数学奥林匹克高中训练题(49)及答案

1、数学奥林匹克高中训练题（49）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1(训练题49)若实数a,x满足a>x>1，且A=loga(logax),B=(logax)2,C=logax2，则下列关系正确的是( B )(A)A>C>B (B)C>B>A (C)B>C>A (D)C>A>B2(训练题49)在复平面上，有7个点与方程x=-1的7个根对应这7个点所在的四个象限中，只有一个点的象限是( C )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3(训练题49)已知两个命题：(1) 四棱锥V-ABCD的相邻侧面

2、所成的二面角都相等；(2) 四棱锥V-ABCD的相邻侧棱所成的角都相等对于以上两个命题( D )(A) (1)是(2)的充分但不必要条件 (B) (1)是(2)的必要不充分条件(C) (1)是(2)的充分切必要条件 (D) (1)既不是(2)的充分条件也不是(2)的必要条件4(训练题49)已知数列an满足an+2=an+1-an，且a2=1若该数列的前1999项之和为2000，则前2000项之和等于( B )(A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)20025(训练题49)已知实数a,b满足a>b>0,c满足以a,b,c为边长可以构成三角形若使该三角形的三个内角中的最大

3、角具有最小值，那么，c应等于( A )(A)a (B) 7a+b (C) 2ab (D)b6(训练题49)空间有4个不共面的定点，以这4个点为顶点的平行六面体的个数是( )(A)20 (B)32 (C)25 (D)29二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1(训练题49)等差数列前n项之和为2000，公差为2，首项为整数且n>1则所有可能的n值之和为 (1+2+2+2+2)(1+5+5+5)-1=48352(训练题49) 在ABC中，A和B满足3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1，那么，C的大小为 23423 6SQ底面边长为a，则P，3(训练题49)设P,Q是正四棱

4、锥S-ABCD内的两个点，的取值范围是 0,-arccos 134(训练题49)在复平面上，复数z1在连接点1+2i和1-2i的线段运动，复数z2在以原点为中心，半径为1的圆周上运动，则z1+z2轨迹所成的图形面积是8+5(训练题49)集合A中的元素是正整数，具有性质：若aA，则42-aA，那么，这样的集合A 共有 个2-1 21x2y26(训练题49)已知椭圆2+2=1(其中a>b>0)，点P为其上一点，F1,F2为椭圆的焦点，F1PF2ab的外角平分线为l，作F1,F2分别垂直l于R,S当P跑遍整个椭圆时，R,S形成的轨迹方程是 x2+y2=a2三、(训练题49)(本题满分20

5、分)在ABC中，A,B,C分别表示它的三个内角，且满足cosAcosBcosC=1试判断该三角形的形状（正三角形） 8四、(训练题49)(本题满分20分)设p,q是复数(q0)若关于x的方程x2+px+q=0的两根的模相px)2x1xp2(x1+21x2x1等，证明是实数（2=2+=2+()0） qq(x1x2)2x2x1x2x2x2y2五、(训练题49)(本题满分20分)给定双曲线C:2-2=1(a,b>0)，过它的一个焦点作直线l，交Cab于点P,Q，A1,A2分别为C的实轴端点，求证：对于任意满足条件的l，PA1,QA2的交点在一条定直a2线上，给出该直线方程并证明你的结论（x=±） c第二试一、(训练题49)(本题满分50分)如图，菱形ABCD中，A=120, O为过A,B,C三点的圆，M为菱形外的一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F，求证：D,E,F三点共线的充要条件是点M在 O上o二、(训练题49)(本题满分50分)设x1,x2, ,x2000是2000个实数，满足xi属于0,1(i=1,2, ,2000),定义Fi=xi20002000j=12000求x3999j-x3999+2000jFi=1i的最大值，并证明你的结论三、