信号与系统教案,第四章连续时间傅里叶变换

1、东北电力大学教案封皮开课单位课程名称授课教师授课对象选用教材信号与系统 西安交通大学 出版社总学时72课次18第4章连续时间傅里 叶变换4.0引言4.1非周期信号的表示：连续时间 傅里叶变换4.2周期信号的傅里叶变换教学目的 及要求掌握连续时间非周期信号的傅里叶变换表示方法及推导过程，掌握连续时间周期信号的傅里叶变换表示。教学重点、 难点及处 理安排重点：非周期信号的傅里叶变换表示。难点：如何由连续时间周期信号的傅里叶级数过渡到连续时间非周期信号的 傅里叶变换。教学方式、 方法讲授法教学 内容 及时 间分 配4.0 引言5min4.1非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换70mi n4.2周期信

2、号的傅里叶变换15min例题、练习 题详见下文作业、思考 题4.0引言在这一章以及下一章将把这些概念推广应用到非周期信号中去。 将会看到，相当广泛的一类信号，其中包括全部有限能量的信号，也 能够经由复指数信号的线性组合来表示。对周期信号而言，这些复指 数基本信号构造单元全是成谐波关系的；而对非周期信号，它们则是在频率上无限小地靠近的。因此，作为线性组合表示所取的形式是一 个积分，而不是求和。对连续时间非周期信号建立这种表示是傅里叶的最重要的贡献 之一，现在我们来讨论傅里叶变换也是紧随着他最初研究所采用的途 径进行的；特别是傅里叶所曾认为的，一个非周期信号能够看成是周 期无限长的周期信号这一点。

3、更加确切些就是，在一个周期信号的傅 里叶级数表示中，当周期增加时，基波频率就减小，成谐波关系的各 分量在频率上愈趋靠近。当周期变成无穷大时，这些频率分量就形成 了一个连续域，从而傅里叶级数的求和也就变成了一个积分。4 .1非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换4 .1 .1非周期信号傅里叶变换表示的导出为了对傅里叶变换表示的实质求得更深人地了解， 我们还是先由 在例3.5中所研究过的连续时间周期方波的傅里叶级数表示人手。 即, 在一个周期内1x(t) = 0,|t| < T1 T1 < |t| < ?/2该方波信号的傅里叶级数系数ak是I二口口 V 口口-37-T T g 11

4、STIB4 L亠喩时冉圖崛*秋佶晞理解(4.1)式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即2sin£j7 1珈1tMT-STli (C>T- I6T)从该图可以看到，随着T增加，该包络就被以愈来愈密集的间隔 采样。随着T变得任意大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲(也就是说，在时域所保留下的是一个非周期信号，它对应于原方波的一 个周期)。与此同时，傅里叶级数系数(乘以T后)作为包络上的样本也 变得愈来愈密集，这样从某种意义上说(稍后将说明)，随着T is,傅里叶级数系数就趋近于这个包络函数。这个例子说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想。这就是在建立非周期信号的傅里叶

5、变换时，可以把非周期信号当作一个周期信号在周期任意大时的极限来看待，并且研究这个周期信号傅里叶级数表示式的极限特性。现在，我们来考虑一个信号x(t),它具有有限持续期，即对某个T1 当 |t| > Ti 时，x(t) = 0,如图 4.3 (a)所示。Qd7一 1t从这个非周期信号出发，可以构成一个周期信号x?t),使x(t)就是X(t)的一个周期，如图4.3(b)示。-1 -Tt 0 T, r2T t现在来考察一下在这种情况下x(t)的傅里叶级数表示式的变化f (门=龙创宀V堆=寸|遍彳diJ-T戊由于在|t| < ?/2内，x?t) = x(t)，而在其余地方x(t) = 0,

6、所以(4.4 式可以重新写成1 rTZ2_1 y+gHk =亍I和虫(心叫恤=刊*2占吨北因此，定义Tak的包络X(j 3)K(jG =：r(f沁a曲r(r)=r(r)=亦JX(jcu)d叫如(4.8)(4.9)(4.8)式和(4.9)式称为傅里叶变换对。函数X(j 3称为x(t)的傅里叶变换或傅里叶积分，而(4.8)式称为傅里叶反变换式。对周期信号来 说，表示成成谐波关系的复指数信号的线性组合，频率为k 30，而对于非周期信号而言，这些复指数信号出现在连续频率上。一个非周期 信号x(t)的变换X(j 3通常称为x(t)的频谱。基于以上讨论，或者等效地基于(4.9)式和(3.39)式的比较，也

