专题四 曲线运动和万有引力定律(教辅图书《新思路》第四章,附第一章到第四章的答案)

1、专题四 曲线运动和万有引力定律一、知识梳理曲线运动曲线运动的条件：所受合外力的方向与速度方向不在一条直线上研究曲线运动的基本方法：运动的合成与分解两种特殊的曲线运动平抛运动运动性质：匀变速曲线运动规律： 匀速圆周运动性质：加速度方向时刻改变的变速运动描述匀速圆周运动快慢的几个物理量 向心力向心加速度万有引力定律计算公式：适用条件：质点之间卫星问题：说明：1对于平抛运动，除了熟练掌握其运动规律外，还要重视平抛实验中根据轨迹求平抛初速度的方法.（）2对于圆周运动，熟练分析向心力的来源并熟练掌握其运动规律.（）3万有引力定律，侧重于卫星问题，紧紧把握住万有引力是卫星做圆周运动的向心力，同时注意区分环

2、绕问题和变轨问题. （）二、技能探究1例题讲解*精例1：小船在=200m宽的河中横渡，水流速度是2m/s，船在静水中的航行速度为4m/s，求：（1）小船渡河的最短时间？（2）要使小船航程最短，又应该如何航行？问题1：当水流速度为零，即该船在静水中航行时，它的运动情况如何？答：由于在静水中，水对船的航行不会产生影响.因此船的航行情况由它相对于静水的航行速度4m/s决定，的方向（即船头的方向）就是船实际运动的方向，其速度大小就是4m/s.如图41所示.问题2：当水流速度不为零，而船在静水中的航行速度0时，它的运动情况又如何？答：由于水在流动，即使船“自身不动”，即船在静水中的航行速度0，该船也不会

3、保持静止，它仍然会被流水向下游方向冲走，在岸边的观察者看来，船将以水流速度往下游方向移动. 如图42所示.问题3：当水流速度不为零，船在静水中的航行速度也不为零时，它的运动情况又如何？答：此时船同时参与两个运动：一个是船本身航行的运动，其速度为船在静水中的航行速度；另一个是被水冲往下游的运动，其速度为.岸边的观察者看到的船的实际运动是这两个运动的合运动，而不是其中的任一个分运动.其实际速度（即合速度）是和的矢量和. 如图43所示.图43图42图41问题4：问题3中船的实际运动方向与船头的方向一致吗？答：多数情况下都不一致.如图4-3所示.问题5：问题3中根据运动的合成与分解，可不可以再把船速分

4、解呢？答：可以.如可以把船速分解到平行于河岸方向（）和垂直于河岸方向（）.此时船的实际运动可看成三个分运动的合成. 如图44所示.图45图44问题6：怎样调整船头方向，才能使渡河的时间最短？答：由于河岸宽度一定，因此只要垂直于河岸方向的分运动速度取最大即可.显然，当船头垂直于河岸时，垂直河岸方向的分速度最大，渡河时间最短，其最短时间为.如图45所示.问题7：船过河时航程最短指的是什么？理想情况下的最短航程是多少？答：指实际运动（即合运动）的路程最短.理想情况下的最短航程就是河岸宽度.问题8：怎样才能使航程最短呢？答：应该使实际运动（合运动）的方向垂直于河岸的方向.这就要求船头方向（即船速的方向

5、）朝上游方向倾斜.如图46所示.或者让船速的平行于河岸方向的速度分量（）等于水速，即.本题中，即.如图47所示.图47图46问题9：船要能垂直于河岸渡河需要满足一定的前提条件吗？答：显然需满足，即船速大于水速.问题10：若船速小于水速，怎样才能使航程最短呢？答：应该使实际运动（合运动）的方向尽量靠近垂直于河岸的方向，如图4-8所示，即越小越好.怎样讨论这个问题呢？其实用矢量合成的三角形法则最好，平移矢量，使和首尾相接于点P，如图4-9所示.为了讨论何种情况下取最小，我们可以以P点为圆心，大小为半径画圆，矢量以P点为圆心转动，即表示可取的若干种可能方向，而合运动速度方向的可能性自然一目了然. 如

6、图410所示.显然当合运动速度方向与圆弧相切时取最小，即航程最短.此时，船速与上游河岸的夹角.如图411所示.图49图48图410图411*图412精例2：如图412所示，站在岸上的人通过跨过定滑轮的不可伸长的绳子拉动停在平静湖面上的小船，若人拉着自由端Q以水平速度匀速向左前进，试分析图示位置时船水平向左的运动速度v.问题1：在相同时间内，滑轮左侧绳子水平部分伸长量与滑轮右侧倾斜部分缩短量是否相等？答：由于绳子不可伸长，因此相等.问题2：绳子拴在船头的端点P沿绳子方向“缩短”的速度等于自由端Q前进的速度吗？答：由问题1，它们显然相等，即端点P沿绳子方向“缩短”的速度为.问题3：在一段时间内，自

