数值分析应用举例

1、数值分析综合举例一、名词解释1、模型误差：从复杂的实际问题中抽象出数学模型,需要忽略某些次要因素,这种近似产生的误差叫做模型误差；2、相对误差限：绝对误差与精确值之比，即，称为的相对误差。若存在使，则称为相对误差限；3、有效数字：若近似数的绝对误差限小于某一数位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有位，则称该近似数有位有效数字；4、矩阵的条件数：设为可逆矩阵，则称为矩阵的条件数，记为Cond(A)； 5、迭代法的局部收敛：设为在区间上的的一个不动点，若存在的一个邻域，对任意的，相应的迭代格式产生的序列，且收敛于，则称迭代法的局部收敛；6、插值型求积公式：若求积公式中的求积系数是由插值公式

2、确定的，则称该求积公式为插值型求积公式；7、代数精度：若求积公式对于任意不高于次的多项式准确成立，而对却不能准确成立，则称该求积公式的代数精度为8、数值解的局部截断误差：设，且是由某近似公式算出的近似值，则称为数值解公式的局部截断误差。二、填空题1、数和分别作为 的近似值有 4 ， 6 位有效数字；2、已知 ,则 = 2 ,Cond= 2 .三、基本计算题1、已知变量的一组数据对点如下1.001.251.501.752.005.105.796.537.458.46试求关于以上数据的形如的拟合曲线.解:由y=be两边取对数，可化为：lny(x)=lnb+ax.取=span1,x,计算可得： 5l

3、nb+7.5a=9.404， 7.5lnb+11.875a=14.422解之，有lnb1.122,a0.5056,于是有lny(x) 1.122+0.5056x.从而有y(x) 13.071e。2、已知变量的一组数据对点如下1234567891.782.242.743.744.455.316.928.8510.97试求关于以上数据的形如的拟合曲线.解:由y=be两边取对数，可化为：lny(x)=lnb+ax.取=span1,x,计算可得：9lnb+45a=13.383， 45lnb+285a=80.513解之，有lnb0.352,a0.2266,于是有lny(x) 0.352+0.2266x.

4、从而有y(x) 1.422e 3、已知一个三次方程为，试在1.5附近讨论根的存在惟一性，并构造一种收敛的迭代格式，计算该方程在1.5附近的一个根(). 解：格式1: （x）=（）取x=1.5，用以上2种格式计算，结果如下表：n方法101.511.348399721.367376431.364957041.3652647。81.365230若用Newton法计算，取x=1.5，计算可得:x=1.3733333，x=1.3652300.4、已知一个三次方程为，试在1.5附近讨论根的存在惟一性，并构造一种收敛的迭代格式，计算该方程在1.5附近的一个根().解：取x=1.5，用收敛迭代格式计算，结果为

5、：5、用龙贝格积分法求的近似值，其中 解:由公式，计算可得：6、用龙贝格积分法求的近似值，其中 解:由公式，计算可得：7、用改进的欧拉格式(预估校正方法)求初值问题的近似解（取步长，小数点后至少保留七位）.解: 由改进的Euler方法,有y=y+ y-x+1+ y+( y-x+1)-(x+h)+1,用h=0.2代入，有y=1.22 y-0.22 x-0.44 x+0.216，n=0，1X改进Euler方法y0.82.110203578、用改进的欧拉格式(预估校正方法)求初值问题的近似解（取步长，小数点后至少保留七位）.解: 由改进的Euler方法,并用h=0.2代入，有y=1.4y+0.22x+0.02, n=0，1,故四、综合计算题1、设四阶方阵1）用紧凑格式求单位下三角阵和上三角阵使；, 2）用以上分解，求解方程组,其中2、设四阶方阵,1）用紧凑格式求单位下三角阵和上三角阵使；, 2）用以上分解，求解方程组,其中；五、证明与讨论题 1、证明复化梯形公式的余项为。 证:利用梯形公式在各小区间上的余项之和,再由积分中值定理与介值定理可证.详见教材P156光年与课件之讨论。2、设为阶方阵，为 阶单位阵。且，试证明：1）为非奇异矩阵； 2）.证: