高中数学知识要点重温(11)不等式的性质与证明

1、高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明1在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>ban>bn；当a<0,b<0时，a>ba2<b2；a2>b2|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由<2推得的应该是：x>或x<0，而由>2推得的应该是：0<x<（别漏了“0<x”）等。举例若=,则的值域为 ；的值域为 。解析：此题可以“逆求”：分别用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。以下用“取倒数”

2、求：3-f(x)<3，分两段取倒数即0<3-f(x)<3得>或3-f(x)<0得<0,g(x)(-,0)(,+)；f(x)+3>30<<1<h(x)<。巩固1 若，则下列不等式；中，正确的不等式有（ ）A1个B2个C3个D4个巩固2 下列命题：若a>b,则ac2>bc2；若ac2>bc2,则a>b；若a>b,c>d则a-d>b-c；若a>b,则a3>b3；若a>b,则若a<b<0,则a2>ab>b2；若a<b<0,则|a|>|b

3、|；若a<b<0,则；若a>b且,则a>0,b<0；若c>a>b>0,则；其中正确的命题是 。迁移若a>b>c且a+b+c=0，则：a2>ab，b2>bc，bc<c2,的取值范围是：(-,1)，的取值范围是：（-2，-）。上述结论中正确的是 。2同向不等式相加及不等式的“传递性”一般只用于证明不等式，用它们求变量范围时要求两个不等式中的等号能同时成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“两不等式的两边均为正数”才可相乘。举例已知函数，且满足2f(1)1,2f(2)3,则f(3)的取值范围是：。解析：解决本题的一个经典错误

4、如下：2a+c1 ； 24a+c3 由得： 1ac2 44a4c8 由+得：1a 由+得： c2 由×9+得：9a+c13 ，即f(3)13。错误的原因在于：当且仅当1=ac且2=4a+c时式中的1=a成立，此时，a=1，c=2；当且仅当4a4c=8 且4a+c=3 时式中的=c成立，此时，a=，c=；可见两式不可能同时成立，所以中的=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。正解是待定系数得f(3)=f(1)+f(2)，又：f(1)；f(2)87f(3)。在此过程中虽然也用了“同向不等式相加”，但由错解分析知：当a=1，c=2时，不等式f(1)和f(2)中的等号同时成立，即f(

5、3)=7成立；而当a=，c=时，不等式f(1)和f(2)8中的等号同时成立，即f(3)=成立；所以这个解法是没有问题的。可见，在求变量范围时也并非绝对不能用“同向不等式相加”，只要“等号”能同时成立即可；对不含等号的同向不等式相加时则需它们能同时“接近”。注：本题还可以用“线性规划”求解：在约束条件2f(1)1,2f(2)3下求目标函数f(3)的最大、最小值。巩固设正实数a、b、c、x、y，且a、b、c为常数，x、y为变量，若x+y=c，则+的最大值是：A B C D3关注不等式|x|-|y|x±y|x|+|y|及其等号成立的条件；具体的：xy0|x+y|=|x|+|y|；xy0且|

6、x|y|x-y|=|x|-|y|；xy0且|x|y|x-y|=|y|-|x|；xy0|x-y|=|x|+|y|；xy0且|x|y|x+y|=|x|-|y|；xy0且|x|y|x+y|=|y|-|x|。举例1若m>0,则|x-a|<m和|y-a|<m是|x-y|<2m的A充分而不必要条件， B必要而不充分条件C充要条件 D既不是充分条件也不是必要条件。解析：|x-a|<m且|y-a|<m，则|x-y|=|x-a+a-y|x-a|+|y-a|<2m；而当m=4,x=9,y=2,a=2时，|x-y|=7<2m,但|x-a|=7>m,|x-a|&l

7、t;m和|y-a|<m是|x-y|<2m的充分而不必要条件,选A。举例2不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|的解集为 。解析：x>0，不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|等价于：|2x-log2x|<|2x|+|log2x|2xlog2x>0log2x>0x>1 不等式的解集为（1，+)。巩固1a,b都是非零实数，下列四个条件：|a+b|<|a|+|b|；|a+b|<|a|-|b|； |a|-|b|<|a+b|； |a|-|b|<|a-b|；则与|a-b|=|a|+|b|等价的条件是： （填条