7、由端Q前进的位移与船前进的位移相等吗？答：如图所示，小船前进到图中虚线位置，绳子拴在船头的端点P到达位置，以O为半径画圆交OP于，显然等于自由端Q前进的距离，而船前进的距离与并不相等. 如图413所示.在很小且趋于零的情况下，则.所以，在一段时间内，自由端Q前进的位移小于船前进的位移，即自由端Q前进的速度小于船前进靠岸的速度.图413问题4：如图415所示.把端点P沿绳子方向“缩短”的速度分解到水平方向和竖直方向，水平分量就是船靠岸的速度吗？图414答：不是.因为，通过问题3的分析可知，船靠岸的速度应该大于.而如果如图所示分解的话， 反而是船靠岸的速度应该小于.问题5：由于船不断靠岸，端点P不

8、断左移，使得绳子的倾斜部分发生了哪些变化呢？答：倾斜部分一方面沿绳子方向不断缩短；另一方面与竖直方向的夹角越来越小，即以O点为轴顺时针摆动.因此绳子端点从P到达的过程，可以这样来看：先沿绳子缩短到，在垂直于绳子从摆动到.问题6：绳子端点P的运动可看成哪几个运动的合成？哪个是合运动？哪些是分运动？答：岸边的观察者实际看到的端点P的运动应该是水平向左靠近岸边的运动，这就是合运动.由问题5的分析可知，这个运动可以看出沿绳子方向的收缩的分运动和垂直与绳子摆动的分运动的合成.问题7：怎样分解端点P的合运动（实际运动）呢？图415答：分解如图415所示.即：问题8：问题3中分析的结果与问题7中分析的结果一

9、致吗？答：问题3中分析到，在很小且趋于零的情况下，而 即因此问题3与问题7中分析的结果是一致的.*精例3：如图416所示，从倾角为的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为，则（ ）图416A当v1>v2时，>B当v1>v2时，<C无论v1、v2关系如何，均有=D、的关系与斜面倾角有关问题1：平抛运动一般可以怎样进行处理？答：平抛运动一般分解成两个直线运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.这样我们就把平抛运动这种

10、曲线运动变成了两个简单的直线运动的合成，处理起来变得比较简单.这就是我们常说的“变曲为直”.图418图417问题2：在研究平抛运动时我们经常会分析的角度是哪个？这样分析？答：在研究平抛运动时我们经常分析某一时刻的瞬时速度v与平抛初速度之间的夹角.关于此角度我们常常这样来处理：平抛运动的某一时刻的瞬时速度v由水平方向匀速运动的速度和竖直方向自由落体的速度合成，如图4-17所示，因此.问题3：题目中出现的小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角可能与问题2中所分析的角度有什么联系呢？答：本题中出现的小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角与问题2中所分析的v与之间的夹角并非同一角度.但是，它们之间却有确定的关

11、系即：.问题4：怎样找出与夹角有关的物理关系式呢？答：由问题3的分析可知，因此只需找出即可.而由竖直方向的自由落体运动规律：，我们应该进一步找出从抛出至达到斜面所经历的时间t.问题5：一般怎样确定平抛运动的时间呢？答：平抛运动的时间一般由下落高度来决定.即.问题6：本题中由于下落高度也不确定，怎样求出时间呢？答：我们考虑到水平分运动：.并且本题中有斜面作为“背景”，水平位移与竖直位移之间有确定的关系：，即，.如图418所示.问题7：根据上述分析可以找出与夹角有关的物理关系式了吗？答：可以.根据问题4的分析，再根据问题6的分析，所以，这说明夹角只与斜面倾角有关，与平抛初速度无关.故本题的正确答案

12、选C.问题8：本题还有其他的解决办法吗？答：此题也可把平抛运动分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向.沿斜面方向：初速度为，加速度为；垂直于斜面方向：初速度为，加速度为.这样从抛出到落回斜面，由垂直于斜面方向的分运动就能确定，.同样可以解决.如果熟练，此法在类似问题中更简洁.同学们注意领会.*图419精例4：如图419所示，在“研究平抛物体的运动”的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的、所示，则小球平抛的初速度的计算式为= （用、表示），其值是 （取=9.8m/s2），小球在点的速率是 问题1：在学生分组实验中利用平抛轨迹求平抛初速度的常用办

13、法是什么？答：知道抛出点的情况下，只需在轨迹上任找一个点，测出该点的横、纵坐标（即从抛出到此时的水平、竖直位移），利用，即可求出问题2：本题可否用问题1中的办法求解？答：不能.因为本题中并不知道平抛抛出点.问题3：本题中求平抛初速度我们首先应该考虑到如何入手呢？答：我们应该首先考虑与平抛初速度有关的水平方向的分运动，.比如，我们知道轨迹上a、b两个点的水平距离，只需再求出从a点运动到b点的时间T即可.问题4：可否利用从a点运动到b点过程中的竖直分运动来求解从a点运动到b点的时间T呢？答：不能.我们虽知道从a点运动到b点过程竖直方向的位移为，但由于a点不是抛出点，即经过a点时速度的竖直分量，是未

