高中数学常用逻辑用语总复习

1、常用逻辑用语6 | 14常用逻辑用语命题及其关系1 .命题命题定义：能够判断真假的语句，即能够判断对错的陈述句.真假命题：判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.一般形式：“若p,则q"，p叫做命题的条件q叫做命题的结论.例如：命题：“太阳比地球大”（真命题），“若x 1,则x 1 3” .（假命题）非命题：“打篮球的个子都很高吗？"，“我到河北省来” .（不能判断真假）卜列语句是命题的为（）A.x10 B.238 C.你会说英语吗D.这是一棵大树解析：x 1 0无法判断真假，A不是命题；2 3 8不正确，故B是命题；命题不能是疑问句，所以 C不是命题；这是一颗大也

2、无法判断真假，D也不是命题.答案：B若命题p： ax2 4x a 2x2 1是真命题，则实数 a的取值范围是（）A. (,2 B. ( 2,2) C. ( 2,) D. 2,).d aa a a ba& a.1. a.j aaii4口x >a. q a q = = ql a a.j a.a aw j&h m-解析：命题为真命题，即(a 2)x2 4x a 1 0恒成立；当a 2时，不等式变为4x 3 0,此不等式不能恒成立；当 a 2时，要是 a 2 0不等式恒成立，则需满足，解得a 2 ;14 4(a 2)(a 1) 0综上，a 2时成立.答案：D2 .四种命题原命题：

3、题目直接给的命题.逆命题：把原命题反过来说.否命题：把原命题条件和结论否了（用p和 q表示，读作“非p”和“非q”）.逆否命题：把原命题反过来说，再把条件和结论否了.表述形式：命题表述形式原命题若p,则q逆命题若q,则p否命题若 p,贝U q逆否命题若 q,则 p例如:原命题汽车是很贵的如果x 0 ,那么x2 2x 0逆命题很贵的是汽车如果x2 2x 0,那么x 0否命题如果它不是汽车，那么它不是很贵的如果x 0,那么x2 2x 0逆否命题如果它不是很贵的，那么它不是汽车如果x2 2x 0,那么x 0命题“若p,则q”的逆命题是（)A.若q,则pB.若P,则 q例1C.若 q,则 pD.若P,

4、则 q解析：逆命题是把命题反过来说答案：A命题“若一,贝U tan 41”的逆否命题是（）A.若,则 tan 14B.若 z，则 tan 1例2C.若 tan1 ,则 一 4D.若 tan 1,则4解析：逆否命题是把命题反过来说，再把条件和结论否了答案：C3 .四种命题的关系 关系图：结论：原命题和逆否命题真假性相同，逆命题和否命题真假性相同，即：如果两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.例如：原命题：如果X 1 ,那么x2 2x 3 0 （真命题） 2逆命题：如果 X 2x 3 0,那么x 1 （假命题）否命题：如果x 1 ,那么x2 2x 3 0 （假命题）逆否命题：如果x2 2x 3

5、 0,那么x 1 （真命题）如果两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系. 例如：原命题：如果x 1 ,那么x 1 2 （真命题）逆命题：如果x 1 2,那么x 1 （真命题）否命题：如果x 1 ,那么x 1 2 （真命题）例1给出命题：若函数y f（x）是哥函数，则函数y f（x）的图像不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 0解析：原命题是真命题，则逆否命题一定也是真命题， 逆命题为y f（x）不过第 四象限，则y f（x）是哥函数，很明显是一个假命题， 逆命题和否命题等价， 所 以否命题也是假命题，真命题的个数只有

6、1个答案：C例2证明：若 a2 4b2 2a 1 0,贝U a 2b 1证明：原命题和逆否命题等价，改为证逆否命题正确 22逆否命题为 若a 2b 1,则a 4b 2a 1 0"，把a 2b 1带入后式，可轻松证明结论正确.练习题:1卜列语句是命题的是（）A.延长线段AB B.你吃过午饭了吗C.直角都相等 D.连接A, B两点解析：根据命题的定义：能判断真假的陈述句，符合条件的只有C.答案：C2卜列语句是命题的是（）A.你吃过午饭了吗B.过点A作直线MNC.同角的余角相等D.红扑扑的脸蛋解析：根据命题的定义：能判断真假的陈述句，符合条件的只有C.答案：C3已知 f (x) ln(1

