电路理论课件 - 第5章 - 正弦交流电路相量法 - 图文-

1、第5章正弦交流电路相量法 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 第5章 正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 5.2 相量法的基础 5.3 电路元件的相量形式 5.4 基尔霍夫定律的相量形式 重点： 1.正弦量的表示、相位差； 2.正弦量的相量表示； 3.电路定理的相量形式。 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 5.1 正弦量的基本概念 一、正弦量及其描述 瞬时值表达式： 波形： i T O t i(t=Imcos( t+ 正弦量为周期函数 ： / f (t = f ( t + f = 1 T 周期T (period和频率f (freq

2、uency : 周期T ：重复变化一次所需的时间。 频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：s，秒 单位：Hz，赫(兹 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 正弦电流电路 激励和响应均为正弦量的电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路 或交流电路。 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 （2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。 f ( t = Ak cos( kt + k k =1 n 付里叶级 数展开 研究正弦电路的意义： （1）正弦稳态电路在电力系统和电

3、子技术领域占有十分重 要的地位。 优点： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数 2）正弦信号容易产生、传送和使用。 对正弦电路的分析研究具有重要的理论价 值和实际意义。 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 二、正弦量的三要素 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 i (t =Im cos ( t + ( t + 为相位(角 (1幅值 (amplitude (振幅、 最大值Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2 角频率(angular frequency 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。

4、第 二 篇 交 流 电 路 分 析 小知识： *电网频率： 中国50 Hz；美国、日本60 Hz *有线通讯频率：300 - 5000 Hz *无线通讯频率：30 KHz - 3×104 MHz = 2 f = 2 T 单位： rad/s ，弧度 / 秒 i T Im t t (3 初相位(initial phase angle 反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。 O 2 1 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 初相位：最大值与纵轴之间

5、的 角度，与计时起点有关。 规定： | | 最大值点在 纵轴的左边 最大值点在 纵轴的右边 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 100 50 i 例 已知正弦电流波形如图，103rad/s， （1）写出i(t表达式； （2）求最大值发生的时间t1 解 t t1 （1）求i(t表达式 0 i ( t = 100 cos(10 3 t + t = 0 50 = 100 cos = ± 3 由于最大值发生在计时起点右侧 推迟到达 最大值点 i ( t = 100 cos(10 3 t （2）求最大值发生的时间t1 3 = 3 提前到达 最大值点 当 10 3 t 1 = 3 时有最大值 t

6、1 3 10 3 1.047 ms 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 三、正弦量的相位差 设 u(t = Um cos( t+ u i(t = Im cos( t+ i 相位差： 特殊相位关系： u, i u i 0 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 = 0， 同相： u, i 同时到 最大或 最小值 = ± (± 180o ，反相： u, i i 0 u = ( t + u - ( t + i = u- i 初相角之差 u i t 0 u, i u i u i t

7、t = 90° t u超前i 90° 或i 滞后u 90° 正交 >0， u 超前(领先i ，或i 滞后(落后 u <0， i 超前(领先 u，或u 滞后(落后 i 0 规定： | | ( 180° 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 例 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 计算下列两正弦量的相位差。 解 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 常用转换公式: (1 i1 ( t = 10 cos(100 t + 3 4 = 3 4 ( 2 = 5 4 > = 5 4 2

8、= 3 4 i2 ( t = 10 cos(100 t 2 ( 2 i1 ( t = 10 cos(100 t + 30 0 i2 ( t = 10 sin(100 t 15 0 ( 3 u1 ( t = 10 cos(100 t + 30 0 (1 i ( t = I m sin( t = I m cos(t 90 0 ( 2 i ( t = I m cos( t = I m cos(t ± 180 0 i2 ( t = 10 cos(100t 1050 = 300 ( 105 0 = 135 0 u2 ( t = 10 cos( 200 t + 45 0 1 2 不能比较相位差

9、( 4 i1 ( t = 5 cos(100 t 30 0 i2 ( t = 3 cos(100 t + 30 0 i2 ( t = 3 cos(100t 150 0 = 300 ( 150 0 = 120 0 注意：两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函 数、同符号，即同一形式，且在主值范围比较。 2 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 四. 周期性电流、电压的有效值 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其 平均效果工程上采用有效值来表示。 1、周期电流、电压有效值(effec