14、知量，因此我们没办法通过来求出时间T.问题5：怎样求解从a点运动到b点的时间T呢？答：从题目提供的数据来看，除了知道a点运动到b点过程竖直方向的位移外，我们还知道b点运动到c点过程竖直方向的位移， c点运动到d点过程竖直方向的位移.这些数据很容易让我们联想到匀变速运动的规律，而平抛运动的竖直分运动就是匀变速运动，加速度.a点运动到b点过程、b点运动到c点过程及c点运动到d点过程由于水平位移相等，因此这三段时间相等.因此有，即.问题6：能够求出平抛初速度了吗？答：可以.，代入数据得：m/s问题7：怎样求点的速率？答：点的速度由水平分速度和竖直分速度合成，即.因此只要求出竖直分速度即可.问题8：怎

15、样求出点的竖直分速度呢？答：根据问题5的分析，我们还是充分利用竖直分运动是匀变速运动这个特点，根据匀变速运动的特点，某一过程中的平均速度等于该过程中间时刻的瞬时速度（在纸带问题中求瞬时速度也常用此法）. 点是a点运动到c点过程的中间时刻，因此，点的速度为：m/s*O1图420精例5：如图420所示皮带传送装置，主动轮O1的半径为R，从动轮O2的半径为r，.其中A、B两点分别是两轮缘上的点，C点到主动轮轴心的距离，设皮带不打滑，则有：_；_；_；_；_；向心加速度_；_.问题1：皮带传送装置中两轮边缘上的点（比如A、B两点）在运动上有什么关系？答：在皮带不打滑的情况下，主动轮上的点（如A点）与从

16、动轮上的点（如B点）在相同时间内通过的弧长相等.匀速圆周运动的线速度，因此两轮轮缘上的点线速度相等.问题2：可以比较A、B两点的线速度、角速度和向心加速度了吗？答：根据问题1的分析，；而，所以；又，所以（或根据）问题3：同一轮上各点的运动情况有何特点？答：同一轮上各点都在绕同一圆心（或转轴）做匀速圆周运动，它们绕圆心运动一圈所用的时间相等，即运动周期T相同.由于，所以它们运动的角速度也相同.问题4：可以比较A、C两点的线速度、角速度和向心加速度了吗？ 答：根据问题3的分析，1:1，而，所以；又，所以（或根据）问题5：怎样比较B、C两点的线速度、角速度和向心加速度呢？答：根据前面的分析，已知道1

17、:1， 图421*精例6：如图421所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是：A.小球过最高点时，绳子张力可以为零B.小球过最高点时的最小速度是零C.小球刚好过最高点时的速度是D.小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反图422【答案】AC问题1：根据生活经验，小球要能够做完整的圆周运动通过最高点，它的速度是越大越好还是越小越好？答：应该是越大越好.问题2：如果小球能过最高点，在最高点时它的受力情况怎样？答：受力情况如图422所示，即受重力G和绳子竖直向下的拉力T.问题3：小球在最高点时受到绳子的作用力会不会向上？答：不会，因为绳子只会

18、发生拉伸形变，只能产生拉力而不会产生支持力.问题4：小球在最高点时受到的力所需满足的条件是什么？答：小球在最高点时受到的力应该提供小球在最高点时做圆周运动所需的向心力.由牛顿第二定律和圆周运动的知识有：显然，速度v越大，T越大；v越小时，T越小.问题5：根据问题4的分析，最高点时绳上拉力T可否为零？若可以为零，则需满足的条件是什么？答：可以为零，由，则：当T=0时，得问题6：根据问题5的分析，我们怎样来看待拉力T为零时的物理“涵义”？答：当最高点时，所需向心力，即重力刚好提供其所需向心力，不多也不少.若，则所需向心力大于小球所受的重力.重力不足以“维持”圆周运动了，小球有远离圆心的趋势（离心运

19、动），但有绳子存在，绳子上将产生向下的拉力，从而弥补重力的不足. 若，则所需向心力小于小球所受的重力，重力提供向心力之外还有“剩余”，小球将奔圆心而去，圆周运动不能继续（其实，这种情况小球根本到不了最高点，在到达最高点之前就做斜抛运动离开圆轨迹了）. 问题7：问题6的分析可以总结出小球能够过最高点继续做圆周运动的条件是什么？答：小球能够过最高点的临界速度（最小速度）为.问题8：本题中若把绳子换成轻杆，又怎样呢？是否也需满足的条件呢？答：跟上述分析相似，只是杆上除了可产生对小球竖直向下的拉力外，还可产生竖直向上的支持力.所以不用担心小球会中途掉下来，只要小球达到最高点时还有速度即可过最高点，临界

20、情况是速度为零时也恰好能过.上例中过最高点的条件不存在.*图423精例7：如图423所示，水平转盘（盘面垂直于纸面放置）的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直小圆筒中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的（<1）倍，则圆盘转动的角速度在什么范围内，物体A才与转盘相对静？问题1：物体A与转盘相对静止时，物体B的状态怎样？答：物体B应该保持静止状态.这就要求，绳子对物体B的拉力T与它所受重力mg平衡.即为了保证物体A与转盘相对静止，绳子上的弹力T大小始终恒定，且Tmg.问题2：如果物体A与圆盘不转动，

