数学必修ⅴ北师大版3.1 不等关系学案+练习

1、第三章不等式本章概述课程目标（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）会比较两个实数的大小，理解不等式的基本性质.（3）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.（4）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.（5）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.（6）探索并了解基本不等式的证明过程.（7）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（8）从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（9）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（10）从实际情境中抽象出一些简单的二元线

2、性规划问题，并能加以解决.（1）注重突出不等式的现实背景和实际应用，突出数学的应用价值，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的应用意识与解决实际问题的能力.（2）本章注意体现数学文化价值的渗透，让学生了解数学是人类文化的重要组成部分.（3）借助于信息技术去探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动.重点难点重点：不等式的解法及应用，基本不等式的应用，线性规划问题.难点：解决线性规划问题和利用基本不等式解决实际问题.方法探究不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型.学习本章应注重数形结合，学会通过函数图像理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系，

3、并能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义.在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进一步提高解决实际问题的能力.学习本章应注意的问题（1）要注意与一元一次不等式，一元二次不等式、整式方程、函数、三角等知识的联系，以便对不等式的知识有一个全面、完整的了解与认识.（2）要注意体会二元一次不等式（组）与平面区域的关系，借助几何直观解决简单的线性规划问题.（3）注意对不等式 (a>0,b>0)和a2+b22ab(aR,bR)的理解、记忆，正确、灵活地使用其解决问题，尤其是在正确的使用上下功夫.（4）本章重点内容是证明不等式和不等式的解法以及简单的线性规划.证明不等式没有固定的模式

4、可以套用，它的方法灵活多变、技巧性强、综合性强，不等式的解法重点是一元二次不等式（组）的解法，注意数轴穿根法.（5）线性规划知识也是重点内容，在近几年高考中也有明显的体现，应引起同学们的注意.§1 等 关 系知能目标解读1.通过具体的情境，感受现实生活中存在的大量不等关系，并了解不等式（组）的实际背景.2.能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小，并掌握不等关系的传递性和不等式的基本性质.重点难点点拨重点：比较两数（或式）的大小，理解不等式的性质及其证明，并能说出每一步推理的理由.难点：对不等式性质的准确把握以及严密的逻辑推理证明能力的培养.学习方法指导一、不等关系1.不等式：我们

5、用数学符号“”、“>”、“<”、“”、“”连结两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.2.在上述符号中，用“>”、“<”连结的不等式，表示严格的不等关系，是严格不等式；用符号“”、“”、“”连结的不等式，表示非严格的不等关系，是非严格不等式.注意：如何理解表示不等式的各个符号的含义？“不相等”可以是“大于”或“小于”.对于不等式ab，表示的是a<b或a=b3就是3<3或33，尽管3<3不成立，但33成立，因此，我们说3ab，表示的是a>b或a=b，同样也是只需满足其中一条，不等式就成立.对于实数来讲，只存在a=b

6、或a>b或a<b三种关系中的一种，不可能同时满足两条.不等关系与不等式是不同的概念，前者强调的是关系，可用符号“”、“>”、“<”、“”、“”来表示，而后者表示的是两者的不等关系，可用“a>b”、“a<b”、“ab”、“ab”或“ab”等式子表示，这二者之间的关系是可以通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现.注意：在数学意义上，不等关系主要体现在四个方面：常量与常量之间的不等关系；变量与常量之间的不等关系；函数与函数之间的不等关系；一组变量之间的不等关系.二、用不等式（组）来表示不等关系有的问题以图像的形式揭示函数与函数的不等关系；有的以代数式

7、的形式揭示各组变量之间的不等关系，解决这类问题的关键是找全题目的限制条件，利用限制条件列出不等关系，一定要注意变量的实际意义.由此可见，现实生活中大量的数量关系是通过不等式来表示的.不等式是研究不等关系的数学工具，从而理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、实数比较大小的依据与方法（1）任意实数的平方不小于0，即aRa20.（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数.在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图）中，可以看出a与b之间具有以下性质：如果a-b是正数，那么a>

8、b；如果a-b是负数，那么a<b；如果a-b等于零，那么a=b.反之也成立，就是a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b.上面等价符号的左式反映的是实数运算性质，右式反映的则是实数大小的顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系.它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式性质、证明不等式和解不等式的主要依据.（1）比较两个实数a与b的大小，需归结为判断它们的差a-b的符号（注意：指的是差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要）.（2）比较两个实数大小的步骤：作差化简整理（配方，分解因式、分类讨论）判断差的符号得出结论.注意：（1）在比较两个代数

9、式的大小时，一定要注意字母的取值范围；（2）比较实数的大小经常用到分类讨论的方法，此处分类讨论的标准是：对于任意两个实数 a和b，在a=b，a>b,a<b三种关系中有且仅有一种关系成立.四、不等式的性质（1）a>bb<a.(2)a>b,b>ca>c.(3)a>ba+c>b+c.推论a>b,c>da+c>b+d.(4)a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc.推论1a>b>0,c>d>0ac>bd;推论2a>b,ab>0<推论3a&