10、tive value定义: 物 理 意 义 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 直流I R 交流i R 直流I R 交流i R W = RI 2T 电流有效 值定义为 def W = Ri 2 ( t dt 0 T W = RI T 2 W = T 0 Ri ( t d t 2 I= 1 T 2 i (t dt T 0 U= def 有效值也称均方根值 (root-meen-square 当一交流电和直流电分别通过两个相等的电阻时， 若在交流电的一个周期T内，两个电阻消耗的能量相等， 则称该直流电的数值为交流电的有效值。 同样，可定义电压有效值： 1 T T 0 u 2 ( t dt 第5章正

11、弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 2、正弦有效值与最大值的关系 设 i(t=Imcos( t+ 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 T 0 U= 1 2 Um 或 U m = 2U I= Q 1 T T 若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； 注意: 0 2 I m cos 2 ( t + dt T T 0 cos 2 ( t + dt = 0 1 1 + cos 2( t + dt = t 2 2 = 1 T 2 1 2 T I I

12、= I m = m = 0.707 I m T 2 2 i ( t = I m cos( t + = 2 I cos( t + Im = 2 I （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设 备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指 的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大 值考虑。 （2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。 i , Im , I U=380V， Um537V。 第5章正弦交流电路相量法 5.1 正弦量的基本概念 第5章正弦交流电路相量法 5.2 相量法的基础 第 二 篇 交

13、 流 电 路 分 析 正弦电路电压、电流都是随时间按正弦规律变化的函数。 在含有电感和(或电容的正弦电路中，电路方程是含有微 积分形式的方程。因此，在时域内对正弦电路进行分析 时，需要建立含微积分的电路方程，分析过程如图所示。 正弦电 流电路 分析 建立电路方程 (含微积分方程 时域分析过程示意图 求解 得时域响 应表达式 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 5.2 相量法的基础 一、问题的提出： 电路方程是微分方程： + _ i R C L u LC 正弦函数微积分或几个同频率正弦函数相加减的结果仍 是同频率正弦量。 思考：能否用一种简单的数学变换方法 以避免繁琐的三角函数及微积分运算？ d

14、u d 2 uC + RC C + uC = u( t dt dt 两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。 i1 = 2 I 1 cos( t + 1 i2 = 2 I 2 cos( t + 2 正弦稳态电路特点： 若所有激励为频率相同的 正弦量，则线性电路响应 为同频率的正弦量。 3 第5章正弦交流电路相量法 5.2 相量法的基础 第5章正弦交流电路相量法 5.2 相量法的基础 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 i1 u, i 角频率： 有效值： I1 0 i2 i1 i1+i2 i3 i3 I 3 t 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 二、复数及运算 1、复数A的表示形式 +j

15、b a A +j b +1 (j = A=a+jb 1 为虚数单位 复数的模 i2 I2 A |A| 复数的幅角 初相位： 1 2 3 0 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，故只要确定 初相位和有效值(或最大值就行了。可想到复数，复数也包 含一个模和一个幅角，因此，可以把正弦量与复数对应起 来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。 0 a +1 几何意义：复平面上的一个点 几何意义：复平面上一个有向线段 A = a + jb A =| A | e j 代数形式 A = | A | e j 指数形式 正弦量 复数 实际是变 换的思想 =| A | (cos + j sin = a

16、 + jb 工程上的 简化形式 A =| A | e =| A | j 第5章正弦交流电路相量法 5.2 相量法的基础 第5章正弦交流电路相量法 5.2 相量法的基础 2、复数两种形式的关系： 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 例 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 把下列复数化为极坐标形式 欧拉公式： e j = cos + j sin 1、 3 + 解 j4 2、 3 + j 4 2 2 3、 3 1 j4 4、3 j4 极坐标形式直角坐标形式(直接展开 3 + j4 = 3 + 4 tan A = ae j = a (cos + j sin 4 = 5 53 . 13 ° 3