21、物体A与转盘能相对静止吗？答：不能. 物体A受到绳子拉力T与圆盘对它的摩擦力，摩擦力最大可达到mg，由于<1，所以T>mg.因此不可能保持静止.问题3：圆盘转动过程中物体A与转盘相对静止时，物体A的受力情况怎样？需满足什么条件？答：受力情况如图424所示，由牛顿第二定律及圆周运动的知识，要保持相对静止则Tmg.所以，角速度越小，物体A向圆心靠近的趋势越大，摩擦力越大.问题4：角速度最小可达到多少？答：由，当转盘角速度很小时，A将要沿盘向圆心滑动时，A所受的静摩擦力达到最大值且背离圆心， 可得.再小就不能保持相对静止.问题5：上述分析完善吗？如果角速度特别大呢？答：不完善.如果角速度

22、很大，所需向心力很大，大于绳子上的拉力Tmg.此时物体A有背离圆心而去的趋势，静摩擦力将改变方向变为指向圆心方向，与拉力一起提供所需向心力，如图425所示.显然，角速度越大，静摩擦力越大.问题6：角速度最小可达到多少？ 答：由，当转盘角速度很大时，A将要沿盘向外滑时，A所受的静摩擦力达到最大值且指向圆心，有：问题7：可以总结出角速度需满足的条件了吗？答：所以要使物体与盘相对静止随盘转动，圆盘转动的角速度应满足：图424图425问题8：本题中若没有摩擦力，结果如何？若没有物体B，结果又如何？答：若没有摩擦力，则，有若没有挂物体B，则，而，有*图426精例8：如图426所示，A、B、C三个物体放在

23、旋转圆台上，动摩擦因素均为，A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴R，C离轴2R，则当三个物体随圆台旋转时：（设A、B、C都没有滑动）AC物的向心加速度最大；BB物的静摩擦力最小；C当圆台转速增加时，C比A先滑动；D当圆台转速增加时，B比A先滑动。答案：ABC问题1：A、B、C三个物体随圆盘做匀速圆周运动时，其运动参量有何关系？答：三者角速度或者周期相同.问题2：A、B、C三个物体随圆盘做匀速圆周运动的向心加速度有何关系？答：由，且A、B离轴R，C离轴2R，知.问题3：物体随圆盘做匀速圆周运动时，物体与圆盘接触处是否发生摩擦？答：物体做匀速圆周运动必定需要外力提供向心力，而物体与圆盘的接

24、触面上发生的力只可能是摩擦力，所以摩擦力必定发生.由于没有相对滑动，因此是静摩擦力.问题4：物体随圆盘做匀速圆周运动时，所受静摩擦力的方向与物体线速度方向在同一直线上吗？答：不是.物体绕轴做匀速圆周运动的线速度与圆盘上接触处的线速度相同，并且一直保持恒定，因此在线速度方向上没有相对滑动的趋势，没有摩擦力发生.也可以这样来考虑：如果物体在线速度方向受到摩擦力，则物体的速率就会发生变化，就不是匀速圆周运动了.问题5：物体随圆盘做匀速圆周运动时，所受静摩擦力的方向应该在什么方向上？答：物体有背离圆心滑动的趋势，受到的静摩擦力指向圆心.即静摩擦力全部提供物体所需向心力.问题6：A、B、C三个物体随圆盘

25、做匀速圆周运动时，所受静摩擦力的大小关系怎样？答：由于，且A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴R，C离轴2R，可知.问题7：A、B、C三个物体与圆盘间最大静摩擦力的大小关系怎样？答：由于，且动摩擦因素均为，A的质量为2m，B、C质量均为m，所以，问题8：当圆盘转速增大时，A、B、C三个物体中哪个物体受到的静摩擦力先达到最大？答：根据问题6、7的分析，显然C受到的静摩擦力先达到最大，之后A和B物体同时达到最大.因此转速增大后，C物体最先滑动，之后A物体和B物体同时滑动.*精例9：假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（）A.根据公式v=r，可知卫星运动

26、的线速度将增大到原来的2倍B.根据公式F=m，可知卫星所需的向心力将减小到原来的C.根据公式F=G，可知地球提供的向心力将减小到原来的D.根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的/2答案：CD问题1：人造卫星在绕地球做匀速圆周运动时，所需向心力有什么力提供？答：由地球施加给它的万有引力提供.问题2：在不同高度圆轨道上绕地球运行的卫星，其角速度相同吗？答：虽然，不同轨道的卫星都绕同一圆心在做匀速圆周运动，但其角速度是不同的.因为根据万有引力提供向心力有F=G，.因此半径越大，角速度越小.问题3：人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍后，能否根据公式v=r判断卫星运动的线速度