7、可以注意到，一个周期信号x?t)的傅里叶系数ak能够利用x(t)的一个周期 内的信号的傅里叶变换的等间隔样本来表示。这就是，设x?t)是一个周期为T的周期信号，其傅里叶系数为ak；令x(t)是一个有限持续期信 号，它等于在一个周期内的x?t)，譬如说是在这样一个周期内s < t ws+T,而在该周期外全为零。那么，因为(3.39)式求x(t)的傅里叶系数时可以在任何周期内做积分，因此知亠左从丿山=Jt(:)e_jAa,ordf4.1.2傅里叶变换的收敛虽然在导出(4.8)式和(4.9)式的傅里叶变换对时，假设x(t)是任意的，但具有有限持续期。事实上这一对变换关系对于相当广泛的一类无限持

8、续期的信号仍然成立。我们对傅里叶变换所采用的推导过程， 本身似乎就暗示了 x(t)的傅里叶变换是否存在的条件应该和傅里叶级 数收敛所要求的那一组条件一样。事实证明确实如此。要想知道的是，什么时候?(t)才是原来信号x(t)的真正表示?若x(t)能量有限，也即x(t)平方可积，因而|J 亠 I l2de < 皿那么就可以保证X(j 3是有限的。因此，和周期信号相类似，如果，x(t) 能量有限，那么虽然x(t)和它的傅里叶表示?(t)在个别点上或许有明显 的不同，但是在能量上没有任何差别。也和周期信号一样，有另一组条件，这组条件充分保证了?(t)除了那些不连续点外，在任何其它的t上都等于x(

9、t)，而在不连续点处?(t) 等于x(t)在不连续点两边值的平均值。这组条件也称为狄里赫利条件, 它们是：1. x(t)绝对可积，即2在任何有限区间内，x(t)只有有限个最大值和最小值。3在任何有限区间内，x(t)有有限个不连续点，并且在每个不连 续点都必须是有限值。4 .1.3连续时间傅里叶变换举例详见教材，例4.1-例4.54.2周期信号的傅里叶变换在上一节介绍了傅里叶变换表示，并给出了几个例子。虽然在那一节的注意力主要是集中在非周期信号上，其实对于周期信号也能够建立傅里叶变换表示。这样一来就可以在统一框架内考虑周期和非周 期信号。事实上将会看到，可以直接由周期信号的傅里叶级数表示构 造出

10、一个周期信号的傅里叶变换；所得到的变换在频域是由一串冲激所组成，各冲激的面积正比于傅里叶级数系数。这是一个非常有用的 表示。为了得到一般性的结果，考虑一个信号x(t),其傅里叶变换X(j 3)是一个面积为2n,出现在3 = 30处的单独的一个冲激，即= 2x( w 肌将上面结果再加以推广，如果X(j 3是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即例题，详见教材例4.6-4.8。东北电力大学教案封皮开课单位课程名称授课教师授课对象选用教材信号与系统 西安交通大学 出版社总学时72课次19第4章连续时间傅里 叶变换4.3连续时间傅里叶变换性质教学目的 及要求掌握连续时间信号傅里叶变换的常用性质内容

11、及推导过程；掌握卷积性质。教学重点、 难点及处 理安排重点：连续时间信号傅里叶变换的常用性质内容；卷积性质。 难点：对偶性质以及卷积性质的应用。教学方式、 方法讲授法教学 内容 及时 间分 配4.3连续时间傅里叶变换性质60min4.4卷积性质30min例题、练习 题详见下文作业、思考 题习题4.12习题4.254.3连续时间傅里叶变换性质这一节以及后面两节将讨论傅里叶变换的几个重要性质。与周期信号的傅里叶级数表示的情况相同，这些性质对变换本身以及对一个 信号的时域描述和频域描述之间的关系都将给出透彻的认识。另外, 很多性质对简化傅里叶变换或反变换的求取也往往是很有用的。(4.8)(4.9)）

12、=亦J X（jct）产 d如X（jw） -dt丿一8将釈也）用同事仃儿工用旷刘闻卄来表示,r(t4.3.1线性«（£）卜空t出aX（jof） + fiY（jw）4.3.2时移性质r(r - F0)e -X(jw)为了難劃遶一It盛，町先j8（4.24）式鼻门=玄|x（同严歸 在蚁中KJii-丸朋武“可曙皿 7f 扫X购也二伽过就捷购-Fnj«合公式.测工（->1 = r'-iXCkf）例4.9详见教材215页4.3.3共轭及共轭对称性J*(- jcu)X'伽、(/)ej-fdr* ="十(门尹山X*(- j<u) - | x*

