统计学各章计算题公式及解题方法

1、统计学各章计算题公式及解题方法第四章 数据的概括性度量1 .组距式数值型数据众数的计算：确定众数组后代入公式计算：下限公式：？ = ?+ a X?上限公式：？多=?- +?- X?其中，L为众数所在组下限，U为众数所在组上限，？1为众数所在组次数与前一组次数之差，?2为众数所在组次数与后一组次数之差，d为众数所在组组距2 .中位数位置的确定：未分组数据为 子1;组距分组数据为-?+i） , n为奇数3 .未分组数据中位数计算公式：?= 1 工-（?+ ?+1） , n 为偶数222+14 .单变量数列的中位数：先计算各组的累积次数（或累积频率）一根据位 置公式确定中位数所在的组一对照累积次数（

2、或累积频率）确定中位数（该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布）5 .组距式数列的中位数计算公式：? ”? ”下限公式：？?= ?+三Fx?上限公式：？2?= ?-艺石竺x?其 ?一?中，？?为中位数所在组的频数，？私1为中位数所在组前一组的累积频数，？?+i为中位数所在组后一组的累积频数6 .四分位数位置的确定:下四分位数：？?=未分组数据：组距分组数据：上四分位数：？?=丝如4下四分位数：？?= ?" 4上四分位数：？?= 3?47.简单均值：？? +? +?+? ?工?=1?8.加权均值:? ?1?+?2?+?+? ?3?=>?=1?3?+?0+?+? ?=4=1?其中

3、，？九9.几何均值（用于计算平均发展速度）：？?？ "? x? x-x?= ?/n?=1?10 .四分位差（用于衡量中位数的代表性）：？?= ?- ?11 .异众比率（用于衡量众数的代表性）：？?=寻?？= 1 - 一？?？?£?12 .极差：未分组数据：R= ? - ?;组距分组数据： R =最高组上限-最低组下限13 .平均差（离散程度）：未分组数据:?=常等?；组距分组数据:? =E?=|?14 .总体方差：未分组数据：B?=(?)2?;分组数据：懈=里丁季15.总体标准差：未分组数据：片上?等也；分组数据：片、户?=(?)2 ? ?16.样本方差：未分组数据：？?-

4、1£?=(?-?-1;分组数据：？短1r?=?2?-117.样本标准差：未分组数据:?-1 = 4位:空；分组数据：？?-1 1?-11、户?=(?溶?2?-118 .标准分数：?=19 .离散系数：?=?第七章参数估计1. ?的估计值:2置信水平a?2?-290%95%99%2.不同情况下总体均值的区间估计:总体分布样本量（T已知(T*正态分布大样本（n>30）? ?2 v? ? 2W？小样本（n<30）? ?2 ? ?_2钟？非正态分布大样本（n>30）? ?:2储？? ?*二2 ?其中，？?查p448 ,查找时需查 n-1的数值 23.大样本总体比例的区间估计

5、：？社？v-2?4 .总体方差？在1 - a置信水平下的置信区间为：竺皆？ < ? 铲？?/2?1-?/2（?c,c）2?35 .估计总体均值的样本量：n= （?吗一,其中，E为估计误差 ?26 .重复抽样或无限总体抽样条件下的样本量：n= （?/2） ；?1-?）,其中兀为?总体比例第八章假设检验1.总体均值的检验（？已知或？未知的大样本）总体服从正态分布，不服从正态分布的用正态分布近似假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式?B：户?： 一？?3：尸？?： ” ?寄居&?:医 ?统计量汜知? z =?"？林知?z =一?储？拒绝域1?> ?2z < -?z&

6、gt; ?P值决策P < a,拒绝？2.总体均值检验（?未知，小样本，总体正态分布）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式?）：产?： 一？2飞:产？?：礼< ?。医&?:医> ?统计量起知? z =-?"?林知? ? t?母拒绝域|?> ?急2(? 1)t < -?即？ 1)t > 温2? 1)P值决策P < a,拒绝？3注：（T已知的拒绝域同大样本3. 一个总体比例的检验（两类结果，总体服从二项分布，可用正态分布近似）（其中？为假设的总体比例）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式?二片?:几手演?B：兀）？? ： % < %?

7、3：兀&?：兀 > 710统计量?Q ? z = /?(1 - ?) ?拒绝域1?> ?2z < -?” J ?z> ?P值决策P < a,拒绝？4.总体方差的检验（？?检验）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式?：B=埼?0 ： 02 > 00?： C2 < 02?3:存才城?1 ： o2 < 00?1： 2 > 00统计量2 _ (?0 1)? 一?拒绝域X > ?22(? 1)2X< ?2?2(?0 1)2X< ?-?2(?0 1)声 > ?交(? 1)P值决策P < 拒绝？5. z统计量的参考数