27、将增大到原来的2倍？答：不能.根据问题2的分析可知，半径增大后角速度减小了，因此上述判断是错的.问题4：人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍后，其线速度怎样变化呢？答：根据万有引力提供向心力有F=G，.可知半径越大，线速度越小.具体来说半径增大两倍，线速度变成原来的.问题5：能否根据公式F=m，判断卫星所需的向心力将减小到原来的答：不能.因为虽然半径增大为原来的两倍，但线速度也减小了.问题6：怎样判断向心力的变化最简单？答：紧紧抓住万有引力提供向心力，即G，半径增大两倍，向心力减小到原来的.*图427精例10：如图427所示，正在圆轨道上运行的宇宙空间站A，为了与比它轨道更高的空间站B对接，

28、必须改变自己的轨道，它可以采用喷气的方法改变速度，从而达到改变轨道的目的.则以下说法正确的是：A. 它应沿运行速度方向喷气，与B对接后周期变小B. 它应沿运行速度方向喷气，与B对接后周期变大C. 它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后周期变小D. 它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后周期变大答案：D问题1：宇宙空间站A与空间站B相比，哪个的运行的线速度大？答：根据万有引力提供向心力有F=G，.可知半径越大，线速度越小.即宇宙空间站A的线速度比空间站B大.问题2：根据问题1的分析，宇宙空间站A为了与比它轨道更高的空间站B对接是否应该先把速度降低到与空间站B相同呢？答：不行.因为，根据万有引力提

29、供向心力有F=G，如果减小速度v，则使宇宙空间站A所需向心力变小，而所在处万有引力F=G并没有改变，这样就造成宇宙空间站A受到的万有引力大于其所需的向心力，因此空间站将往靠近地球的更低轨道运动，而不是往更高轨道.问题3：那么要往高轨道变轨，应该怎样办呢？答：应该先让宇宙空间站A加速，使其所需向心力大于所在处受到的万有引力，因此空间站将做离心运动，从而往高轨道变轨.问题4：根据问题1的分析，原来宇宙空间站A的线速度就比空间站B大，现在还要对其加速，岂不是大得更多了.但变到空间站B所在轨道后，应该跟空间站B运行的线速度相同，这岂不是矛盾了吗？图428答：不矛盾.虽然我们对宇宙空间站A进行了加速，但

30、在它从低轨道往高轨道变的过程中，万有引力一直在阻碍它运动（万有引力与速度夹角大于900，如图428所示），使它减速，当它运行到空间站B所在轨道处时，已减速到跟空间站B运行的线速度相同.*精例11：2005年10月12日，我国自行研制的“神州六号”载人飞船成功升空，并于10月17日顺利返回“神六”的发射及运行可简化为：先由运载火箭将飞船送入椭圆轨道，然后在椭圆轨道的远点B实施变轨，进入预定轨道，如图4-29所示若椭圆轨道近地点A贴近地面，卫星的预定轨道可视为圆周轨道，运行周期约90分钟设卫星在A点速度为v1，在B点变轨前速度为v2，变轨后速度为v3，若第一宇宙速度为v0，则以下关系正确的是图42

31、9Av1v0 Bv0v2 Cv1v3 Dv2v3答案： D问题1：什么是第一宇宙速度，怎样求第一宇宙速度？答：第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，其值等于近地圆轨道上运行的卫星的线速度.由根据万有引力提供向心力有F=G，其中R指地球半径.另外，由于贴近地面飞行，重力跟万有引力近似相等，F=G，问题2：本题中椭圆轨道近地点A贴近地面，卫星经过该位置时的速度v1与第一宇宙速度v0相等吗？答：不相同. 椭圆轨道从近地点A向远地点B运行的过程中，离地球越来越远，所以椭圆轨道近地点A时的速度v1大于第一宇宙速度.问题3：本题中预定轨道上运行的速度为v3与第一宇宙速度v0大小

32、关系如何？答：预定轨道显然比近地轨道半径大，因此其环绕速度小于第一宇宙速度v0.问题4：本题中椭圆轨道上近地点A速度 v1与远地点B的速度v2哪个大？答：显然近地点速度v1大.问题5：本题中如何比较变轨前速度v2与变轨后速度v3？答：在椭圆轨道远地点B需对卫星加速才能变到预定圆轨道，因此v2小于变轨后速度v3.问题6：能否比较椭圆轨道经过远地点B和在预定圆轨道运行经过B时的加速度？答：虽然轨道不同，但卫星在B点受到的力只有万有引力，根据牛顿第二定律，F=G，因此加速度是相同的.*精例12：地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为1

33、；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为3.地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等.则（）A.F1=F2F3B.a1=a2=ga3C.v1=v2=vv3D.1=32答案：D问题1：地球同步卫星角速度3与地球自转速度1有何关系？答：它们相等，即1=3.问题2：绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星角速度2与地球同步卫星角速度3有何关系？答：根据万有引力提供向心力有F=G，可知，32.结合问题1，有：1=32问题3：本题中如何比较v1与v2、v1与v3的