7、x) ln(1 x), x ( 1,1),现有卜列命题: f( x) f(x)_ 2x f( 2x2)2f(x)1 x |f(x)| 2|x|其中所有正确命题的序号是()A.B.C.D.解析：f ( x) ln(1 x) ln(1 x) f (x),故正确；f(x) ln(1 ) ln(1 -x) ln(-)2 2f(x),故正确；1 x1 x1 x x 1当 x 0,1)时，|f(x)| 2|x| f (x) 2x 0 ,令 g(x) f (x) 2x ,2x2g (x) 2 0,即 g(x)在0,1)内单倜递增，g(x) f (x) 2x g(0) 0,故1 x2f (x) 2x 成立；当

8、 x ( 1,0时， x 0,1),则 f ( x) 2( x),即 f (x) 2x ,所以f (x) 2x 0 ,故 | f(x)| 2|x| 成立;综上，均正确.答案：A 对于原命题：“已知a,b,c R,若a b ,则ac2 bc2"，以及它的逆命题、 否命题、逆否命题，在这 4个命题中，真命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个 D. 4个4解析：当c 0时，原命题错误，则逆否命题也错误；逆命题正确，则否命题也正确，所以真命题为 2个.答案：C 命题p：在VABC中，角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若A B,则sin A sinB .那么命题p的逆命

9、题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3a b斛析：由正弦te理 可知sinA sin B a b,又a b A B ,sin A sin B故sin A sinB A B ,即原命题和逆命题都为真命题，故真命题个数为3个.答案：D常用逻辑用语:、充分条件与必要条件1 .充分条件与必要条件“若p,则q"为真命题，即p通过推理可得出q,记作p q ,则p为q的充分条件，q为 p的必要条件，(能过去叫充分，能回来叫必要，过不去不充分，回不来不必要)例如：命题“p: x 1,那么q：x12"，p q,则p为q的充分条件，q为p的必要 条件.2 .充

10、分条件、必要条件的四种类型四种类型的表示与读法：付万表/、读法p q , q pp是q的充分不必要条件p q，q pp是q的必要不充分条件pq , q pipqp是q的充要条件p q, q pp是q的既小充分也不必要条件重要结论：小范围可以推导出大范围.，,，2_- 一 , 一 p： |x 1| 4, q： x 5x 6,则p是q的什么条件？ ,LW LB! IM- BbE H! - 9-K IBS V WS - W-V - S-« - m W IM! LB - m a-B -例1解析：化简得：p：5 x 3, q： 2 x 3,满足：p q , q p ,所以p是q的必要不充分条件

11、.“1 x 2”是“ x 2”成立的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件J 2 l lLl 二 I 一 11上 ll J解析：小范围推大范围，所以1 x 2能推出x 2,反之则不行，所以为充分不必要条件.答案：A一，八一x 1八一,、，一一4 I、一已知命题p： 0,命题q： (x m)(x m 3) 0 ,右p是q的充分不必要x 1条件，求实数 m的取值范围.解析：p： x| 1 x 1 , q： x|m 3 x m , p是q的充分不必要条件，则例3p q , q p , p的范围比q要小，即p u q ,所以m 31且m 1 ,解得1

12、m 2答案：m|1 m 2练习题:“a b 4” 是 “ a 2且b 2” 的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件1 解析：a 5,b 0时满足a b 4,但a 2且b 2不成立，充分性不成立；若a 2且b 2 ,则必有a b 4 ,必要性成立；综上，“a b 4”是“a 2且b 2”必要不充分条件答案：B已知条件p： x2 2x 3 0,条件q： x a ,且 p是q的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（）A. a 1B. a 1C. a 3 D. a 32解析：p： x 3或x 1,则 p为-3 x 1 , q为x a,又 p是q的充分

13、不必要条件，即p q, q p,所以a 1答案：A“b 而”是“a, b, c”成等比数列的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3二解析：当a b c 0时，b JOC,此时不是等比数列；1, 2,4成等比数列，但2G4 ,充分性和必要性都不成立，故选D.答案：D一次函数y mx1的图像同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是 n n（）A. m 0,n 0B,mn 0C.m 0,n 0 D.mn 0? 一 - h， W - Sl !M- T - H! T 9 V 一 WS - m - 一 H n ， S-W tn H 解析：p的必要不充分

14、条件是 q,即q是p的必要不充分条件，故本题应该是题干 选项，而选项 题干；一次函数图像同时经过第一、二、四象限，需满足 - 0,1 0 ,即m 0,n 0 ,n n此为充要条件，由 m 0,n 0可推出mn 0 ,但由mn 0推不出m 0,n 0 ,符合题干 选项，而选项 题干，故D正确.答案：D“不等式x2 x m 0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）1A. m B. 0 m 1C. m 0 D. m 145解析：题干 选项，而选项 题干，由题意知，又应方程的1 4m 0,即1m ,小范围推大范围，可推导出 m 0,故选C. 4答案：C6右p：|x|x,q：x x0,则p是q的条件.

