第78讲 贝齐埃曲线与曲面1_图文

1、第七八讲:贝齐埃曲线与曲面 2010年 3月CAD/CAM技术基础1/68上课内容一、引言(贝齐埃思想方法二、贝齐埃曲线的定义三、贝齐埃曲线的几何性质四、贝齐埃曲线的几何作图法五、贝齐埃曲线的改进和使用六、贝齐埃曲线的合成七、贝齐埃曲面八、贝齐埃曲面的合成2/68实 质 :给 定 一 个 特 征 多 边 形 顶 点 序 列 Vi i=0,1, n,与伯恩斯坦基函数J n,i (u线性 组合,便可得出一条光滑曲线。研究一种以 逼近 为基础的构造曲线与曲面的方 法。将 函数逼近理论 同几何表示紧密地联系在 一起。UNISURF系统的基础,1972年投入使用。一、引言3/684/68 贝齐埃(191

2、0200023岁进巴黎郊区的雷诺汽车厂 工作,从事刀具设计、零件生产线和数控钻床、铣床 的组装调试,他在50岁时开始研究几何化的曲面构造 方法,独自开拓了一条全新的道路, 用多边形顶点来 定义自由曲线 。就像有些画家在素描人像时先用折线 勾画脸部和身材的大致轮廓,再逐步修正线条,贝齐 埃完全用折线来精确定义一条曲线。1982年3月,北航吴骏恒等航空工业部四人小组应贝 齐埃的邀请,在雷诺汽车厂参观了5天,重点参观 Unisurf,SurfAPT和RA3D三维机械设计软件。 一、引言5/68 13次贝齐埃曲线一、引言001110( 1111V V p u u u u V V =r 1次的 Bezi

3、er 曲线:用两点 V0,V1作直线的参数方程012V VV 220120212( (1 2(1 1001220121p u u V u u V u V V u u V V =+=r r rr r r r 2次的 Bezier 曲线:直接用三角形 ABC 三个顶点确定曲线形状,挪动顶点 B 就可以改变曲线的丰满度, 将 ABC 三顶点写成更通用的 (2(16/68( na b +322301230231V =+=r r r rr r r r r 对比 (1(2,顶点前面的系数很像二项式定理 强调两点一、引言第一,要求曲线和曲面 通过 所有给定的点 (三次样条曲线、参数 样条曲线、弗格森曲线、C

4、oons曲面 ,不能给设计者提供所需要 的 直观感觉(尤其是用切矢和扭矢的方向和大小等信息去控制曲线 和曲面 。而贝齐埃方法、B样条方法, 用曲线外和曲面外的点来定义曲线 和曲面 , 却不通过所有给定的点,更不考虑切矢和扭矢 。这种方法能使使用者明显地感觉到输入与输出之间的关系,使 他们能够利用可控制的输入参数来改变曲线与曲面的形状,直到输 出的结果与预期的形状完全相符为止。8/68 二、贝齐埃曲线的定义(1实质一条贝齐埃曲线由两个端点和若干个不在曲线上但 能够决定曲线形状的点来确定。给定一个特征多边形顶点系列Vi i=0,1, n,与伯 恩斯坦基函数J n,i (u线性组合,便可得出一条光滑

5、 曲线。10/68 11/68特征多边形:一般地,n次贝齐埃曲线由n+1个顶点构成的特征多边形所确定。特征多边形大致勾画出了对应曲线的形状二、贝齐埃曲线的定义(2贝齐埃曲线表达式贝齐埃曲线表达式 :由特征多边形顶点的位置矢量与伯恩斯坦基函数线性组合得到: 31/68四、贝齐埃曲线的几何作图法 对于固定的 u0,1,可在特征多边形的每条边上找一分割点,将边分成 比值 u:(1-u,对于 V i 和 V i+1为端点的第 i 条边,分点 r i,1(u的位置矢量为 :新得到的 n 个点组成一个开的 n-1边形。对这个新的多边形重复上述操作,可得到一个 n-2边形的 n 一 1个顶点 r i,2(u

6、(i=0, 1, . , n-2 。依次类推,连续作 n 次以后.即得到一点 r 0,n (u,它就是贝齐埃曲线 (1-121 上对应于参数 u 的点 r(u,且矢量 nr 0,n-1r 1,n-1即为曲线在该点的切矢量 。 u 在 0,1之间变动,就可得到一条贝齐埃曲线。四、贝齐埃曲线的几何作图法说明 :(1 从这一作图法可以看出,只要特征多边形象刚体 一样在空间中运动,不管运动到哪个地方,所对应的 曲线也和多边形一道运动而形状不变。这就是说,曲 线的形状由特征多边形唯一决定,而与坐标系的选择 无关。这就又一次证明了 贝齐埃曲线的几何不变性 。(2当把特征多边形顶点的顺序全部颠倒过来,然后再

