证明微积分基本公式

1、定义(定积分)设函数f(x)是定义在闭区间a, b上的连续函数，用n + 1个分点a = X0 < X1 < X2 < < Xn -1 < Xn = b把闭区间a，b划分成n个小区间X0,X1, X1,X2, ，Xi-1,Xi, ，XnT,Xn记各小区间Xi T,刈(i = 1 , 2,，n)的长度为AXi = X - Xi -1,在各小区间Xi T,刈内任取 一点E，取函数值f(&)与小区间长度AXi的乘积f(&) Ai,作和式nf ( i ) AXif( 1)AX1f( 2)AX2f( i) AXif ( n) AXni 1称为函数f(x)在区

2、间a, b上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max Ax，如果对于区间 a, b任意的划分和点E在xi -1,刈上的任意取法，当d - 0时，积分和的极限存在，贝U称此 极限为函数f(x)在区间a, b上的定积分，简称积分，记为ba f(x)dxnlimf (Xi) AXid 0i 1其中为积分号，a, b称为积分区间，f(x)称为被积函数，x称为积分变量，a称为积分下限,b称为积分上限。如果函数f(x)在区间a, b上的积分存在，则称f(x)在a, b上可积 上述定义中的积分限要求a < b,实际上这个限制可以解除，补充两条规定：a(1) 当 a = b 时，规定 f(x)dx

3、 0 ；aba(2) 当 a > b 时，规定 f (x)dx f (x)dx。ab可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。定理1 (可积的必要条件)如果函数f(x)在闭区间a, b上的可积，贝U f(x)在a, b上有界。定理2 (可积的充分条件)1 如果函数f(x)在闭区间a, b上的连续，贝U f(x)在a, b上可积。2.如果函数f(x)在闭区间a, b上的单调，贝U f(x)在a, b上可积。3如果在闭区间a, b内除去有限个不连续点外，函数f(x)有界，则f(x)在a, b上可积。 引理(微分中值定理)设函数f(x)在闭区间a, b内连续，在开区间(

4、a, b)内可导，则至少存在一点E (a, b),成 立等式f(b) - f(a) = f( E(b - a) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。设函数f(x)在闭区间a, b内连续，则可以证明f(x)在a,b上可积，于是存在新的函数F(x), 成立微分关系F'(x) = f(x)或dF(x) = f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。试利用微分中值定理 和定积分的定义证明微积分基本公式f (x)dxF(x)F(b) F(a)这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式 证明：因为f(x)在a，b上可积，f(x)的原函数F(x)存在，即F'(x) = f(x)，又

5、因为可导函数必定连续， 所以F(x)在a，b内连续，因此F(x)在a，b内满足微分中值定理的条件。对于定义中区间a，b任意的划分，在各小区间Xi -1，x (i = 1，2,，n) 上，函数F(x) 也满足微分中值定理的条件，于是必定存在& xi T，Xi，成立等式F(xi) - F(xi -1) = F'(f)(x - xi -1)即F (xi) - F(xi - 1 ) = f( zx对于每一个小区间xi-1, xi (i = 1, 2,，n),以上等式都成立，将各个小区间内的上述 等式左右两边分别相加，可以得到F(x1) - F(xo) + F(x2) - F(x1) +

6、 + F(xi) - F(xi t) + + F(xn -1) - F(xn -2) + F(xn) - F(xn t)=f( gl) Z1 + f( J) Z2 + + f( g) Zi + + f(旨 T) Zn T + f(旨)Zn即nF(xn) F(xo)f ( i )Axii 1令d = max Axi 0,以上等式两边分别取极限nd叫F(Xn) F(xo) dim0f( i)Axid 0d 0 .i 1等式的左边F(xn) - F(xo) = F(b) - F(a)是常数，极限显然存在dimJF(Xn) F(xo) F(b) F(a)d 0等式的右边正是积分和的极限，因为 定义，f(x)在a，b上的定积分存在,于是就得到f(x)在a, b上可积，所以此极限存在，于是根据定积分的mHddinbf(xj Axif(x)dxaf (x)dx F(b) F(a)这就是微积分基本公式，表明了定积分与原函数之间的联系。习惯上将F(b) - F(a)简写成F(x)：，于是微积分基本公式可以写成f (x