2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破：考点9幂函数

1、v1.0可编辑可修改考点九哥函数知识梳理1 .募函数的概念如果一个函数，底数是自变量X,指数是常量a,即y=x"，这样的函数称为募函数.注意区分募函数与指数函数：哥函数的一般形式是y=x",募函数中自变量X处在底数位置，哥指数为常数；指数函数的一般形式是y=ax,指数函数中自变量x处在指数位置，底数为常数.2 .五个简单塞函数的图象和性质(1)图象比较(2)性质比较寺征性质y=x2y=x3y=xy=一1y=x定义域RRR0,+8)x|xCR且xw0值域R0,+2R0,+8)y|yer且yw0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增xe0,+8)时，增；xe(8,0

2、时，减增增xC(0,+oo)时，减；xC(8,0)时，减典例剖析题型一哥函数的概念例1下列函数中是募函数的是.2X-y3.解析根据哥函数的定义y=x"，”是常数，得出y=x是哥函数，y=2x、y=2x、y=：不是募函数.变式训练下列函数：y=x2+1;-;y=2x2;-二；-+一其中募函数是.答案解析根据哥函数的定义y=x"，a是常数，得出是哥函数，例2已知募函数f(x)的图象经过(9,3),则f(2)f(1)=.答案/-1解析设备函数f(x)=xa,它的图象经过(9,3),所以3=9a,a=.,哥函数为f(x)=J,"1具I所以f(2)f(1)=V21变式训练函

3、数y=(n2n+1)产北-是哥函数，且f(x)=f(x),则实数m的值为.答案1解析因为函数y=(nmn+1)J'北是哥函数，2所以mn+1=1,解得m=1或m=0.因为f(x)=f(x),所以函数是偶函数，当n0时，哥函数为y=x3.函数表示奇函数，当m=1时y=x4.函数是偶函数.解题要点(1)募函数的形式是y=x"(aCR),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.（2）若募函数y=x"（aCR）是偶函数，则a必为偶数.当a是分数时，一般将其先化为根式，再判断.题型二哥函数的图象例3下图给出4个哥函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）答案丫:/

4、,=/=:y=）ty1解析图说明函数定义域为R,有一：_2,且观察图象可知图为y=X2,则图为又图中函数定义域为0+8）,所以其对应“一J,综上可知：/口/丫=/-丫=其二V-x变式训练下列命题中正确的是. 哥函数的图象一定过点（0,0）和点（1,1） 若函数f（x）=xn是奇函数，则它在定义域上单调递增哥函数的图象上的点一定不在第四象限哥函数的图象不可能是直线答案,.一,_.11.，.,.、,.一一.解析帚函数y=x的图象不过点（0,0）,匕在（8,0）,（0,+8）上单倜递减，于是，都不正确.募函数y=x的图象是直线，不正确.当x>0时，f（x）=x">0必成立，所以

5、，哥函数的图象上的点一定不在第四象限，答案为.解题要点若募函数y=x"在（0,十°°）上单调递增，则a>0,若在（0,+8）上单调递减，则a<0.熟记5个简单募函数的图象是解题的关键.题型三哥函数有关的大小比较问题J土例4已知旨=凯b=*k盗,则a,b,c从小到大用号排列为答案g目b解析因为哥函数】在(0+8)单调递增，且2/3,所以&】，即日b.又、)=/，3&穹4学一&0，又因为对数函数尸|加工在9,+3)|单调递减，所以曰=&>()=1>0'G=SgSg?1=。'因此G%H；b答案a&g

6、t;c>b解析因为在£口，*8)上是增函数，所以3*又因为/X在g,+8)上是减函y=*Y=g数，所以卜>b.解题要点同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性.同指数的两个数比较大小，考虑用募函数的单调性：若指数大于0,对应的募函数在，+g)|上是增函数；若指数小于0,对应的哥函数在|0,斗g)上是减函数.若指数和底数都不相同，则可借助中间值0或1比较.当堂练习1 .已知哥函数y=f(x)的图象过(4,2)点，则f(；)=.答案4解析:已知哥函数y=x"的图象过点(4,2),则4"=2,a=?,故函数的解析式为丫="*)=算；，通=0=