8、值a双侧检验±±±单侧检验±±±第九章列联分析1. 期望频数的分布(假定行变量和列变量是独立的)一个实际频数f?勺期望频数e?是总频数的个数？乘以该实际频数f?瞽入第 府 和第j列的概率，即：?= ?(?) ?(?=誓2. ?统计量(用于检验列联表中变量间拟合优度和独立性；用于测定两2个分类变量之间的相关程度£ = »?=1乎?=1(?逻?史，自由度为?(? 1)(? 1), ?却列联表中第i行 第j列的实际频数，？初列联表中第i行第j列的期望频数1)检验多个比例是否相等检验的步骤提出假设H0： 1 = 2 =j；

9、Hl：1,2,，j不全相等；计算检验的统计量；进行决策：根据显着性水平和自由度(r-1)( c-1)查出临界值2,若2> 2,拒绝若2< 2,不拒绝H02)利用样本数据检验总体比例是否等于某个数值检验的步骤提出假设H0: i=, 2 =，；H:原假设的等式中至少有一个不成立；计算检验的统计量；进行决：根据显着性水平和自由度(r-1)( c-1)查出临界值2;若2> 2,拒绝H);若2< 2,不拒绝H03)检验列联表中的行变量与列变量之间是否独立检验的步骤提出假设H0:行变量与列变量独立；H:行变量与列变量不独立；计算检验的统计量；进行决策：根据显着性水平 和自由度(r-

10、1)( c-1) 查出临界值2,若2 2,拒绝H);若2< 2,不拒绝H)3. 相关系数：测度2 2列联表中数据相关程度；对于 2 2列联表， 系数的值在01之间小二栏，其中，n为实际频数总个数，即样本容量4. 列联相关系数(C系数)用于测度大于2 2列联表中数据的相关程度?=,其中，C的取值范围是0&C<1; C= 0表明列联表中的两?+?个变量独立；C的数值大小取决于列联表的行数和列数，并随行数和列数的增大而增大；根据不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较5. V相关系数?承，一 .一一,一V二恐五前方而，其中，V的取值范围是0<V< 1; V = 0表

11、明列联表中的两个变量独立；V=1表明列联表中的两个变量完全相关；不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较；当列联表中有一维为2, min(r-1),(c-1)=1, 此时 V=(|)第十章 方差分析1. 单因素方差分析的要点：1) 建立假设的表述方法：?0： ?1 = ?2 = ? = ?, 自变量对因变量没有显着影响?: ?, ?,，？?不全相等，自变量对因变量有显着影响2) 决策：i.根据给定的显着性水平 %在F分布表中查找与第一自由度dfi =k - 1 、第二自由df2 = n - k 相应的临界值F ?ii.若F>F?今则拒绝原假设H。，表明均值之间的差异是显着的，所检验的因

12、素对观察值有显着影响iii.若尸< F?则不拒26原假设H。，不能认为所检验的因素对观察值有显着影响3) 单因素方差分析表的结构：2. 方差分析中的多重比较(步骤)：采用 Fisher 提出的最小显着差异方法，简写为LSD1) 提出假设：?0： ?= ?(第 ?个总体的均值等于第?个总体的均值)?：?(第？密总体的均彳i不等于第？密总体的均值)2) 计算检验统计量：?- ?3) 计算LSD：LSD= ?W ?(?! +2?4）决策：若1?豺？淞> ?拒绝？?0；若|?豺?< ?则不拒绝?3 .双因素方差分析：1）无交互作用的双因素方差分析表结构：2）有交互作用的双因素方差分析

13、表结构：4 .关系强度测量：变量间关系的强度用自变量平方和（SSA）及残差平方和（SSE）占总平方和（SST）的比例大小来反映，根据？?平方根R进行判断? = ? ?组间平方和）? ?、平方和）第十一章一元线性回归1 .样本的相关系数：汇（?2 ?- ?无？三？起?r =vS（? ?E（?- ?2 ，？- （E?2?V?. （E?22 .相关系数的显着性检验步骤：1）提出假设：？: p= 0; ?: p才02）计算检验统计量：t = |?V-?-22-?Q 2）1-?3）确定a并决策：|?> ?拒绝？； |?< ? 不才1绝？?0223. 一元回归模型：y = ?+ ?+?4. 一

14、元线性回归方程形式：？? = ?+ ?其中？?是直线方程在y轴上的截距，是当？=0时，y的期望值；？?是直线的斜率，称为回归系数，表示当？每变动一个单位时y的平均变动值5. 一元线性回归中，估计的回归方程：於?+ ?其中？?是估计的回归直线在y轴上的截距，皆是直线的斜率，它表示对于一个给定的 ？的值，礁y的估计值，表示当？每变动一个单位时y的平均变动值6.根据最小二乘法求?以及？的公式:? _ ?=1?-（可?=1?祖当=1?= 一?/?=1?-（卑=1?2?= 92 ?7.误差平方和之间的关系：Z?=*?7 ?2 =2?=1（?- ?2 + 3?=1（?7黝2,即：SST（总平方和）=SSR