34、关系？答：由，而12，类似地，1=3，问题4：本题中如何比较v2与v3的关系？答：根据万有引力提供向心力有F=G，.显然对于近地卫星与同步卫星，.综合问题3、4的分析，则问题5：本题中如何比较v2及第一宇宙速度v的关系？答：v2=v. 综合问题3、4、5的分析，则v1< v3< v2=v.问题6：本题中如何比较a1、a2、a3、g间的关系？答：首先F=G，有 ；又，由问题2和问题5：1=32，v1< v3< v2.可得.问题7：本题中如何比较F1、F2及F3的关系？答：由，由于三者质量相等，且，问题8：本题中在比较向心力、向心加速度大小关系时，还有其他办法吗？答：还有其

35、他办法，比如从向心力的来源比较.我们知道，对于随地球自转的物体，其做圆周运动的向心力F1是万有引力与地面支持力的合力或者说只是万有引力的一个极小的分力；对于近地卫星，其向心力F2就是地球对它的万有引力，所以.至于同步卫星其向心力F3也是地球万有引力，但它的半径更大，所以.那么，F1与F3的关系怎么比较呢？由，又知1=3，比较清楚向心力的关系后，本题中向心加速度的大小关系跟向心力的大小关系一致.2规律总结 （1） 在精例1中涉及船渡河的问题时，分下列两大类情况：其一、若要渡河时间最短，则船头应正对河岸航行；其二、若要渡河航程最短，则又分两种情况：若>，则能够使合速度垂直于河岸，即可垂直渡河

36、，最短航程就是河岸宽度，船速与上游河岸的夹角；若<， 应该使实际运动（合运动）的方向尽量靠近垂直于河岸的方向，船速与上游河岸的夹角（2）在精例2中绳拉船或其他相似情形中，分解速度时关键首先确定哪个运动是合运动，即观察者实际观察到的运动；其次，一般把合运动分解到沿绳子方向和垂直于绳子方向.（3）平抛运动问题，一般把平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.根据平抛轨迹求平抛初速度的问题，一般有下列几种情况：已知平抛抛出点位置及水平、竖直方向，只需在轨迹上找到一个点，测出其横、纵坐标值x、y，即知道其水平、竖直位移.然后，根据，得图430记下了重锤线轴的方向，但忘了记下平

37、抛抛出点（只知道平抛抛出点在轴上），如图430所示，现在曲线上取、两点量出它们到轴的距离为，以及的竖直距离，用这些也可以求得小球平抛时的初速度.具体操作如下：设抛出点到点的距离为，故在从抛出点到点的过程中：从抛出点到点的过程中： 联立上式求解得：不知道抛出点，只知道水平方向或竖直方向，不知道轴的具体位置. 这种情况参考精例4.（4）在精例5中，类似问题中把握住固定在同一转轴上转动的物体其角速度相等；用皮带传动、铰链传动、齿轮咬合都满足边缘线速度大小相等.（5）在精例6中，总结竖直平面内圆周运动过最高点的临界问题如下：没有支承物的物体（如绳子拴住的物体）在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：当，

38、即时，物体恰好能过最高点，这就是过最高点的临界条件.当，即时，物体能过最高点，此时，绳子对物体的拉力竖直向下.当，即时，物体不能过最高点相似的情况还有：物体在竖直放置的圆轨道内侧运动，过最高点的情形.有支承物的物体（如杆拴住的物体）在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：当时，所需向心力，支持力等于重力，这就是过最高点的临界条件.当，即时，物体能过最高点，此时支承物对物体既无拉力也无支持力.当，即时，支承物对物体产生拉力.当，即时，支承物对物体产生支持力.相似的情形还有：小球在竖直放置的光滑圆管道中运动过最高点.（6）在卫星问题中，注意区分几类情况：其一、区分环绕（稳定运行）问题和变轨问题：对环

39、绕问题，紧紧把握住万有引力提供向心力，再利用匀速圆周运动的各运动规律即可.对变轨物体，若想从低轨道变到高轨道，需先加速；反之，从高轨道变到低轨道，需先减速.其二、区分卫星和地面上的物体：对卫星，其向心力有万有引力提供；对地面上的物体，其随地球做圆周运动的向心力只是万有引力的一个极小的分力.3自主训练训练1：小船在=200m宽的河中横渡，水流速度是5m/s，船在静水中的航行速度为3m/s，求：要使小船航程最短，应该如何航行？问题1：本题中要航程最短时，能否达到垂直于河岸航行？问题2：怎样才能使航程最短呢？问题3：具体怎样操作？训练2：一条河流宽为，水流速度为，一只船要划到对岸，但在船出发点下游处