7、?.2 .当xC(0,+8)时，哥函数v=(mi-mv1)x5m3为减函数，则实数m的值为答案m2解析因为函数y=(m2-mv1)x-53既是哥函数又是(0,+川的减函数，-m-1=1所以5m-3<0解得：m»=2.532.23223.设a=55,b=55,c=55,则a,b,c的大小关系是.答案a>c>b2解析y=x5(x>0)为增函数，a>c.2xy=-(xCR)为减函数，c>b,，a>c>b.54.已知哥函数f(x)=x"的图象经过点2,乎，则f(4)的值为答案2八一，一1%、一5.若哥函数的图象过点(2,R,则它的单调

8、递增区间是.答案(一巴0),一一一a一.1a2解析设y=x,则4=2,a=-2,.y=x.课后作业一、填空题1 .在函数y=>，y=2x2,y=x2+x,y=i中，哥函数的个数是.答案1解析哥函数的定义是“形如y=x"，aCR的函数，叫做哥函数”，在函数y=y=2x2,y=x2+x,y=1中，只有一个y=x2符合定义，是哥函数；2 .已知哥函数f(x)=xm的图象经过点(4,2),则f(16)=答案4解析由于知哥函数f(x)=xm的图象经过点(4,2),则有4m=2,解得m=，故f(16)=/=4.3 .若函数f(x)=(2ni+3).3是哥函数，则m的值为.答案1解析加,3)

9、”3是募函数，-2n+3=1,m=1.4.已知哥函数y=f(x)的图象过(36,6),则此函数的解析式是答案解析 设备函数y=f(x)=x",由于它的图象过(36, 6),故有36"=6, a =2 ,故此函数的解析式解析对，没有帚函数的图象，不符合题目要求；对，(4'0)中a1,g：工)=Eg日”中0日1,不符合题意；对，f&)=：，(反0)中0a1*g(x)=Iogi中白1,不符合题意；对，干)7a0)中0(石1,屋0=1。旦门中0旧1，符合题意1o.i16 .设3=1。£3,b=C#,c=21,则以人心的大小关系是.答案,解析由函数的性质得到

10、3=陷3 <。+ b='"£ 1) . c = £ > 1 所以'a<b<c7 .已知哥函数y=f(x)的图象过点(；，。)，则log4f(2)的值为答案解析由设f(x)=xa,图象过点(迪7), (2)=，解得a=2,一c、,1 log4f(2)=log士2T8 .对于募函数f(x)=x"(a是有理数)给出以下三个命题:存在图象关于原点中心对称的募函数；存在图象关于y轴轴对称的募函数;存在图象与直线y=x不重合，但关于直线y=x对称的募函数.其中真命题的是.答案解析哥函数y=x3是奇函数，所以，结论正确；哥函数y

11、=x2是偶函数，所以，结论正确；哥函数y=的图象关于直线y=x对称，所以，结论正确.9 .下列函数(1)y=x3,(2)y=x2,(3)y=,(4),在(巴0)上是增函数的是.答案(1)解析由哥函数的图象和性质得是奇函数，在(8,0)上递增.(2)是偶函数，在(一8,0)上递减.(3)奇函数，在(8,0)上递减.(4)在(一8,0)上无意义，故区间(一8,0)不是函数的单调区间.故答案是.10 .函数f(x)=xn+1恒过一个定点，这个定点坐标是.答案(1,2)解析由于函数y=xn恒过一个定点(1,1),故函数f(x)=xn+1恒过一个定点(1,2),故答案为(1,2).11 .比较大小(填“

12、V"或):2口事II05媳0；(2)(一无)3(-3)3.答案(1)(2)V一一一,一一一，一、一，21_.2oS105解析(1)因为备函数y=在区间0,+8)上是增函数，又所以e卬；(2)因为募函数y=x3在区间(一8,+OO)上是增函数，又兀V3,所以(一兀)3V(3)3.二、解答题12 .比较大小:1,5 1,77；(2)( -3, (-3；TT,2解析(1).y=x1在0,+°°)上是增函数，,15<(2) y=x3在R上是增函数，一>,(-3>(-3；(3) ,.y=x1在(0,+8)上是减函数，<,.1>1y=是增函数，1>2,t>-2.综上，T>T>-2.Pi13.已知哥函数f(x)=x"的图象经过点A(»谊).求实数a的值；(2)求证：f(x)在区间(0,+00)内是减函数.解析(1)解：:f(x)=x"的图象经过点遍W),，()"