15、（回归平方和）+ SSE （残差平方和）8.9.判定系数（回归平方和占离差平方和的比例）：？ = ?1席=（?2- -?=（?）2估计标准误差（实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根、?L?）2零=。？?）2cc/E?=（?，?>?）?2?”cccc?= /. .? =，一= K?-2?-210 .线性关系的显着性检验：1）提出假设：？： & = 0,线性关系不显着；？： 自寺0,有线性关 系?2）计算检验统计量：F= 二？=二一？?1,? 2） ?-2?3）确定显着性水平出并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值？?？4）决策：若F> ?为拒绝？?,； F<

16、 ?,不拒绝？311 .回归系数的显着性检验：1）提出假设：？：仇=0,线性关系不显着；？：自乎0,有线性关 系2)计算检验统计量：t =生?2 2)?13)确定显着性水平a并决策：若|?> ?2,拒绝？； 1?<褊2,不拒绝?012 .置信区间估计：E(?)在1 - a置信水平下的置信区间：?土？扬2(?- 2)?*?+ J?# 其中，？劾估计标7ft误差，(n- 2)为?>2的自由度（?-?产£?=彳?213 .预测区间估计：？?在1 - 遭信水平下的预测区间：、 ；1? 土？於2（?0 2）?M?+ ?+14 .回归分析表的结构:15 .几点说明:1)判定系数

17、？测度了回归直线对观测数据的拟合程度，若所有观测点都落在直线上，残差平方和 SSE=0 ?=1,拟合是完全的2)在一元线性回归中，相关系数实际上是判定系数？的平方根3)相关系数r与回归系数?是同号的第十三章时间序列预测和分析1.环比增长率：报告期增长率与前一期水平之比减1:“?=?- 1(i= 1, 2, A, n) ?-12 .定基增长率：报告期水平与某一固定时期水平之比减1?干?- 1 (i = 1, 2, A, n),其中，？?表示用于对比的固定基期的 ?观察值3 .平均增长率：序列中各逐期环比值(也称环比发展速度)的几何平均数减1后的结果（描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度）?

18、?“-X X AX? ? ?".=1, G表示平均增长率，n为环比值的个数?，1）当时间序列中的观察值出现 0或负数时，不宜计算增长率2）在有些情况下，不宜单纯就增长率论增长率，要注意增长率与绝对水平的结合分析4 .时间序列预测的步骤:1）确定时间序列所包含的成分，也就是确定时间序列的类型2）找出适合此类时间序列的预测方法3）对可能的预测方法进行评估，以确定最佳预测方案4）利用最佳预测方案进行预测5 .均方误差：通过平方消去正负号后计算的平均误差，用MS凄示g?“？2 ?2MSE= J?" “，其中？的观测值，？凝预测值6 .简单平均法：根据过去已有的t期观察值来预测下一期

19、数值。设时间序列已有的其观察值为？?，？?，, ？?？则t+ 1期的预测值？?+1为:?11 l?+1= -?+ ?+ A+ ?=才? ?=1有了？A 1的实际值，则预测误差为：？?+1= ?+1. ?+1?+ 2期的预测值为：?+111?+2= TT(?+ ?+ A+ ?+ ?+1) = TTE ?+ 1?+ 1”?=17 .简单移动平均法：将最近 k期的数据加以平均，作为下一期的预测值设移动间隔为k(1<k<t),则t期的移动平均值为:?=?-?+1 + ?-?+2 + A+ ?-1 + ?+ 1期的预测值为:?+1=粉=预测误差用均方误差表示:?-?+1 + ?-?+2 +

20、A+ ?-1 + ?误差平方和MSE =误差个数8 .指数平滑法(一次)：以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为t+1的预测值，其预测模型为：?+1= ?+ (1 - ?其中？为平滑系数(0 < a< 1),在开始计算时,没有第1个时期的预测值5,通常可以设F1等于1期的实际观察值，即 F1 = Y19 .线性趋势预测：1) 一般形式：？?= ?+ ?然时间序列趋势值，？为时间标号，？为趋 势线在Y轴上的截距，？为趋势线的斜率，表示时间？变动一个单 位时观察值的平均变动数量2)由最小二乘法求得：?= ?B?W?如令 e?= o,则?=辞？?= ?2 ?= ? 3)预测误差可用估计

21、标准误差来衡量：?= 产?曾?2 m为趋势方程中未知常数的个数10 .指数曲线：用于描述以几何级数递增或递减的现象1) 一般形式：？= ? a、b为未知常数，若b>1,增长率随着时间t 的增加而增加，若b<1,增长率随着时间t的增加而降低，若a>0,b<1,趋势值逐渐降低到以 0为极限2）将一般形式转换为对数直线形式，由最小二乘法求得：Elg ?= ?g ?+ lg ?%？ g?= lg?E?A lg?E?3）求出lg?及lg?取反对数11 .修正指数曲线：描述初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则 K为增长极限现象1） 一般形式： 乐 ?+ ?2K、a、b为未知常数，K>0, a手0, 0<b2）趋势值K无法事先确定时采用；将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m个时期；令趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和i.设观察值的三个局部总和分别为：？?； ?； ?, ?= H?=1? = 3?=?+1 ? ? = E3?=2