17、 = a cos + ja sin = a1 + ja 2 直角坐标形式极坐标形式 +j a2 a O a 1 = a cos a 2 = a sin a1、a2分别是 A在横轴和纵 轴的投影。 同理: 3 + j 4 = 5 126 . 87 ° 3 j 4 = 5 126 . 87 ° 3 j 4 = 5 53 . 13 ° a = a 2 + a 2 1 2 a2 = arctg a1 r A 注意： 1、两种形式的互换要熟练！ +1 a1 2、互换中要保留实部、虚部符号， 注意初相角的象限！ 第5章正弦交流电路相量法 5.2 相量法的基础 第5章正弦交流电

18、路相量法 5.2 相量法的基础 3、复数的运算 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 A = a1 + ja2 = aa 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 (1.复数的相等 B = b1 + jb2 = b b a = b 两复数相等的充要条件是： a 1 = b 1 或 a = b a 2 = b2 必须用直角坐标形式 B = b 1 + jb 2 (3.复数乘除运算采用直角坐标形式 A B = ( a 1 + ja 2 ( b1 + jb 2 = (a1b1 a2b2 + j(a2b1 + a1b2 A a1 + ja 2 (a1 + ja 2 (b1 jb2 = = B b1 + jb2

19、 (b1 + jb2 ( b1 jb2 (2.复数的相减加 A = a 1 + ja 2 C = A ± B = ( a1 ± b1 + j ( a 2 ± b2 = c1 + jc 2 平行四边形法则 +j +j B A O +j C B a2 - b2 +1 A B C A B +1 a1-b1 C B a2 + b2 b2 a2 O = c1 = B ( a1b1 + a 2 b2 + j ( a 2 b1 a1b2 = c1 + jc 2 2 2 b1 + b2 a1b1 + a 2 b2 2 2 b1 + b2 +1 c2 = b1 a1 a +b 1

20、1 a 2b1 a1b2 2 2 b1 + b2 4 第5章正弦交流电路相量法 5.2 相量法的基础 第5章正弦交流电路相量法 5.2 相量法的基础 o (4.复数乘除运算采用极坐标形式 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 例 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2 j 1 5 47 + 10 25 = ? o 解 547 o + 10 25o = ( 3.41 + j 3.657 + (9.063 j 4.226 则: A1 A2 = A1 e A2 e j 2 = 12.47 j 0.569 = 12.48 2.61o 例 = A1 A2 e j

21、(1 + 2 = A1 A2 1 + 2 乘法：模相乘，角相加。 乘除运算应 尽量采用极 A1 | A1 | 1 | A | e j1 = = 1 j 2 坐标形式。 A2 | A2 | 2 | A2 | e |A | |A | = 1 e j( 1 2 = 1 1 2 | A2 | | A2 | 除法：模相除，角相减。 解 (17 + j9 (4 + j6 =? 20 + j5 19.24 27.9o × 7.21156.3o 原式 = 180.2 + j126.2 + 20.6214.04o 220 35o + = 180.2 + j126.2 + 6.728 70.16o =

22、180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329 = 182.5 + j132.5 = 225.5 36o 第5章正弦交流电路相量法 5.2 相量法的基础 第5章正弦交流电路相量法 5.2 相量法的基础 (5. 旋转因子： 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 复数 ej =cos +jsin =1 ，而模不变。故把ej 称为旋 转因子。 +j A ej A +1 +j 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 A ej ： 相当于 A 逆时针旋转一个角度 0 几种常用关系： 1 j 2 = 1， = j j e j 90 ° = j e j 90 ° = j 2 4

23、5 ° 2 45 ° 2 + 135 ° 2 135 ° e ± j 180 ° = 1 几种不同值时的旋转因子： 1+ j = 1 j = = 2 , e j 2 = cos 2 + j sin 2 = + j & + jI 0 & I j = , e 2 = cos( + j sin( = j +1 & jI 1+ j = 1 j = & = ± , e j ± = cos(± + j sin(± = 1 I 故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。 2