13、(r)e_iw,drJ »»共轭性质就能证明，若x(t)为实函数，那么X(j 3就具有共扼对称性，即-JO)为实作为(4.30)式的一个结果，若将X(joi)用直箱坐标表示为 X(伽)=I那名昔卫仆)为实隔戳则有IX(j«i)| = LX( - j«)|和c4n! x(jw)| - -ShX(- j(M)|这就是说，傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率 的奇函数。类似地，若将 X(j 3用极坐标表示为- ! X© 曲 t "毗“丨叙讪)1是頻率站的制函狡，*X(j»是腹皐個的奇凿数“作为(4.30)式进一步的结果，

14、若x(t)为实且为偶函数，那么X(j 3也 一定为实、偶函数。为此，可以写出J ®或耆用r=-十特樓，可得j(- r>-x(rh 断凶有= J r(r)_irfrir - X(*.i同样可以证明，若x(t)是时间的实值奇函数，那么X(j 3就是纯虚且为奇函数。r树工("r為例4.10详见教材P217页4.3.4微分与积分= 士门凶闽如鞘乌点(js)Pj i'_x( r)dJ 厂X(彻)4- irX(O)A(0)例4.11、4.12详见教材 P218435时间与频率的尺度变换兰3圧汁存佇）r*«.開乂（at）=工（辿片泗山. 1爲（说2叫°“

15、 >0-丄 j h( !) p'MTr 1a < DhQ J -*5z 卜 E ）*X（ - jcu）介绍时域与频域的相反性，详见教材。4 .3 .6对偶性比较一下正变换和反变换的关系式，可以看到这两个式子在形式上是相似的，这一对称性就导致了傅里叶变换的一个性质称之为对偶 性。以例4.13为例说明对偶性的含义，详见教材220页。W4-13号直【0苑常里时鹭檢GMJ.2耳中炸为®的爲砂甥星叶奎換与施耕号”*；科娄*4 静畫益毎炭.比戟；t世峯1幣号讨rh迄的专星叶誉携是邛幺"出剖4上泄有k-计“£蓋伽）-p-j出北这畫筈対£1播合埜或量

16、舟上武時盅嫌以hr 4# ；U-f XA, A| «z '匚（去*7鹿盘琦燮r握1*e出应2-匚芒？）讹V11FJ的帑甲叶簪廉曲折龍式麻此旨禱轲吒今()£x(j(a - W0)器尿"斗严切旳4.3.7帕斯瓦尔定理I T(t) |2dU = 7- I Jf(jG I2d<»J XX OQ* j .<r*»r « r+*I 刁-d； -(f)dt = I jr(f) Al X* (jid;*J w-I.nI jtKJ -.*b匚 I x(t) Pd -腐二xn：工(r)e*df 也例4.14见教材东北电力大学教案封皮开

17、课单位课程名称授课教师授课对象选用教材信号与系统 西安交通大学 出版社总学时72课次20第4章连续时间傅里 叶变换4.4卷积性质4.5相乘性质4.6傅里叶变换性质和基本傅里 叶变换对列表4.7由线性常系数微分方程表征 的系统教学目的 及要求掌握连续时间傅里叶变换的两个重要性质，卷积性质及相乘性质， 熟悉傅里叶变换的常用性质，并掌握常用的基本傅里叶变换对，掌握线性常系数微分方程的基本求解方法。教学重点、 难点及处 理安排重点：卷积性质及相乘性质的公式；傅里叶变换的基本性质及常用变换对； 线性常系数微分方程的基本解法。难点：线性常系数微分方程的求解。教学方式、 方法讲授法教学 内容 及时 间分 配

18、4.4卷积性质25min4.5相乘性质20min4.6傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表20mi n4.7由线性常系数微分方程表征的系统25min例题、练习 题详见下文作业、思考 题4 .4卷积性质在第3章已经知道，如果一个周期信号用一个傅里叶级数来表示， 也就是按(3.38)式作为成谐波关系的复指数信号的线性组合来表示， 那么，一个LTI系统对这个输人的响应也能够用一个傅里叶级数来表 示。因为复指数信号是 LTI系统的特征函数，所以输出的傅里叶级数 系数是输人的那些系数乘以对应谐波频率上的系统频率响应的值。r (t =护H创lim 2HQ品“三)(上冶叫血X £ £ X