15、解析：满足p的x范围为x 0,满足q的x范围为x 0或x1，小范围推大范围，即p q , q p , p是q的充分不必要条件.答案：充分不必要7“|x 2| 1” 是 “ x2 x 2 0” 的条件.解析：|x2|1 1 x 3, x2 x 2 0 x2或x 1,左边范围小，左边推右边，充分不必要.答案：充分不必要三、简单的逻辑连接词1. “且” “或” “非”且：既满足命题 p又满足命题q,即“ p且q”，记作p q.（我很高且我很帅，我很高我很帅）或：满足命题p或满足命题q,即"p或q”,记作p q .（我很高或我很帅，我很高我很帅）非：命题p的否定，即条件不变，否定结论，读作“

16、非p”，记作 p.（我很帅，我很帅（我不帅）2. p q, p q, p的真假判定：真值表：pqp qp qp真真真真假真假真假假真真假真假假假假结论：p q：全真为真，一假为假.p q： 一真为真，全假为假.p： p真 p假，p假 p真.例如：p： x, x2 0 , q： x, x 1 0, p 假，q 真.则p q假 p q真 p真 q假.p)是条件不变，否定结论.注意：否命题和命题的否定的区别否命题是对条件和结论同时否定，命题的否定(即例如：原命题：如果x 0 ,那么x2 2x 0否命题：如果x 0,那么x2 2x 0命题的否定：如果 x 0 ,那么x2 2x 0将下列命题用“&quo

17、t;连接成新命题，并判断真假.(1) p： 72是无理数，q： &大于 1; p： N Z, q： 0 N .例1解析：(1) p q：应是无理数且大于1,因为p, q都是真命题，所以 p q是 真命题.(2) p q： N Z且0 N ,因为p是真命题，q是假命题，所以p q是假 命题.判断下列命题的真假.(1)3 4; (2) 4 4; (3) 5 4.解析：(1)命题3 4是由命题p： 3 4, q： 3 4用 或”连接后构成的新命题，即p q,因为q是真命题，所以p q是真命题.例2(2)命题44是由命题p：4 4, q： 44用或”连接后构成的新命题，即pq,因为p是真命题，

18、所以p q是真命题.(3)命题54是由命题p：5 4, q： 54用或”连接后构成的新命题，即pq,因为p和q都是假命题，所以 p q是假命题.写出下列各命题的否定，并判断真假.(3) p：ytanx 是奇函数；(2) q：J(2)22 .例 3(1)p：ytanx 是奇函数；(2) q：J(2)22 .解析：(1)p： y tanx不是奇函数，是假命题；(4) q： & 2)22 ,因为J( 2)2 2,所以 q是真命题.练习题:已知命题p：若x y ,则xy ;命题q：若x y ,则x2 y2 ,有下列四个命题：p q p qp (q) (p)q,真命题是()A.B.C. D.1解

19、析：p是真命题，q是假命题，故 p q为假命题，p q为真命题， q为真命题，则p ( q)为真命题， p为假命题，则(p) q为假命题，故选C.答案：C若命题“ p q”为假，且“ p”为假，则()人或4为假 B.q假C.q真 D.不能判断q的真假2解析： p为假，则p为真，p q为假，则q为假，B正确答案：B 已知命题p：函数f(x) (5 2m)x是减函数，若 p为真命题，求实数 m的取值范围.解析：p为真命题，则函数不是减函数，这包括增函数和不是单调函数两种情况，讨论起来比较复杂， 故可采取考虑对立面的情况，即先求减函数的范围， 再3取补集；f(x) (5 2m)x是减函数时，需满足5

