数值分析研究生 数学

1、第二章 插值法3给出的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算的近似值。解：由表格知，若采用线性插值法计算即，则 若采用二次插值法计算时， 7设且求证：证明：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为 =插值余项为 12证明证明：由上题结论可知 得证。14若有个不同实根，证明：证明：有个不同实根且令则而 令则又 得证。22求在上分段线性插值函数，并估计误差。解：在区间上，函数在小区间上分段线性插值函数为误差为23求在上分段埃尔米特插值，并估计误差。解：在区间上，令函数在区间上的分段

2、埃尔米特插值函数为误差为又第三章 函数逼近与计算4。假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式？解：在闭区间上连续存在，使取则和是上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。由切比雪夫定理知P为的零次最佳一致逼近多项式。6。求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。解：于是得的最佳一次逼近多项式为即误差限为7。求在上的最佳一次逼近多项式。解：于是得的最佳一次逼近多项式为11试证是在上带权的正交多项式。证明：若，则令，则，且，故又切比雪夫多项式在区间上带权正交，且是在上带权的正交多项式。17略20。将，在上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。解：按勒让德多项式展开则从而的三次最佳平方逼近多项式为。

3、21. 略第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：（2）若令，则令，则令，则从而解得令，则故成立。令，则故此时，因此，具有3次代数精度。（4）若令，则令，则令，则故有令，则令，则故此时，因此，具有3次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：解：复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为7略8用Romberg求积算法求积分，取解：本题只要对积分使用Romberg算法（6.20），计算到K3，结果如下表所示。于是积分，积分准确

4、值为0.71327211。用下列方法计算积分，并比较结果。(1)龙贝格方法；(2)三点及五点高斯公式；(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。解(1)采用龙贝格方法可得k01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有(2)采用高斯公式时此时令则利用三点高斯公式，则利用五点高斯公式，则(3)采用复化两点高斯公式将区间四等分，得作变换，则作变换，则作变换，则作变换，则因此，有第六章 方

5、程求根3为求在附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式:(1),迭代公式;(2),迭代公式;(3),迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根.解 取的邻域1.3,1.6来考察.(1)当时,故迭代公式在上整体收敛.(2)当时 故在1.3,1.6上整体收敛.(3)故发散.由于(2)的L叫小,故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需 即 取计算结果见表7-8. 表7-81231.4812480341.4727057301.4688173144561.4670479731.4662430101.465876820由于,故可取.

6、4比较求的根到三位小数所需的计算量:(1)在区间0,1内用二分法;(2)用迭代法,取初值.解 (1)因,故,用二分法计算结果见表7-9. 表7-90123456789101112131400000.06250.06250.07781250.08593750.089843750.089843750.089843750.0903320310.0903320310.0904541010.09051513610.50.250.1250.1250.093750.093750.093750.093750.0917968750.0908203120.0908203120.0905761710.0905761

7、710.0905761710.50.250.1250.06250.093750.0781250.08593750.089843750.0917968750.0908203120.0903320310.0905761710.0904541010.0905151360.090545653+-+-+-+-+0.50.250.1250.06250.031250.0156250.00781250.003906250.0019531250.0009765620.0004882810.000244140.000122070.0000610350.000030517此时具有三位有效数字.(2)当时,故迭代试在

8、0,0.5上整体收敛.取,迭代计算结果如表7-10所示. 表7-101230.10.0894829080.0906391354560.0905126160.0905264680.090524951此时,故精确到三位小数.6略7用下列方法求在附近的根.根的准确值,要求计算结果准确到四位有效数字.(1)用牛顿法;(2)用弦截法,取;(3)用抛物线法,取.解 ,对(1)取,用牛顿迭代法 计算得,故.(2)取,利用弦截法 得,故取.(3).抛物线法的迭代式为迭代结果为:已达四位有效数字.11. 用Newtom法讨论以下函数的收敛性和速度。 ,x=0 - , x=0,f(x)= =1/2 当x0时 f(

9、x)=-, =1/2 所以牛顿迭代公式为|=|-1|=1所以迭代公式是发散的。12应用牛顿迭代法于方程,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性.解 设,牛顿迭代公式为 当;当时,因此,对于,当时,根据例7-9的结论知,牛顿序列收敛到.当时, 从起,牛顿序列收敛到.对于,当时,.由牛顿法产生的序列单增趋于.当时, 之后迭代也收敛.当时,迭代式变为 该迭代对任何均收敛,但收敛速度是线性的.第七章 解线性方程组的直接方法2证明：由消元公式及A的对称性得 故对称4略13解 设有分解 = 由公式 其中，分别是系数矩阵的主角线元素及其下边和上边的次对角线元素，则有 ， ， ， ， ， ， ， 由 得=，由 得=，=，=，=，=14解 设 =由矩阵乘法得 =2， ， ，由 得 ，由 得 故=2.555 555 6，=0.777