7、 以 1-u 为比例因子按上述方法作图,显然最后所得到 的将是同一个点 r0,n。这也又一次证明了 贝齐埃曲线 的对称性 。32/68五、贝齐埃曲线的改进和使用简答题:试简述Bezier曲线的优点和缺点,并简要指明针对 其缺点的解决办法。优点:(1用曲线外的点,即特征多边形来定义曲线,具有直观性,特别 适合于设计 ;(2具有优良的逼近性质,次数越高,曲线越光滑 ;(3具有对称性,凸包性、保凸性、几何不变性、变差减小性质。缺点:(1当特征多边形的顶点分布不均匀时,参数u在曲线上对应点的分 布也不均匀;(2贝齐埃曲线的形状与定义它的特征多边形相距甚远,(3改变特征多边形的一个顶点将影响整条曲线。3

8、3/68五、贝齐埃曲线的改进和使用缺点:(1当特征多边形的顶点分布不均匀时,参数u在曲线上对应点的分 布也不均匀;(2贝齐埃曲线的形状与定义它的特征多边形相距甚远,(3改变特征多边形的一个顶点将影响整条曲线。第1个缺点:采用参数均匀化进行再参数化;第2个缺点:增加贝齐埃曲线次数;第3个缺点:采用B样条曲线来解决。34/68五、贝齐埃曲线的改进和使用第1个缺点: 采用参数均匀化进行再参数化;35/68五、贝齐埃曲线的改进和使用第2个缺点: 增加贝齐埃曲线次数;36/68五、贝齐埃曲线的改进和使用在实际应用中的反推顶点问题:贝齐埃方法主要用于设计:根据给定的特征多边形顶点Vi构造贝齐埃曲线。 也可

9、用于拟合:作为插值曲线用来拟合给定的数据点。问题:构造一条n次贝齐埃曲线,使其通过r 0为起点,以r n 为终点的n十1个已知点r 0、r 1、r 2、.、r n 。为此,需首先算出特征多边形顶点vi. 通常可取参数u i 与已知点r j (j=0,1, ,n相对应,依此反推顶点V i 。当 型值点分布比较均匀时,可取u j =j/n;而当型值点分布不均匀时,则可取 累加弦长参数作为u j 的值,即令37/6838/68 五、贝齐埃曲线的改进和使用可用型值点作为顶点的初值,用迭代法由上述线性方程组解出 Vo 、 V l 、 、 V n 。然后即可取 V 0、 V 1, 、 V n 为特征多边形

10、顶点,构造一条 n 次贝齐埃 曲线这条贝齐埃曲线必然通过原先给定的点 r 0、 r 1、 、 r n 。六、贝齐埃曲线的合成背景:例如,用10边形来设计贝齐埃曲线,按照式(1-121, 需10次贝齐埃曲线。在几何设计中,设计者往往难以用一条贝齐埃曲线来描 述复杂的形状,因而有时采用分段逼近,然后将各段曲 线相互连接起来,在接合处保持一定的连续条件。连接 成的曲线从整体来看是一条光滑曲线。39/6840/68 复习 四、弗格森曲线 首先讨论一般参数曲线段之间的连续性条件(2弗格森三次参数曲线段的 合成-条件:达到二阶连续 位置连续: 斜率连续: 曲率连续:其中T是在接合点处公切线的单位矢量 作用

11、:保证接合处曲率相等的前提下使曲线设计者有更大的灵活性。 六、贝齐埃曲线的合成两点说明:仅仅在平面曲线的情况下,才可能构造两个端点处都具有指定 位置、切线方向和曲率的三次曲线段。对于高阶的贝齐埃曲线,合成时可以有更多的自由度。 因此为 了保持较高阶的连续性,可以采用增加曲线阶数的做法,也就是增 加多边形顶点的数量。 这种增加曲线段的阶次而又保持曲线的形 状不变以达到更好地控制曲线形状的灵活性是贝齐埃方法的优点之 一。45/68七、贝齐埃曲面参照:采用张量积的方法来定义双三次曲面 将构造贝齐埃曲线的方法推广到曲面 46/68七、贝齐埃曲面已知:设在空间给出16个点,这些点的位置矢量用V i,j

12、表示(i,j=0,1,2,3。 写出双三次贝齐埃曲面片的形成过程,并写出三次贝齐埃曲面片的具体表达式。 47/68七、贝齐埃曲面Step1:先用构建贝齐埃曲线的方法,得到以u为参数的三次贝齐埃曲线s 0、 s 1、s 2、s 3Step2:固定一个u值u *,在s 0、s 1、s 2、s 3得到相应的四个点s 0(u*、s 1 (u* 、s 2 (u* 、s 3 (u*。用这四个顶点定义了一条以w为参数的三次贝齐埃曲 线Q(wStep3:以Q(w为母线,在基线s 0、s 1、s 2、s 3上 滑动,当u *从0连续变化到1时 ,相当于形成了双三次贝齐埃曲面48/6849/68 七、贝齐埃曲面 Step1:先用构建贝齐埃曲线的方法,得到