40、有瀑布，求船要划到对岸而不从瀑布掉下，船划行速度至少多大？船头指向何方？问题1：怎样才能划到对岸而不从瀑布掉下？问题2：如果合速度的方向刚好在出发点与瀑布处连线上，那么船划行速度方向怎样才能取最小值？问题3：船要划到对岸而不从瀑布掉下，船划行速度至少多大？船头指向何方？图431训练3：如图431所示，在不计滑轮摩擦和绳子重力的条件下，当小车匀速向右运动时，物体的受力情况是（ ）A.绳的拉力大于的重力B.绳的拉力等于的重力C.绳的拉力小于的重力D.拉力先大于重力，后变为小于重力问题1：物体受到哪些力作用？问题2：物体受到的重力、拉力的大小关系跟什么有关？问题3：怎样判断物体的运动情况？问题4：比

41、较物体A受到绳子拉力与其自身重力的大小 图432训练4：如图432所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd，从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b点，若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的A.b与c之间某一点 B.c点 C. c与d之间某一点 D.d点图433问题1：假设没有斜面，过斜面上b点做一条水平线，如图433所示则小球以速度v抛出后落在该水平线上何处？问题2：假设没有斜面，过斜面上b点做一条水平线，小球以速度2v抛出后落在该水平线上何处？问题3：小球以速度2v抛出后在该水平线上的落点，与原斜面上的c点在位置上有何关系？问题4：根据

42、上述分析，小球以速度2v抛出后的抛物线轨迹与斜面的交点在何处？图434训练5：如图434所示是某同学在一次实验中得到的平抛运动途中的几个位置A、B、C的情况，坐标纸上每个小方格的边长均为5cm，如果取g=10m/s2，那么，小球平抛运动的初速度大小是：_m/s，小球经过B点时的速度大小是_m/s.问题1：从各点的情况来看，A、B之间与B、C之间在水平方向的距离相等吗？说明什么问题？问题2： A、B之间与B、C之间竖直方向上的位移满足什么关系？可以得到什么？问题3：根据问题2的结果，可以求出平抛初速度了吗?问题4：怎样求经过B点时的速度？图435训练6：如图435所示皮带传送装置，主动轮O1的半

43、径为R，从动轮O2的半径为r，.其中A、B两点分别是两轮缘上的点，C点到主动轮轴心的距离，设皮带不打滑，则这三点的向心加速度关系是：A.B.C.D.请同学们按上述设问方式逐步求解图436训练7：如图436所示为测定子弹速度的装置，两个纸板圆盘分别装在一个迅速转动的轴上，两盘平行，若它们以n=3600r/min旋转，子弹以垂直于盘面水平方向射来，先打穿第一个圆盘，再打穿第二个圆盘，测得两盘相距d=1m，两盘上子弹穿过的半径夹角为150，则子弹的速度的最大值为多少？问题1：本题中涉及到几个不同的运动？问题2：本题中从子弹打穿第一个圆盘到打穿第二个圆盘的时间t内，圆盘转动了多少角度？是不是150？问

44、题3：问题2中的时间t怎样求出？是惟一的解吗？问题4：求出时间t后怎样求子弹速度？问题5：何种情况子弹的速度最大？图437训练8：物体m用线通过光滑的水平板间小孔与砝码M相连，并且正在做匀速圆周运动，如图437所示，如果减少M的质量，则物体m的轨道半径r，角速度，线速度v的大小变化情况是：A. r不变，v变小B. r增大，减小C. r减小，v不变D. r减小，不变问题1：减少M的质量后物体m还能在原轨道上继续运动吗？将做什么运动？问题2：重新稳定后可以根据向心力的算式来判断角速度的变化吗？问题3：重新稳定后可以根据向心力的算式来判断线速度v的变化吗？问题4：物体m在半径增大的过程中，拉力方向与

45、速度方向的夹角如何？说明了什么？图438训练9：如图438所示，一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）.在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）.A球的质量为m1，B球的质量为m2，它们沿环形圆管顺时针运动，设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若此时A球的速度，B球的速度，且此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2的比值应为多少？问题1：该题中的管道与哪些模型可以等效？问题2：该题中B球在最高点的速度，说明管道对B球的弹力如何？ 问题3：A球的在最低点受到的管道对它的弹力方向如何？A球对管道的弹力方向如何？问题4：如何确定m1、m2的

46、比值？图439训练10：半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体m，如图439所示，今给小物体一个水平初速度v0=，则物体将：A.沿球面滑至M点 B.先沿球面滑至某点N再离开球面做斜下抛运动C.按半径大于R的新圆弧轨道运动 D.立即离开半圆球作平抛运动请同学们按上述设问方式逐步求解训练11：2.一个宇航员在半径为R的星球上以初速度v0竖直上抛一物体，经t s后物体落回宇航员手中，为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面，抛出时的速度至少为（）A.B.C.D.问题1：为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面是何涵义？其抛出时的最小速度又是什么意思？问题2：求此最小速度需要知道什么？

47、问题3：怎样求出该星球表面处的重力加速度？问题4：求抛出时需要速度的最小值训练12：设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比（）A.地球与月球间的万有引力将变大B.地球与月球间的万有引力将变小C.月球绕地球运动的周期将变长D.月球绕地球运动的周期将变短请同学们按上述设问方式逐步求解训练13：某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从慢慢变到，用、分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则 A. B. C. D. 请同学们按上述设问方式逐步求解训练14：地球半

