(完整版)《复变函数》考试试题与答案(四)

1、复变函数考试试题（四）一 . 判断题 . (20 分)1.若 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 处满足柯西 -黎曼条件 .（）2.00（）若函数 f(z)在 z可导，则 f(z)在 z 解析 .003.函数 sin z 与 cosz 在整个复平面内有界 .（）4.若 f(z)在区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有f (z)dz0 .C（）5.若 lim f ( z) 存在且有限，则 z0 是函数的可去奇点 .（）z z06.若函数 f(z)在区域 D 内解析且 f ' ( z) 0，则 f(z)在 D 内恒为常数 .（）0是 f(z)的本性奇点，则lim f

2、(z) 一定不存在 .（）7. 如果 zz z08.若 f ( z0 ) 0, f ( n ) ( z0 )0，则 z0 为 f (z) 的 n 阶零点 .（）9.若 f (z) 与 g(z) 在 D 内 解 析 ， 且 在 D 内 一 小 弧 段 上 相 等 ， 则f ( z) g( z), zD .（）10.若 f (z)在 0| z |内解析，则Res( f ( z),0)Res( f ( z), ) .（）二 . 填空题 . (20 分)1.设 z1_,Im z _ .，则 Rez1i2.若 lim zn，则 lim z1z2 . zn_.nnn3. 函数 ez 的周期为 _.4.函数

3、 f ( z)12 的幂级数展开式为 _z15.若函数 f(z)在复平面上处处解析，则称它是 _.6.若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_.7.设 C :| z|1，则 ( z 1)dz _ .C8.sin z的孤立奇点为 _.z9.若 z0 是 f (z) 的极点，则 lim f ( z) _ .z z0z10.Res( en ,0)_.z三 . 计算题 . (40 分)1. 解方程 z3 1 0 .ez，求 Re s( f ( z), ).2. 设 f ( z)z213.zdz. .|z| 2 (92)(zzi )114.函数 f ( z)ez1z

4、有哪些奇点？各属何类型 （若是极点，指明它的阶数） .四 . 证明题 . (20 分)1. 证明：若函数 f (z) 在上半平面解析，则函数 f ( z) 在下半平面解析 .2.证明 z46z30 方程在 1| z |2 内仅有 3 个根 .复变函数考试试题（四）参考答案一.判断题 .1 ××××6 ×× 10 .二.填空题 .1.1,1;2. ;3. 2ki(kz) ; 4.( 1)n z2n( z 1) ;5. 整函数 ;22n06.亚纯函数 ;7. 0;8.z0 ;9.;1.10.(n1)!三 .计算题.1.解 : z31z c

5、os 2ki sin 2kk 0,1,233z1cos3i sin13 i322z2cosi sin1z3cos55133i sin2i322.解 Res f ( z)eze, Re s f (z)eze 1.z 1z1 z 12z1z1 z 12故原式2i (Re s f ( z)Re s f ( z)i (ee 1 ) .z 1z13. 解 原式 2 i Re s f ( z) 2 iz.2zi9zz i511zez10 ，得 z0, z 2k i ， k 1, 2,4.解 ez1z = z(ez1)，令 z(ez1)lim (11)lim zez1lim1ez而z 0 ez1zz 0 (

6、ez1) zz 0 ez1 zezlimez1ezzez2z0z 0 ez为可去奇点当 z 2k i 时， ( k( ez1)z而z2k i四.证明题 .0), zez10ez1zez0z2k iz 2k i 为一阶极点 .1.证明设 F ( z)f ( z) , 在下半平面内任取一点z0 ,z 是下半平面内异于z0 的点 , 考虑limF ( z)F ( z0 )limf (z)f ( z0 )limf ( z)f ( z0 ) .z z0zz0z z0zz0z z0zz0而 z0 ,z 在 上 半 平 面 内 ,已 知 f ( z) 在 上 半 平 面 解 析 , 因 此 F ( z0 )f (z0 ) , 从 而F ( z)f ( z ) 在下半平面内解析 .2.证明 令 f (z)6z3 ,(z)z4, 则 f (z) 与 ( z) 在全平面解析 ,且在 C1 : z2 上 ,f (z)15( z)16 ,故在 z2 内 N ( f,C1) N ( ,C1) 4