20、 2m 1,即m 2 ,所以当 p为真时,答案：2,) 在一次射击比赛中，甲、乙两位选手各射击一次，设命题 p是“甲射中”，q是“乙射中”，则命题“有且仅有一位选手射中”可表示为()A. p ( q)B. p ( q)4 C. p ( q) ( p) q D- p qt j xq SBA 0 =. , -K j H - ia. L iB b U SM J- I &U q n n = H SMiB *4 - ； 4 H - L K L K J . J &HSil AK * 1 - I M - X q 3 q B A H a b a IB j解析：“有且仅有一位选手射中”是指“甲射

21、中、乙未射中”或者“乙射中、甲 未射中”两种情况，因此可表示为p ( q) ( p) q.答案：C已知命题p：对任意x R,总有2x 0； q： x 1是x 2的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()5 A- p q B- ( p) ( q) C- ( p) q D- p ( q)一 "W BMTW i W I B ! S ! TW ! BB K 1B B B 工VI! 一:W WI m ! B " K " H" K f,解析：p是真命题，q是假命题，由此分析，D选项正确.答案：D四、全称量词与存在量词1.全称量词及全称命题 意义及符号：名称意义符号

22、全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等全称命题对M中任意一个x,有p(x)成立x M,p(x)例如：命题 对于一切实数X,都有x2 2x 1 0”可写为“ x, x2 2x 1 0”.2.存在量词及特称命题名称含义4寸万表/、存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等特称命题存在M中的一个x0,有p(x0)成立x M,p(%)11例如：命题 存在实数x,都有x 1 1”可写为“x, x 1 1”. xx判断下列命题的真假：2 4伽(1) x R, x 2 0 ； (2) x N, x 1 .解析：(1) x R ,有x2 0,因而x2 2 2 0,命题为真；(2) 0 N,当x 0时，x4 1

23、不成立，命题为假命题.判断下列命题的真假：3 2(1) % 乙 % 1 ； (2) x0 Q, % 3例 2 解析：(1)当x 1时，x31 1,命题为真；(2)使x2 3的只有 名,它们都不是有理数，所以命题为假命题.3.含有一个量词的命题的否定全称命题：p： x M , p(x);它的否定p：x0 M, p(x0).全称命题的否定是特称命题.特称命题：p： X0 M,p（X0）;它的否定 p： x M, p（x）.特称命题的否定是全称命题.例如：命题“X,X2 0”的否定为：“ X,X2 0”.命题“a,aX2 X 1 0”的否定为："a,aX2 X 1 0”.22命题“X,X0

24、”的否定为：“ X,-一 0”.X 1X 1总结：含有一个量词的命题的否定，既要改写量词，又要否定结论.命题命题的否定X M ,p(x)X M , p(X)X M , p(X)x M , p(X)常用词语及其否定:止面词语百()K ()小于（）|是 '否定词语不等于（）不大于（）不小于（）不是止面词语都是任意的所有的至多什-个至少有一个否定词语不都是某个某些至少有两个一个也没有、一入 r-一 2 , 一设命题p： X R,X 1 0 ,则 p为（）_2,_-2, 一A.X0R, X010B.X0R,X0102c2/c例1C.X0R, X010D.XRX10解析：求全称命题的否定，就是将

25、全称量词（）换为存在量词（），并将结论否定，符合条件的是 B.答案：B命题“存在X0 R,2X0 0 ”的否定是（）A.不存在 X0 R,2X0 0B,存在 X0 R,2X0 0例2 C .对任意的X R,2X 0D .对任意的X R,2X 0解析：求特称命题的否定，就是将存在量词（ 存在）换为全称量词（ 任意）, 并将结论否定，只有 D符合题意.答案：D练习题:下列命题中的假命题是（）A. x R,lg x 0 B. x R,tan x 1C. x R,x3 0 D. x R,2x 01 _=.一解析：A、x 1成立；B、x 成立；D、指数函数值域大于 0恒成立；C很明 4显错误答案：C若命

26、题“ x R, ax2 ax 2 0”是真命题，则 a的取值范围是 . k _ _ * a t aa& .bB = a aa - a at j = a « - a - a - u- a :a 4.4:a B = .a_ a t a t a a 4 a a.a a a -£-&a.&ha a.ad&.adA a .a . a . & s a -& h j " = - s a解析：当a 0时符合题意；2 当a 0时，a只能小于0,同时 a2 8a 0,解得8 a 0;综上，8 a 0答案：8 a 0若命题“ x R, x2 a