48、径为R，地面重力加速度为g，地球自转周期为T，地球同步卫星离地高度为h.则地球同步卫星的线速度大小为（）A.B.C.2（R+h）/T D. 请同学们按上述设问方式逐步求解三、资料卡片关于卫星的一些拓展知识：卫星在浩瀚的太空中运行，有其一定的轨道，但轨道形式有多种，按轨道形状分有圆形轨道、准圆形轨道和椭圆形轨道；按轨道面与地球赤道面的夹角大小分有零倾角轨道（卫星在地球赤道上空运行）、倾角轨道和极地轨道（卫星围绕地球两极运行，其轨道面与赤道面构成90°）；按卫星离地球的高度分（泛指圆形轨道）有低轨道（一般在10005000km之间，绕地球一周约需24小时），中轨道（一般在50002000

49、0km之间，绕地球一周约需412小时）和高轨道（一般在2000036000km之间，绕地球一周约需1224小时）。目前，在各种轨道上运行的卫星种类繁多，有用于探测地球资源的资源卫星，有用于获取气象信息的气象卫星，有用于提供基准定位的导航卫星，有用于科学研究的科研卫星，有用于搜集军事情报的侦察卫星，有用于传送电话或电视的通信卫星等，不同用途的卫星大多有不同的运行轨道。什么叫同步轨道卫星，所谓同步轨道卫星是指：卫星距离地球的高度约为36000 km，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为圆形、运行周期与地球自转一周的时间相等，即24小时。利用同步轨道卫星进行通信的方式便叫同步轨道卫

50、星通信。当同步轨道卫星轨道面的倾角为零度，即卫星在地球赤道上空运行时，由于运行方向与地球自转方向相同，运行周期又与地球同步，因此，人们从地球上仰望卫星，仿佛悬挂在太空静止不动，所以，把零倾角的同步轨道称作静止轨道，在静止轨道上运行的卫星称作静止卫星。我们在中学阶段所说的同步卫星其实就是指该种卫星.零倾角的静止卫星上的天线所辐射的电波，对地球的覆盖区域基本是稳定的，在这个覆盖区内，任何地球站之间可以实现24小时不间断通信。不过，一颗静止卫星只能覆盖地球21370万平方公里，仅占地球总面积的40%，尚有60%的地区不在其覆盖范围内，无法进行通信，一般地说，配置三颗静止卫星即可基本解决全球通信问题，

51、目前，在太平洋、大西洋和印度洋上空各有一颗国际通信卫星组织的静止卫星在运行，提供全球通信使用。但是，静止卫星无法覆盖地球的高纬度地区，实践证明，在纬度在7075°的地区，通信已经困难，超过75°的地区根本无法通信。例： 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内.若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬=40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c.试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）.解：设m为卫星

52、质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，w为卫星绕地转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有：式中G为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度与地球自转的角速度相等，有图440因 得设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图444所示，由余弦定理所求时间为由以上各式得参考答案：专题一FFOab1（1）斜向左上方与水平方向成45°夹角；（2）竖直方向；（3）可以；（4）如图所示2（1）向左；（2）向左；（3）先受向左的摩擦力作用，至速度等于v传后不受摩擦力作用；（4）不受摩擦力作用；（5）一直向右或先向右之后不受摩擦力作用3（1）始终处于平衡状态，其合力始终为零；（2）静摩擦；（3）越

53、大，是；（4）摩擦力刚好达到最大静摩擦；（5）略；（6）；（7）Dmax4（1）没有；（2）压缩，；（3）（mamb）g；（4）mcgK2x；（5）拉伸、压缩、自然伸长都有可能；（6）；（7）取a、b作为整体进行分析5（1）是；（2）略；（3）是；（4）6N；7C87N专题二1（1） （2） （3） （4） （5）2（1） （2）说明物体开始匀减速运动 （3）， （4）3s时反向，3m （5）7m，3（1）A点表示物体达到加速运动的最大速度，B点表示减速到零，C点表示物体反向下落到 （2）， （3） （4）45s 4（1）A作加速度为零的匀加速运动，B由于初速方向与加速度方向未知，无法确定运动

54、状态，需讨论 （2），不能，不能，可以 （3）如图所示 （4）当时，A、B距离增大，当时，A、B距离增大，当时，距离先增大后减小 （5）当时，可以；当时，不能；当时，不能 （6）如图所示 （7）当时，A、B距离先增大后减小，当时，A、B距离增大，当时，距离增大5（1）9节 （2）5节 （3） （4）0.52s6（1）， （2）该段时间中点的瞬时速度 （3）2s， （4） （5）4.5s （6）9s 7（1）5s （2）10段，1:3:5奇数比 （3）1.5s （4）4s，80m （5）3s，45m （6）35m （7）可以，因为各段小球的间距之比为奇数比，又第一段，第三个小球与第五个小球之间的距离为8（1）2种，A上升时与下落时 （2）2s （3）1s， （4）3s （5）28.3m/s9（1）6颗 （