 2x0 满足44a0， a 1.选 A.18【错因】(1)片面理解 “过点 O(0,0)的直线与曲线 f(x)x33x22x相切 ”这里有两种可能：一是点 O 是切点；二是点 O 不是切点，但曲线经过点 O，解析中忽视后面情况(2)本题还易出现以下错误：一是当点 O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l 的方程，导致解题复杂化，求解受阻【规范解答】易知点 O(0,0)在曲线 f(x)x3 3x2 2x 上，(1)当 O(0,0)是切点时，同上面解法，y )，(2)当 O(0,0)

17、不是切点时，设切点为P(x00则 y0x3020，且(020 3x02xk3x06xyf x )2.2又 k0x03x0 x02.x031由联立，得2(x0 0舍 )，所以 k4，所求切线 l 的方程为 y14x.1911y x，2由4yx2a，得 x 4xa0.依题意，161 4a0，a641.综上，a 1 或 a641.【答案】C三次函数的切线 .gsp注意：(补充)1、对于二次函数过点，若点在曲线上则点一定是切点，不在曲线上一定不是切点。而对于三次函数过点，无论点在不在曲线上都不一定是切点，要切记。2、利用导数求曲线的切线方程（ 1）已知曲线的切点 P(x0， y0 )，求曲线的切线方程

18、的步骤：1)求出函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f(x0)；2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为yy0 f(x0)(xx0)；3)若曲线 yf(x)在点 P(x0， y0)处的导数不存在，就是切线与 y 轴平行或不存在；f (x0)>0，切线与 x 轴正向夹角为锐角；20f (x0)<0，切线与 x 轴正向夹角为钝角； f (x0) 0，切线与 x 轴平行（ 2） (补充 )过曲线外的点 P(x1， y1)，求曲线的切线方程的步骤：1)设切点为 (x0， y0)，求出切点坐标；2)求出函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f(x0)；3)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 yy0 f(x0)(x x0)3、名师一号 P40 高频考点 例 2 规律方法有关导数几何意义的题目一般有两类：一类是求曲线的切线方程 ，这类题目要 注意审好题，看到底是在某点处的切线还是过某点的切线， 在某点处的切线一般有一条，过某点的切线可能有两条或更多；