24、2 2 第5章正弦交流电路相量法 5.2 相量法的基础 第5章正弦交流电路相量法 5.2 相量法的基础 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 三、正弦量的相量表示 造一个复函数 复函数-无 物理意义 正弦量-有 物理意义 A( t = 2 Ie j( t + 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 A(t = 2 I e e j t = 复常数 j & 2 I e j t 两者之间为对 应关系,非相 等关系。 = 2 Icos(t + + j 2 Isin( t + 对A(t取实部： Re A( t = 称 I = I 为正弦量 i(t 对应的相量。 2 Icos( t + = i(t j(

25、 t + i ( t = 2 I cos( t + I = I 相量的模表示正弦量的有效值 正弦量的相量表示: 相量的幅角表示正弦量的初相位 对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数 i = 2 Icos ( t + A( t = 2 Ie A(t还可以写成 A(t = 2 I e e j t = j & 2 I e j t 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： 复常数 A(t包含了正弦量三要素：I、 、 ，复常数仅包含了 , 。 u( t = 2U cos( t + U = U 5 第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法四、相量图第5章正

26、弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法21U U U &&&+=可得其相量关系为:第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法2、正弦量的微分,积分运算第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法5.3 I R UR &&=第5章正弦交流电路相量法3、波形图及相量图第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法2第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法4第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法2、时域形式第5章正弦交流电路相量法第5

27、章正弦交流电路相量法3第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法第5章正弦交流电路相量法五、应用举例第5章正弦交流电路相量法 5-4 基尔霍夫定律的相量形式 第5章正弦交流电路相量法 5-4 基尔霍夫定律的相量形式 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 例 解 已知 u(t = 120 2 cos(5t , 求 : i ( t +i 例 0.02F 15 4H & U = 120 00 u 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 已知 i(t = 5 2 cos(10

28、 6 t + 15 0 , 求 : uS ( t +i _ 5 0.2F 解 _ & I = 5150 1 jX C = j 6 = j 5 10 × 0.2 × 10 6 uS jX L = j 4 × 5 = j 20 1 jX C = j = j10 5 × 0.02 & & & U U U & & & & I = I R + I L + IC = + + R jX L jX C 1 1 1 = 120 + 15 j 20 j10 = 8 j 6 + j12 = 8 + j 6 = 1

29、0 36.9 0 A 相量模型 & & & U S = U R + U C = 5150 (5 j 5 0 = 515 × 5 2 450 = 25 2 300V & & I ,U R 相量模型 & I + & US _ 5 -j5 & +I & U -j15 15 & I1 & UC & UC _ i(t = 10 2 cos(5t + 36.9 0 A & & I 2 j20 I 3 & US 第5章正弦交流电路相量法 5-4 基尔霍夫定律的相量形式 第5章正弦

30、交流电路相量法 5-4 基尔霍夫定律的相量形式 例 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 已知 U AB = 50V , U AC = 78V , 问： U BC = ? A 30 j40 B jXL & U BC & U AC 例 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 解 & I C 解 & j 40 I 设 : I = I 0° & U AB & 30 I 图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流同相 位，求I、R、XC、XL。 & jXL -jXC + +I & 设 : U C = U C 0 0 &

31、 R UC U & & I1 = 500 , I 2 = j 5 _ & & I2 I1 0 & I = 5 + j 5 = 5 245 U AB = ( 30 I 2 + (40 I 2 = 50 I I = 1 A, U R = 30V , U L = 40V & U = I jX L + U C = (5 + j 5 × jX L + 5 R = 5 X L + 5 R + j 5 X L 50 & 又： U = 50450 = (1 + j 2 令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部： U AC = 78 = ( 30 2 + (40 + U BC 2 U BC = (78 2 ( 30 2 40 = 32V 5 X L = 50 2 XL = 5 2 50 R = X C = 10 2 5R = + 5 × 5 2 = 50 2 2 第5章正弦交流电路相量法 5-4 基尔霍夫定律的相量形式 第5章正弦交流电路相量法 5-4 基尔霍夫定律的相量形式 也可以画相量图计算 第 二 篇 交 流 电 路 分 析 设 : I 1 = I 1