19、j阪)H(o 田仏-丄叫HFy(t) =作为比较疋規的搭#”町蹲虫如下巻讯視甘丁(t) =-t(r)A(/ - r)dry(ja) - )f = J j r(rjh(i - r)<frj企换积务釈趴 幷注當対TJ tnJUC, IS有V(jw) = J z(r)J A (i - r)e jafdr <tr相据时移社质W.27)式，上式方插号内就是(加h雄It和人山.5<试痔 V&K)= 匸工严円間石-H(沁)J二hUt f式右选帯探分曄分戟圧所以YtM =例 4.15-4.204.5相乘性质卷积性质说的是时域内的卷积对应于频域内的相乘。由于时域和 频域之间的对偶性。可

20、以期望对此也一定有一个相应的对偶性质存在晉1r() = 5( f )/*(f)*R(jw)' =一个信号被另一个信号去乘，可以理解为用一个信号去调制另个信号的振幅，因此两个信号相乘往往也称之为幅度调制。为此，4.7式有时也称为调制性质。将会在第7章和第8章看到，这个性质有几个很重要的应用。为了说明(4.70)式以及今后将要讨论到的若干应用，先来举几个例子。例 4.21-4.234.6傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表ft.®非局期信号工GX'ljtw)y(t)4.3.1"T打旳力工” -5)4 F3f(jG1.3.6斗X(j(a* a)a)4.M3rhCn

21、厂d豊*(-rJ丄仙：44.4x(i) * 了仃：駅牡)fG：4.5±JC(>*) * F(jm)i.1.4时城盘介24TtT)drJ tor-x(jw)+4,3.6曲、j右畑)对称桂Nd为賓何弓HA|1<|-AiXf-jaHx>k! X( -jui 畑)=|X(-j«r>|-I J.3其倚号的对尊注宿号XOvJ为罠且#14.3.3实、奇伯号的站京住，机门打屯，潇侑号£0亦纯理且力料4 A 1拥鼻A.(i) fiifxWlh“)为实AlXtjtiH 訂禽却如xd“M4仃非周期清号杓桩卓瓦尔定理11<力详血二吉: Xju> Pds

22、«4.2叶变换对疳号甑电叶变换单时崛1豪敷(齐为阖怖的、2r駅-呻：£-1 c* 0»其余4CXXit運2( 昨：丰瓠叭巧U4卢2型一山*arw/耳占(3 *»j) 4 伙).Oi= '<1-1 = /U* = 0i 碁食* _ _Jaj-l, «i-0.4#0x(l) = l2锻小【伯AT里*tat散音示丿彌期方港'jl.UKTi如Ti亚血f些©Tr).jX Ju*tT心丁;"离*壬绝呼仙_ 、» F / rTjA卜 n=x(/>kxXS(t-nT)T* - *就呼)*对全邮&

23、2sjnwT 0* Jr<>T.迪r|h IKW X jw) - 1nt饥 1/AW比)I»(f)丄< TT机mJ JQ*i(t r 巾)<rre金 b I >fll «4jwrt -hO),苒 fmAQ_f，_l. T 小(Z-l)!* 讥认剜<d>0_L(* *沁广4.7由线性常系数微分方程表征的系统4-0 M4 - *皿-x（b）口日（血册別呈输人x（O.输由出&和秦纯单僧 72）式两边取傅里叶变换.得蚣严絲H伞常I|k贡.上式变为S a苗d = u）式可得Vk - 0Mt）a?fif兮硏（M）陀帥）-Y如（认）欣仏）

24、t = JY（j卯）EMqjFJm X（j如）必6W< -»J - £H（jG =舉叫例4.24-4.25，详见教材 236页。东北电力大学教案封皮开课单位课程名称授课教师授课对象选用教材信号与系统 西安交通大学 出版社总学时72课次21第4章连续时间傅里 叶变换实验课教学目的 及要求教学重点、 难点及处 理安排教学方式、 方法讲授法教学 内容 及时 间分 配例题、练习 题详见下文作业、思考 题内容备注实验四 连续时间傅里叶分析一、实验目的1.掌握连续时间傅里叶变换的基本理论；2.熟悉MATLAB软件的使用；3.掌握对连续时间信号进行傅里叶分析的方法。二、实验过程为了更好地体会 MATLAB的数值计算功能，特别是强大的矩阵运算能力，这里给出连续信号傅立叶变换的数值计算方法。这一法的理论依据为：凡丿個)-/VX "dt = lim £ 丿(卄" r对于一大类信号，当T足够小时，上式的近似情况可以满足实际2t1.绘制信号x(t) e u(t)的时域与频域图。R=0.02;% 取样间隔t =0.02t=-2:R:2;% t为从-2到2,间隔为0.02的行向量ft=exp(-2*t).*(t>=0);W1-10*pi;%取要计算的频率范围M=500; k-0:M; w-k*W1/M;%频域采