10、gt;b>0an>bn(nN,且n>1).(5)a>b>0> (nN,且n>1).（1）说明了不等式的对称性；（2）说明了不等式的传递性；（3）表示同向不等式具有可加性，它是不等式移项的基础；（4）表明不等式两边允许用非零数（式）乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号.知能自主梳理用表示不等关系的式子叫不等式.设a,bR，则a-b>0;a-b=0;a-b<0.(1)a>b,b>c;(2)a>b,c>0;(3)a>b,c<0;(4)a>b,c>d;(5)a>b>0,c>d&g

11、t;0;(6)a>b>0,nN+,n>1.答案1.不等号2.a>ba=ba<b3.(1)a>c(2)ac>bc(3)ac<bc(4)a+c>b+d(5)ac>bd(6)an>bn, >思路方法技巧命题方向比较大小例1已知x<1,比较x3-1与2x2-2x的大小.分析作差因式分解变形判断符号解析x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1) 2=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)（x-）2+x<1,x-1<0.又（x-）2+>0,

12、(x-1)（x-）2<0,x3-1<2x2-2x.说明1.作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断.因式分解配方通分对数与指数运算性质分母或分子有理化分类讨论JB)变式应用1设p=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,求实数a,b应满足的条件.解析P-Qa2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1) 2+(a+2) 2P>Q,(ab-1) 2+(a+2) 2>0ab1或a-2.故实数a、b应满足的条件是ab1或a-2.命题方向应用不等式（组）表示不等关系例2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，此时可以售出8万本，据

13、市场调查，若单价每本提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后的杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？分析利用提价后的价格x表示出销售总收入，再将题中所要求的不等关系用不等式表示.解析杂志的定价为x元，则销售的总收入为（8-×0.2）x万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以用不等式表示为（8-×0.2）x20.说明决此类问题的关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件找到不等关系，然后用不等式表示即可.变式应用2咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为9g,4g,3g,乙种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为4

14、g，5g，10g，已知每天可用原料为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g.写出每天配制的两种饮料的杯数所满足的不等式组.解析每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则x、y应满足如下条件：（1）奶粉的总使用量不大于3600g；（2）咖啡的总使用量不大于2000g；（3）糖的总使用量不大于3000g；（4）x,y为自然数.x,y满足不等式组：9x+4y3600,4x+5y2000,3x+10y3000,xN,yN.命题方向不等式性质的简单应用例3对于实数a、b、c，有下列命题若ab,则acbc;若ac2>bc2,则a>b;若a<b<0,则a2>ab>b2

15、;若c>a>b>0;则>若a>b, >,则a>0,b<0.其中真命题的个数是（）答案C解析c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小关系缺乏依据，故该命题是假命题.由ac2>bc2知c0,所以c2>0,所以a>b,故该命题是真命题.a<b a<ba>ab, ab>b2.所以a2>ab>b2故该命题为真命题.a<0 b<0a>b-a<-bc-a<c-b.因为c>a,所以c-a>0.所以0<c-a<c-b.两边同乘以,得>>

16、0.又因为a>b>0,所以>.故该命题为真命题.a>ba-b>0, > >a-b>0,所以b-aab<0.又因为a>b,所以a>0,b<0,故该命题为真命题.综上可知，命题、都是真命题.故选C.说明通过本例，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论.在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定.变式应用3判断下列各题的对错.（1）且c>0a>b（）（2）a>b且c>dac>bd（）（3）a>b

17、>0且c>d>0（）（4）a>b（）答案××解析（1） <>当a<0,b>0时，此式成立，推不出a>b，(1)错；（2）当a=3,b=1,c=-2,d=-3时，命题显然不成立，（2）错；a>b>0（3）c>d>0>>0成立.(3)对；（4）显然c2>0,两边同乘以c2,得a>b.(4)对.探索延拓创新命题方向应用不等式的性质讨论范围例4已知：-<，求，的范围.分析已知的不等式相当于-<，故本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减.但我们只

18、有这样的性质：同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加.解析-<，-<,-<，+得-<+<-<<.由得-<，+得-<，又<，-<0，-<0，-<0.变式应用4已知12<a<60,15<b<36，求a-b及的取值范围.解析欲求a-b的范围,应先求-b的范围,欲求的范围,应先求的范围,再利用不等式性质求解.15<b<36,-36<-b<-15.12-36<a-b<60-15,-24<a-b<45.又<<

19、;,.名师辨误做答例5已知1a+b5，-1a-b3，求3a-2b的范围.误解1a+b5，-1a-b3,0a4.又1a+b5,-3-(a-b)1，-1b3.0a4,-1b3,03a12,-6-2b2,-63a-2b14.辨析在误解中，由已知条件推出不等式-63a-2b14的各个步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但结论是不正确的，事实上，由1a+b5与-1a-b3,得到0a4,-1b3,但这并不意味着a与ba=4,b=3时，a+b=7，就已超出题设条件1a+b5中的范围，细究缘由，就是推出关系并非等价关系.正解设a+b=u,a-b=v,则a=,b=,且1u5,-1v3.3a-2b=u+v,，-