8、件序号）。巩固2方程|=|+|的解集是 。4若、R+，则；当且仅当=时等号成立；其中包含常用不等式：；4以及基本不等式：，基本不等式还有另外两种形式：若0、0，则；若：、R，则2；用基本不等式求最值时要关注变量的符号、放缩后是否为定值、等号能否成立（即：一正、二定、三相等，积定和小、和定积大）。举例1 若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长，则的最小值为 。解析：圆心（2，1），“直线始终平分圆”即圆心在直线上，a+b=1,=,当且仅当a=b=时等号成立。举例2正数a,b满足a+3=b(a-1),则ab的最小值是 ，a+b的最大值是 。解析

9、：ab=a+b+32+3-2-3039，当且仅当a=b=3时等号成立。a+b=ab-3-3 a+b6, 当且仅当a=b=3时等号成立。注：该方法的实质是利用基本不等式将等式转化为不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放缩得到最值，因此不存在放缩后是否为定值的问题。巩固1在等式中填上两个自然数，使它们的和最小。巩固2某工厂第一年年产量为A，第二年的年增长率为，第三年的年增长率为，这两年的平均增长率为，则（ ）ABCD迁移甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半时间步行、一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则： A甲先到教室 B乙先到教室 C两人同时到教室

10、D不能确定谁先到教室5比较大小的方法有：比差：判断“差”的正负，因式分解往往是关键；比商：判断“商”与1的大小，两个式子都正才能比商，常用于指数式的比较；变形：如平方（需为正数）、有理化（根式的和、差）等；寻求中间变量，常见的有0，1等；数形结合。用定义证明单调性的过程就是已知自变量的大小比较函数值的大小的过程。举例1已知且，若则、的大小关系是（ ）AB C D解析：记x=, y=()2, 直接比较x、y的大小将大费周章，但： x>=1,y=，x>y，又0<c<1,<。举例2 x0是x的方程ax=logax(0<a<1)的解，则x0,1, a这三个数的

11、大小关系是 。xyO11P解析：显然方程ax=logax不能用代数方法研究。分别作函数y=ax及y=logax的图象如右，它们的交点为P（x0，y0）,易见x0<1, y0 <1，而y0=logax0即logax0<1,又0<a<1，x0>a,即a<x0<1。巩固1、的大小关系是 。巩固2设a>2，p=,q=,则：Ap>q Bp<q Cp>q与p=q都有可能 Dp>q与p<q都有可能迁移 设定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x,yR,有f(x+y)=f(x)·f(y)；当x>0时,f(x

12、)>1；判断并证明函数f(x)的单调性。6放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）；利用基本不等式，如：；等；利用常用结论：下列各式中（） （）； （） ； () ； 举例已知a、b、c是ABC的三边长，A=,B=,则：AA>B, B A<B, CAB DAB解析：B=<=<=A巩固若nN,求证：迁移已知an=2n-1,数列an的前n项和为Sn，bn=,数列 bn的前n项和为Tn，求证：对一切自然数n，恒有Tn<2。简答1巩固1B，巩固2 ；迁移 ；2、巩固A；3、巩固1 ，巩固2（-1，02, +);4、巩固14，12；巩固2B，

13、迁移B；5、巩固1 <<,巩固2A，迁移递增；6、巩固有理化，迁移放缩：。选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开)选校网（）是为高三同学和家长提 供高考选校信息的一个网站。国内目前有2000多所高校，高考过后留给考生和家长选校的时间紧、高校多、专业数量更是庞大，高考选校信息纷繁、复杂，高三 同学在面对高考选校时会不知所措。选校网就是为考生整理高考信息，这里有1517专业介绍，近2000所高校简介、图片、视频信息。选校网，力致成为您最 强有力的选校工具！产品介绍：1.大学搜索：介绍近2000所高校最详细的大学信息，包括招生简章

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