20、,-2+10，即-23a-2b10.课堂巩固训练一、选择题1.下列不等式：x2+3>2x(xR);a3+b3a2b+ab2(a,bR);a2+b22（a-b-1）中正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案C解析对于，x2+3-2x=(x-1) 2+2>0恒成立，对于，a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b) 2(a+b),a、bR,(a-b) 20，而a+b>0,或a+b=0,或a+b<0,故不正确,对于，a2+b2-2a+2b+2=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1) 2+(b+1) 20，正确

21、，故选C.x<a<0，则下列各不等式一定成立的是（）A. x2<ax<a2B. x2>ax>a2C. x2<a2<axD. x2>a2>ax答案Bxa0x2ax解析x0 x2axa2.a0axa2x>y与>同时成立，则（）A. x>0,y>0B. x>0,y<0C. x<0,y>0D. x<0,y<0答案B解析由xy推出>，需满足xy0.又xy，x0,y0.二、填空题x1，f(x)=3x3,g(x)=3x2-x+1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)g(x).答案

22、解析f(x)-g(x)=3x3-(3x2-x+1) =(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1),x1得x-10，而3x2+1>0,(3x2+1)(x-1)0，3x33x2-x+1.f(x)g(x).5.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围为，的取值范围为.答案(27,56)(,3)解析28<y<33,-33<-y<-28,又60<x<84,27<x-y<56.由28<y<33得,即.三、解答题6.有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划

23、局要对这个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？解析设这个公园原来的长方形布局的长为a,宽为b(a>b).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为ab;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b)，所以其边长为,其面积为（）2.因为ab-（）2=ab- (a>b),所以ab<（）2.故保持原周长不变的布局方案可使公园的面积较大.课后强化作业一、选择题a,b,c,d均为实数，有下列命题：（）若ab0,bc-ad0,则;若ab0, ,则bc-ad0;若bc-ad0, ，则ab0

24、.其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3答案C解析ab0,0,又bc-ab0,·（bc-ad）0即,错；ab0, ,ab()0,即：bc-ab0,正确；,0，又bc-ad0,ab0,正确.P,Q=a2-a+1,则P、Q的大小关系为（）A.P>QB.P<QC.PQ答案C解析P-Q-a2+a-1=,a2+a+1=(a+)2+>0,-a2(a2+1)0，0，PQ.3.(2011·陕西文，3)设0<a<b,则下列不等式中正确的是（）A.a<b<<B.a<<<bC.a<<b<D. <

25、;a<<b答案 B解析0<a<b,a<<b,故A、C错误；-a= (-)>0,即>a,故选B.本题也可通过特殊值法解决，如取a=1,b=4,易知选B.a、b是任意实数，且a>b,则（）A.a2>b2 B. <1C.lg(a-b)>0 D.( )a<()b答案 D解析 a>b并不保证a、ba>ba-b>0,但不能保证a-b>1,从而不能保证C成立，显然只有D成立.事实上，指数函数y=()x在xR上是减函数，所以a>b()a<()b成立.故选D.a<b<a，则以下不等式中恒

26、成立的是（）A.b<-a B.ab>0C.ab<0 D.a<b答案 A解析 特殊值法：令a=-1,b=0,满足a<b<|a|,ab=0,排除B、C，a>|b|,排除D，故选A.a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是（）A.a2>a>-a2>-aa>a2>-a2>aa>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2答案 B解析 特殊值法：a2+a<0,-1<a<0.令a=-,则a2=,-a=,-a2=-，故选B.一般解法：由a2+a<0,得0

27、<a2<-a且a<-a2<0,故a<-a2<a2<-a,选B.7.如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是（）A.a4b B.(a+4)(b+4)=200a4bC.(a+4)(b+4)=200 a4bD. 4ab=200答案 Ca0,且a1,M=loga（a3+1），N=loga（a2+1），那么（）A.MN B.MNC.M=N D.M、N的大小无法确定答案 A解析 当a1时a3+1a2+1，y=logax单增，loga(a3+1)loga（a2+1）.当0a1时a3

28、+1a2+1，y=logax单减.loga(a3+1)loga(a2+1),或对a取值检验.二、填空题9.已知三个不等式：ab>0;bc>ad.以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题 .若成立，则成立；若成立则成立，.若成立即bcad,若成立，则，.a>b，那么下列不等式：a3>b3;3a>3b;lga>lgb.其中恒成立的是 .答案 解析 a3-b3=(a-b)(a2+b2+ab)=(a-b)(a+)2+b2>0;y=3x是增函数，a>b，3a>3b当a>0,b<0时，不成立.m=2a2+2a+1,n=(a+1) 2,则m、n的大小关系是 .答案 mn解析 m-n=2a2+2a+1-(a+1